线面积分的计算
《线面积分计算》课件
参数化和面积元素：
曲面积分的计算通常需要对 S 进行合适的参数 化，以便计算面积元素。
计算公式和几何意义：
二元函数曲面积分的计算公式较复杂，但可以 通过对参数化和面积元素的精细分析进行计算。
计算例题：
线面积分计算
本课程简要介绍线面积积分的概念和计算方法，以及其在数学和物理等领域 中的应用。
什么是线面积分
线积分和面积积分的区别：
线积分是对函数沿曲线的积分，而面积积分是 对函数在曲面上的积分。
参数方程和向量场的概念：
线面积分中经常使用参数方程描述曲线或曲面， 在向量场中则经常使用参数方程描述向量。
一元函数线积分的计算方法
定义式和性质：
一元函数线积分的定义式通常可以表示为 $\int_C f(x,y)ds$ 。在计算中，常常使用曲线长度公式。
计算例题：
通过细致计算某条曲线的线积分，学生可以更加深 入地理解一元函数线积分的概念和计算方法。
二元函数线积分的计算方法
1
定义式和性质：
二元函数线积分的定义式为 $\int_C
理论结合实践，多练习计
线面积积分分别描述了函
学中有很多重要应用，如
算题，是掌握线面积积分
数在曲线和曲面上的积分，
计算电场强度和电势差。
的关键。
有着重要的数学和物理应
用。
3
通过线面积积分计算电场强度和 电势差：
通过对电荷分布和电场分布的描述，可
计算例题：
4
以应用线面积积分的计算方法得出电场
强度和电势差的数值。
通过计算某个带电体的电场强度和电势
线面积分的计算小结
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分） （4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。 （6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx
x
y
P
Q
dxd y
yz
1 3
(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
第二 型线面积分
= ∫ P( x, y)dx + ∫
x0
y
y0
Q( x0 , y)dy
例 1 计算 ∫ xydx，其中 L为抛物线 y 2 = x上从点 A(1, − 1)
L
的一段狐。 到点B(1, 1)的一段狐。
4 5
例 2 计算曲线积分 ∫L ( x + y )dx − ( x − y )dy ,
∂Q ∂P 公式) 公式 ∫L Pdx + Qdy = ∫∫ ( ∂ x − ∂ y )dxdy (Green公式 D 其中曲线积分沿 L 的正向 .
1 S ( D) = ∫∫ dxdy = ∫ xdy − ydx = ∫ xdy = − ∫ ydx. L L 2 L D
平面曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关是指： 曲线积分与路径无关是指： 对任意两条以A为起点 为终点的曲线 对任意两条以 为起点, B为终点的曲线 1,L2,均 为起点 为终点的曲线L 均 有: Pdx + Qdy = Pdx + Qdy
v = ∫∫ F(M) ⋅ dA
Σ ∑
Σ
d →0 i =1
= ∫∫ P( x, y, z)dy ∧ dz + Q( x, y, z)dz ∧ dx + R( x, y, z)dx ∧ dy
其中L : (1)圆弧AB （2 折线 AOB ）
y
B(0, 1)
−1
o
A(1,0)
x
例 3
− 13
计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz，其中
L
L为从点（2， 4 到（ ，1 的直线段 . 1 1， 为从点（ 3， ） ）
线面积分的计算小结
3
y
1 3
z
x
( 3) d S
3 2
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
（1）定义
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
z
o
1y
x
4. 计算
其中 为曲线
z
y
解: 利用轮换对称性 , 有
o
x ds
I 2
2
y ds
2
2
z ds
2
x
(的重心在原点)
( x 3
2
y z )ds 4 3
2
a
3
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周. 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分） （4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、 全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ; （5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。
（6）物理应用（力沿曲线做功，场沿曲线的环流量）
曲线积分的计算法
曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 定积分 第二类 ( 对坐标 ) 转化 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(2) 积分元素投影
第一类: 始终非负 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
高等数学的线与面积分
是沿 C 的微线元。如果 Fˆ 表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径做的功。
2
问题 2：（答案写在后面的答题页上！）
我们来计算
沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。
还是将路径分为三段 C1 , C2 和 C3 ，分别计算其贡献。
作为示范，我们先来进行沿
由 dsr = dxˆi ，我们有
C1
球面的曲面微元为积分得假定电荷均匀分布在半径为r的球面上则球面上的总电荷为这里是电荷密度
麻省理工学院
物理系
解题 1：线积分和面积分
A. 线积分 标量函数 f (x, y, z) 沿路径 C 的线积分定义为
这里C被细分成N段，每一段长度 ∆si。为了计算这个线积分，我们可以用弧长参数s来刻画C。借助
于 x = x(s) ， y = y(s) 和 z = z(s) ，上述线积分可改写为普通定积分： 例 1：
作为例子，我们来考虑如下二维积分： 这里 C 是从原点到(1, 1)的直线，如右图所示。 令 s 是从原点测得的弧长。我们有
端点(1, 1)对应于 s = 2 。因此，线积分变成
1
问题 1：（答案写在后面的答题页上！）
本题中我们打算对例 1 中的同一被积函数 x + y 进行积分，只
是取不同的路径 C′ = C1 + C2 ，如右图。积分可分成两部分：
∫∫ r
(b) 试求 y > 0 的柱侧面上的电通量 E ⋅ nˆ d A S
9
问题 1：
∫ (a)
I1 =
(x + y)ds =
C1
∫ (b)
I2 =
(x + y)ds =
C2
(c) I ′ = I1 + I2 =
最新9线面积分汇总
9线面积分一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分«Skip Record If...»的计算公式:«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为一段光滑的平面曲线，其参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为定义在曲线«Skip Record If...»上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上，故«Skip Record If...»满足曲线«Skip Record If...»的方程；2)«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的弧长的微分，故«Skip Record If...».所以有如下的计算公式:«Skip Record If...».对«Skip Record If...»是空间曲线段的情况，有类似的公式.设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则对弧长的曲线积分«Skip Record If...».弧微元«Skip Record If...»2. 对坐标的曲线积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的平面曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...».物理意义：变力«Skip Record If...»沿曲线«Skip Record If...»所做的功«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（«Skip Record If...»）在«Skip Record If...»上，故满足曲线方程«Skip Record If...»；2) «Skip Record If...».对坐标的曲线积分的计算公式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»分别对应于«Skip Record If...»点的参数«Skip Record If...»的值，可能«Skip Record If...»也可能«Skip Record If...»«Skip Record If...».类似地，对于空间曲线«Skip Record If...»，也有类似的计算公式.设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的空间曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».●两类曲线积分之间的关系。
高数讲座-线面积分选讲（精品pdf）
一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例.求(22LI x x y ds ⎡⎤=++⎣⎦⎰ ,其中()22:11L x y +-=.解.(((22222LLLI y ds yds ds π⎤=+=+=+=+⎦⎰⎰⎰. 例.求()I xy z ds Γ=+⎰ ,其中2221:0x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩. 解.()()()1233I xyds x y ds xy yz zx ds x y z ds ΓΓΓΓ=-+=++-++=⎰⎰⎰⎰ ()()22221110663x y z x y z ds ds πΓΓ⎡⎤++-++-=-=-⎣⎦⎰⎰ . 注.求()23I x y z ds Γ=++⎰ ,其中2221:0x y z x y ⎧++=Γ⎨+=⎩. 解.()()32333002I x y z ds xds zds x y ds ΓΓΓΓ=++=+=++=⎰⎰⎰⎰ . 例.求()2I x dS ∑=⎰⎰ ,其中222:2x y z y ∑++=.解.()()()222222222342222I x y z dS x y dS x y z dS ∑∑∑=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()441416ydS y dS dS π∑∑∑=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ .二.第二类线面积分的估值例.设()33cos :02sin x a t L t y a t π⎧=≤≤⎨=⎩,逆时针方向,()()222L ydx xdy F a x xy y -=++⎰ , 证明:()lim 0a aF a →+∞=. 解.设()222yP xxy y=++,()222xQ xxy y-=++,则()LF a Pdx Qdy =+=⎰(),max 6n LLLP Q e ds ds a ⋅≤≤=⋅⎰⎰⎰,而22222x y x xy y +++≥()3322222432a x xy y x y =≤≤+++,故 ()2192F a a ≤,因此()lim 0a aF a →+∞=.例.设∑为圆柱体()()()2200413x x y y z -+-≤≤≤的外表面,证明:()()22cos sin 2x y dydz xy dzdx dxdy ∑+++≤⎰⎰ . 证.()n n A dS A e dS A e dS A dS dS ∑∑∑∑∑⋅=⋅≤⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,证毕.注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以 用格林公式和高斯公式转化为重积分.例.设22:0L x y x y +++=,逆时针,证明:22cos sin Lx y dy y x dx -≤⎰证.左式()()2222cos sin cos sin 2DDy x d x x d πσσ=+=+≤⎰⎰⎰⎰,证毕.例.设22:1L x y +=,逆时针,证明:sin sin 222545y x Lxe dy ye dx x y π--≥+⎰. 证.左式sin sin sin sin sin sin 222254545y x y x y xL D D xe ye e e e e dy dx d y x y x σ---⎛⎫+=-=+≥= ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin sin 122555x xD D e e d d σσπ-+≥=⎰⎰⎰⎰,即得,证毕. 三.第二类线积分的计算 例.求224Lxdy ydxI x y-=+⎰,其中L 从()1,0A -沿y =到()1,0B ,然后 再沿直线到()1,2D -的有向曲线.解一. cos :sin x tAB y t=⎧⎨=⎩,:0t π-→,:1BD y x =-+,:11x →-,故12221374cos sin 521288dt dx I t t x x ππππ---=+=+=+-+⎰⎰; 解二.由于Q Px y ∂∂=∂∂,故取()1,1C --,()1,1E -,()1,2F ,则 ACCEEBBFFDI =++++⎰⎰⎰⎰⎰;解三.除原点,Q Px y ∂∂=∂∂,取222:4C x y r +=,逆时针,则L DA DAI +=-=⎰⎰ 222222241172488CDAx y r xdy ydx dy dxdy r r y πππ+≤---=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰. 注.若在区域D 内Q Px y ∂∂=∂∂,则(1)当D 单连通时,0CPdx Qdy +=⎰ ; (2)当D 内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C ,CPdx Qdy +=⎰ 常数.例.求()()()()22222222222222L y y x xI dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+=++-⎢⎥⎢⎥-+++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ , 其中22:9L x y +=,取逆时针方向.解.取()2221:2L x y r -+=,()2222:2L x y r ++=,均为逆时针方向,则12L L I =+⎰⎰ ,而()()112222222222222r L L B y y x x dx dy d r r r x y x y σπ⎡⎤⎡⎤-+-=++-==-⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ , 类似地,22L π=-⎰ ,故224I πππ=--=-.例.求x y z dx y z x dy z x y dz I +-++-++-=,其中的Γ为曲线22211x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩上逆时针从()1,0,0A 到()0,0,1B 的一段弧.解一.2221:1x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在xOy 上的投影为22:0x xy y x y 'Γ++--=,22223x y x xy y ξηξηξη=-⎧⎨=+⎩++=+,故2222032x xy y x y ξηξ++--=⇒+-=2211333ξη⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令11cos 3311cos 1133cos 33121cos 33x t t t y t t tz x y tξη⎧=+-⎪⎧⎪=+⎪⎪⎪⇒=++⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=--=-⎪⎩,又:013z t ππ→⇒=-→,故3I dt ππ==⎰. 解二.()()()12121212BABAI z dx x dy y dz I I ΓΓ+=-+-+-=-=-⎰⎰⎰,其中()11,1,1rot 12,12,12121212n ijkI z x y e dS x y z z x y∑∑∂∂∂=---⋅==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰()11,1,12122,2,23332I dS ππ∑∑⎡⎤⎛⎫=---==--⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎦⎰⎰, ()()()112001211221I x dx d x x dx =--+-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,故I =.注.∑是边长为的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺. 解三.代入1z x y =--,则()()221I x y dx x y dy 'Γ=+---=⎰()()1042216216196D OAOA x dx d x dx σπ'Γ+⎛⎫--=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.求()()()22222223I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中1:2x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩,从z 轴正向看为逆时针方向.解.代入2z x y =--,则()()2222223242I x y z dx x y z dy 'Γ=-+-+-++=⎰()12221224xyxyD D x y d d σσ--+=-=-⎰⎰⎰⎰.例.求()22222ydx xdy z x y dzI x y Γ--+=+⎰,其中22221:1x y a b x y z ⎧+=⎪Γ⎨⎪++=⎩,从z 轴正向 看逆时针. 解.2222rot ,,20y xz x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭,但是Γ张成的曲面均与z 轴有交点, 故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z 轴的1Γ,Γ与1-Γ均张成一个围绕z 轴的曲面,故()111I Γ+-Γ-ΓΓ=-=⎰⎰⎰ ,于是取2211:0x y z ⎧+=Γ⎨=⎩,则122DI ydx xdy d σπΓ=-=-=-⎰⎰⎰ . 四.第二类面积分的计算注.若12∑=∑+∑关于xOy 面对称,1∑与2∑在xOy 面上的投影相反, 则当()(),,,,R x y z R x y z -=时,(),,0R x y z dxdy ∑=⎰⎰;当()(),,,,R x y z R x y z -=-时,()()1,,2,,R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.例.求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑为半球面z =222x y x +=截下部分的上侧.解.由于∑关于xOz 面对称,故()()I y z dydz x y dxdy ∑=-+-⎰⎰,又22222424220x x y x zz x x y z x z y zz z +=⎧-++=⇒⇒=⎨+=⎩,y yz z -=,故 ()()()22,0,,,1x y x I y z x y dxdy y z x y dxdy z z z ∑∑---⎛⎫⎡⎤=--⋅--=-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()22222xy D x y x y x y d d σσπ+≤⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例.求2222cos cos cos dydz dzdx dxdyI x x y z z∑=+-⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=外侧. 解.()222,,211,,cos cos cos x y z I dS x x y z z R ∑⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⎰⎰ 2222221211211cos cos cos cos cos cos y dSdS dS R x y z R x z R z∑∑∑⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224tan x y R R π+≤=⎰⎰.例.求()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中()()()22211:1025167x y z z --∑++=≥ 上侧.解.取1:z ∑=()()22222211:0,12516x y z x y r ⎛⎫--∑=+≥+≤ ⎪ ⎪⎝⎭,均取下侧,则12121312I xdydz ydzdx zdxdy r π∑+∑+∑∑∑-∑=--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.若()22:212z x y z ∑=+--≤≤外侧,可取()221:24z x y ∑=+≤上侧,()222:11z x y ∑=-+≤下侧,22223:x y z r ∑++=外侧,则 ()121231231=I xdydz ydzdx zdxdy r ∑+∑+∑∑∑∑∑∑=--=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰换曲面,再用高斯公式.。
线面积分总结
圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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的圆弧 L 对于它的对 例. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫
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解答提示: P184 3 (1)
∫ 计算 x2 + y2 ds , 其中L为圆周 x2 + y2 = ax.
L
提示: 利用极坐标 ,
L : r = a cosθ
(−π ≤θ ≤ π )
2
2
ds = r2 + r′2 dθ = a dθ
∫ ∫ 原式 = L
π
ax ds =
1. 基本方法
曲面积分
⎧ ⎨ ⎩
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
⎭⎬⎫
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
⎧ ⎨ ⎩
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2
−π2
a2 cos2 θ ⋅ a dθ = 2a2
说明: 若用参数方程计算, 则
y r
L:
x
=
a 2
(1
+
cos
t)
y
=
a 2
sin
t
(0
≤t
≤
2π
)
o
θ
t ax
d s = x2 + y 2 d t = a d t
2
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∫ P184 3(3). 计算 (2a − y)d x + xd y, 其中L为摆线 L x = a(t − sin t) , y = a(1− cost)
∫ ∫ I = ex sin y d x + (ex cos y − 2)dy − 2 ydx
L
L
∫ ∫ ∫ =
− − 2 ydx
L+ AB AB
L
y L
L
:
⎩⎨⎧xy
= =
a (1+ cos a sin t
t)
t:0→π
D
oA a B x
∫ ∫ = ∫∫D 0d x d y −
2a
0d x
+
2a2
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2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2)
利用高斯公式
⎧ ⎨
注意公式使用条件
⎩ 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化
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练习: P185 题4(3)
计算∫∫∑ x d y d z + y d z d x + z d x d y,其中 ∑ 为半球面
D
3
3
(2)I2 = ∫L (x2 − y + y 2 ) d x + ( y2 − x) d y
∫ ∫ = (x2 − y) d x + (y2 − x)dy + y2 dx
L
L
L : x = a cost, y = a sin t, t : 0 → π
∫ = I − π a3 sin3 t d t = − 2 a3− 2a3 ⋅ 2 ⋅1 = −2a3
dz
+
y
dzdx
+
z
dxdy
思考: 计算 ?
=
1 R3
∫∫∫Ω
3d
x
d
y
d
本题 ∑ 改为椭球面
z
= x2
a2
4π
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1时,
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 + y2 + z2 = ε 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
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例6. 计算曲面积分 I = ∫∫Σ[(x + y)2 + z2 + 2 yz ]d S,其
1
1
1
Σ
3
3
3
I = ∫∫ ∂
Σ
∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
dS
L
y2 − z2 2z2 − x2 3x2 − y2
=−
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z)dS
Do y x
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I
="= −
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z
)dS
Σ : x + y + z = 2, (x, y) ∈ D
中∑ 是球面 x2 + y2 + z 2 = 2x + 2z .
解: I = ∫∫Σ[ (x2 + y2 + z2 ) +2xy + 2 yz ]dS
= ∫∫Σ (2x + 2z) d S + 2∫∫Σ (x + z)ydS
用重心公式
利用对称性
= 2(x + z) ∫∫Σ d S + 0
= 32π
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D: x + y ≤1
= −2∫∫D (x − y + 6) dxdy = −12 ∫∫D dxdy
= −24
y
1
D o 1x
D 的形心 x= y=0
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作业
P184
3 (2) , (4) ; 3 (2)
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z=
1 2
sin
t
原式 = 2 12 ∫02π cos2 t sin 2 td t
x
1y
=
1 22
⋅
π
4∫0
2
cos2
t
(1 −
cos2
t)d
t
=
2 ⎜⎝⎛
1 2
⋅π
2
−
3 4
⋅
1 2
⋅π
2
⎟⎠⎞
=
2π
16
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
+
∂ ∂y
(
cos
β
′)
+
∂ ∂z
(
cos
γ
′)
]d
v
=0
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例4. 计算曲面积分
I
=
∫∫Σ
x r3
d
yd
z
+
y r3
d
zd
x
+
z r3
d
xd
y
其中, r = x2 + y2 + z2 , Σ : x2 + y2 + z2 = R2 取外侧.
解:
I
=
1 R3
∫∫Σ
xdy
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∫ P184 3(6). 计算 Γ xyzdz , 其中Γ由平面 y = z 截球面
x2 + y2 + z2 = 1所得, 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 Γ上有 x2 + 2 y2 = 1 , 故
z
x = cost
Γ:
y = 1 sin t
2
( 0 ≤ t ≤ 2π )
2) 设曲面 ∑ : z = 0 , (x, y) ∈ D , 问下列等式是否成立?
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D f (x, y,0) d xdy ∫∫Σ f (x, y, z) d x d y = ∫∫D f (x, y,0) d xdy
不对 ! 对坐标的积分与 ∑ 的侧有关
上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧.
提示: (2a − y) d x + x d y = a(1+ cos t) ⋅ a(1− cos t) d t
+ a(t − sin t) ⋅ a sin t d t
= a2t sin t d t
∴
原式
=
a
2
∫
2π
0
t
sin
td
t
= a2[ − t cos t − sin t ]02π = −2π a2
0
3
3
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练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10
∫ 3(5). 计算 I = (ex sin y − 2 y) d x + (ex cos y − 2)dy, L
其中L为上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2 , y ≥ 0,沿逆时针方向. 提示:
z = R2 − x2 − y2的上侧.
z
提示: 以半球底面 ∑0 为辅助面,
∑
且取下侧 , 记半球域为 Ω , 利用 高斯公式有
o
y
x ∑0
原式 = ∫∫∫Ω 3d x d y d z − ∫∫∑0 xdydz + ydzdx + zdxdy
= 3⋅ 2π R3 − 0 = 2π R3