大学物理 电通量 高斯定理
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大学物理-82电通量高斯定理
E dS
E d E E dS EdS cos
S S S
S
讨论
dE E dS
正与负
E dS
如右上图可知 E ds >0 若如红箭头所示，则 E ds <0
取决于面元的法线 方向的选取
S
dS
（3）任意电场中通过闭合面的电通量
q 2 S E dS E 4r 0
q E 40 r 2
（1）rR时，高斯面无电荷
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+ + + +
+ + + +
q
E 0
（2）rR时，高斯面包围电荷q
E
q 40 r
2
均匀带电球面的电场分布
E r关系曲线
+ + + +
该面元对点电荷所张的 立体角 d 点电荷在面元处的场强为 E
q
S
d
dS
E
点电荷在面元处的场强为
E
q 4 0 r 2
q
r
^ r
^ r
S
d
dS
E
dE E dS
E dS
S
qdscos q q ˆ dS d r 2 2 4 0 4 0 r 4 0 r
S S i
q
S内
0
推广到任意带电系统的电场： 用迭加原理
s
q1
q2
q3
大学物理 静电场2-高斯定理、环路定理
S
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
大学物理电通量 高斯定理
P +
+ R r+
++
Q+
方向: ?
E
电场分布曲线如右图所示。 O 电场分布曲线 r
21
例5 “无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 。
求:电场强度分布。 解:电场强度分布具有面对称性。
选取一个圆柱形高斯面
根据高斯定理,有
22
例6 无限长均匀带电直线的电荷线密度为+ 。
求: 距直线 r 处一点P 的电场强度。 解:电场分布具有轴对称性。
16
利用高斯定理求解特殊电荷电场分布的思路: 分析电场对称性； 根据对称性同心球壳、同心球体与 球壳的组合。
轴对称: 长直导线、圆柱体、圆柱面、同轴圆 柱面和同轴圆柱体的组合。
面对称: 无限大带电平板、平行平板的组合。
17
四、高斯定理的应用 例3 已知球体半径为R,带电量为q（电荷体密
度为），求:均匀带电球体的电场强度分布。
解:根据对称性分析，选择如图所示高斯面
球外
r
++ R
+ q+
18
球内
r
++ R
++
E
r
O
R
电场分布曲线
19
例4 均匀带电球面,总电量为Q ,半径为R 。
求:电场强度分布。
解 对球面外一点P : 取过场点P 的同心球面为高斯面
P
+
+ R r+
++
Q+
20
故，球面外 对球面内一点:
电场线净穿入，
15
因此，电场线起于正，止于负，即静电场 为有源场，电荷即为其源。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
大学物理——10-3电通量 高斯定理
v v dΦ = E ⋅ dS e
Φe = ∫ dΦe = ∫ s s
S 为封闭曲面时
v v E ⋅ dS
v v dΦ = E ⋅ dS e
S
v v Φe = E ⋅ dS ∫
三、高斯定理 通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φe 闭合面 等于包围在该闭合面内 等于包围在该闭合面内的电荷代数和 ∑ qi 的 ε 0 分之 而与闭合面外的电荷无关. 一，而与闭合面外的电荷无关.
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
（3）点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
d Φ1 + d Φ 2 = 0
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
（2）点电荷在任意闭合曲面 ）点电荷在任意闭合曲面 内
+ q 发出的 q / ε 0
四、高斯定理的应用 对称性） （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性 其步骤为 对称性分析； 对称性分析； 根据对称性取合适的闭合面； 根据对称性取合适的闭合面； 应用高斯定理计算. 应用高斯定理计算. 1.场源电荷无限长轴对称性分布： 场源电荷无限长轴对称性分布： 场源电荷无限长轴对称性分布
大学物理-电通量-高斯定理
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
104电通量高斯定理
24
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
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大学物理
电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向：切线；
E
大小：E
N S
电力线密度
E
方向
dS E
大小 大学物理
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
大学物理
思考
如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？
大学物理
例 均匀带电无限长圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为
高
解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面
斯
(1) r <R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
面
大学物理
求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
解：a. 对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。
b. 选择高斯面—— 与平面正交对称的柱面
底面 E dS 且 大小相等；
E
+
侧面 E dS
+ +
++ ++ ++
dS E
dS
e
E
d
S
S
S
0
+
2SE
E 2 0
大学物理
二、 高斯定理的解题步骤：
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
大学物理
几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
大学物理
一对等量异号电荷的电场线
+
大学物理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
大学物理
一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
大学物理
带电平行板电容器的电场
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
大学物理
4. 高斯定理的应用
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
e E dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
大学物理
2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
ee
E
• ddSs
EEccooss000ddSs
S
Ss
S
S
SS
qq
44 00rr22
q
ddSS
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
SE
e ES cos E S
S
E
3、非均匀电场、任意曲面
ndS
de
E dS
e
E dS
S
单位：Vm
大学物理
e SE dS＝ E cosds
其中：cos 是E与面元ds法向之间的夹角的余弦。
是
e
标量，且有正负之分，其正负决定于
曲面法线方向的选取。
大学物理
4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
dS
r
E
l
dS
上下底面
E dS
侧面 E //，d且S同一柱面
e
E
上E dS
大小相等。
l
S
0
E
侧E？ dS E底0E 2drSl
dS
dS
E
2 0r
方向：如图所示。
大学物理
无限长均匀带电直线的场强
E
2 0r
当 0, E 方向垂直带电导体向外
当 0, E 方向垂直带电导体向里
S
( E E1 E 2 ...... E n ) d S
S
E d S E1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0 q1 q2 qn
0 0
0
q1
1
q
0
i
q2 qn S
q
对连续带电体，高斯定理为
1
E dS 0 dq 大学物理
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电
++ + +E
s2
+
+
qi q E2 4r 2 q 0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
4 0 R2
O
r2
R
r
大学物理
扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1 ,
E
R1 r R2 , E
E2
E1
解：
E1
1 2 0
E2
2 2 0
EA
1 2 2 0
i
EB
1 2 2 0
i
C
EC
1
2
i
2 0
大学物理当1 = - 2源自EA EC 0EB
0
此即带电平板电容器间 的场强
结论
一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集 中在两个平板之间，在平板外侧无电场。
此即以后的平行板电容器模型。
大学物理
1. 分析对称性：
dl1
dE1
P O
dl２
dE2
dE 凡是和P点一样，距离为ｒ的各点和P
点相比，没有任何特殊性，故场强相同 的各点在空间构成一个圆柱面。
大学物理
轴对称的含义：
凡是与轴线距离相等的各 点上场强的大小都相等， 方向沿着轴的矢径成辐射 状。
大学物理
2. 选择高斯面——同轴柱面
大学物理
判断正误
如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为０ 如果高斯面上场强处处不为０，则高斯面内必有
电荷 如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为０
大学物理
课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长 a，求
位于中 心
q
过每一面的通量e
q
6 0
位于一顶点
e
0 q
240
大学物理
[例] 如图所示，一厚度 b 无穷大带电平板，体电荷密
度为 =kx （0 ≤ x ≤ b）。求：（1）空间的电
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
大学物理
1)板内任意点：
E1
r R E2rl l
0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
大学物理
结论：
无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱 体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴 线上的一个无限长带电直线所产生的电场
大学物理
+ ++ ++ ++ ++ +
3、平面对称分布
❖ 例如：均匀带电无限大平面或平板、 若干个无限大均匀带电平行平面
++ ++ + + + + +
大学物理
7-3-2 电通量
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。
（1）均匀电场
（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
Sn
E
e ES
e ES cos
大学物理
S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
n
2、均匀电场 E n =
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
大学物理
[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。
电场线
1.规定： a) 切线方向表示电场方向; b) 疏密表示场强大小。
方向：切线；
E
大小：E
N S
电力线密度
E
方向
dS E
大小 大学物理
2. 性质:
(1) 起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无 电荷处不间断也不相交，称为有源场。 (2) 电场线不闭合，称为无旋场。故静电场 是有源无旋场。
大学物理
思考
如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？
大学物理
例 均匀带电无限长圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为
高
解：场具有轴对称 高斯面：同轴圆柱面
斯
(1) r <R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
面
大学物理
求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
解：a. 对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。
b. 选择高斯面—— 与平面正交对称的柱面
底面 E dS 且 大小相等；
E
+
侧面 E dS
+ +
++ ++ ++
dS E
dS
e
E
d
S
S
S
0
+
2SE
E 2 0
大学物理
二、 高斯定理的解题步骤：
❖ 定性分析带电体系激发的电场分布情况 ❖ 选取合适的高斯面：
✓ 场点必须在高斯面上。 ✓ 高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平
行或垂直。
❖ 根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解 ❖ 对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体
分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强
电场中假想的曲线
a) 电场线为假想的线,电场中并不存在；
说明:
b) 电荷在电场中的轨迹不是电场线。
大学物理
几种常见电场的电场线
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
大学物理
一对等量异号电荷的电场线
+
大学物理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
大学物理
一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
大学物理
带电平行板电容器的电场
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
大学物理
4. 高斯定理的应用
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
e E dS qi 0
S
S： 闭合曲面，称为高斯面
大学物理
2. 静电场高斯定理的验证
1）. 点电荷q 位于球面S 的球心 r q
ee
E
• ddSs
EEccooss000ddSs
S
Ss
S
S
SS
44 00rr22
q
ddSS
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相
SE
e ES cos E S
S
E
3、非均匀电场、任意曲面
ndS
de
E dS
e
E dS
S
单位：Vm
大学物理
e SE dS＝ E cosds
其中：cos 是E与面元ds法向之间的夹角的余弦。
是
e
标量，且有正负之分，其正负决定于
曲面法线方向的选取。
大学物理
4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线） 为正向。
dS
r
E
l
dS
上下底面
E dS
侧面 E //，d且S同一柱面
e
E
上E dS
大小相等。
l
S
0
E
侧E？ dS E底0E 2drSl
dS
dS
E
2 0r
方向：如图所示。
大学物理
无限长均匀带电直线的场强
E
2 0r
当 0, E 方向垂直带电导体向外
当 0, E 方向垂直带电导体向里
S
( E E1 E 2 ...... E n ) d S
S
E d S E1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0 q1 q2 qn
0 0
0
q1
1
q
0
i
q2 qn S
q
对连续带电体，高斯定理为
1
E dS 0 dq 大学物理
结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电
++ + +E
s2
+
+
qi q E2 4r 2 q 0 + R O
r
q
E2 4 0r 2
相当于电荷集中在球心的点电荷
+ +
q
+ +
+++ +
E
1
q
4 0 R2
O
r2
R
r
大学物理
扩展：
两个同心带电球壳，半径为R1和R２， 电量分别为Q1和Q2, 填空：
r R1 ,
E
R1 r R2 , E
E2
E1
解：
E1
1 2 0
E2
2 2 0
EA
1 2 2 0
i
EB
1 2 2 0
i
C
EC
1
2
i
2 0
大学物理当1 = - 2源自EA EC 0EB
0
此即带电平板电容器间 的场强
结论
一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集 中在两个平板之间，在平板外侧无电场。
此即以后的平行板电容器模型。
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1. 分析对称性：
dl1
dE1
P O
dl２
dE2
dE 凡是和P点一样，距离为ｒ的各点和P
点相比，没有任何特殊性，故场强相同 的各点在空间构成一个圆柱面。
大学物理
轴对称的含义：
凡是与轴线距离相等的各 点上场强的大小都相等， 方向沿着轴的矢径成辐射 状。
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2. 选择高斯面——同轴柱面
大学物理
判断正误
如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为０ 如果高斯面上场强处处不为０，则高斯面内必有
电荷 如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为０
大学物理
课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长 a，求
位于中 心
q
过每一面的通量e
q
6 0
位于一顶点
e
0 q
240
大学物理
[例] 如图所示，一厚度 b 无穷大带电平板，体电荷密
度为 =kx （0 ≤ x ≤ b）。求：（1）空间的电
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
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1)板内任意点：
E1
r R E2rl l
0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
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结论：
无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱 体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴 线上的一个无限长带电直线所产生的电场
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+ ++ ++ ++ ++ +
3、平面对称分布
❖ 例如：均匀带电无限大平面或平板、 若干个无限大均匀带电平行平面
++ ++ + + + + +
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7-3-2 电通量
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。
用e表示。
（1）均匀电场
（a）S与电场强度方向垂直
S
E
（b）S 法线方向与电场强度
方向成角
Sn
E
e ES
e ES cos
大学物理
S
nE
1、均匀电场 E n
e ES
n
2、均匀电场 E n =
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
大学物理
[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。