大学物理 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
电场中的高斯定理
电场中的高斯定理高斯定律（gauss' law），属物理定律。
在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。
物理定律由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负）电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。
2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e=dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。
高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。
高斯面上的实际场强就是其内外所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。
但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生的场强。
电通量 高斯定理
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S
s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0
4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q
( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
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面积为S的电通量。
S
O
n
E
n
n
E
S1
n
S2
Z
e E S ( 3i 2 j ) Si
3S
X
n
1
2
O
R
S ER 2 S ER 2
e E ds 0
s
1
S S
2
一.电场线 二.电通量
高斯定理 E 4r
2
1 qr 3
0 R3
2 E 4 r q 高斯定理
场强
场强
E
qr 4 0 R 3
例2．无限大平面
求无限大均匀带电平面 的场强，已知
解: E 具有面对称
E
高斯面: 柱面
高斯面 S E
e E ds E ds E ds E ds
电通量
E
方向 ：切线
电场中的高斯定理
性质：
一．电场线（电场的图示法）
dN E 大小： =电场线密度 dS Ec Eb
静电场中， 不闭合；不相交
起于正电荷、 止于负电荷。
Ea
b
a
c
E
dS
E
E
点电荷的电场线 负电荷 正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
0
E1 0
E 2 4 0 r 2
q
课 堂 练 习
球体
计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R q 解： 通量 E ds E 4 r 2 e
s
r<R
电量
r>R
q
R
qi 4
3
R 3
4 r 3 3
电量
qi q
E q 4 0 r 2
0 r
当场源分布具有高度对称性时求场强分布 步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征 ２.作高斯面，计算电通量及 qi ３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面 已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析 作高斯面 通量
E 具有球对称 过P点的球面
s
S
E1 ds En ds
0
q1
0
q2
0
qn
+q
S
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E d s
s
0
E d s 0
s
●课堂讨论：
●q
●q
1．
立方体边长 a，求 位于中 心
E
r 2 0 R 2
rR
2 0 r
2
rR
rR rR
E 2rl
E 2rl
R 0 l
r l
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
+ 2q
q
带等值异号电荷的两平行板的电场线
++ ++ + + + + +
习题
二.电通量 e (电场强度通量) 通过某一面的电场线数
S
E
S
n
E
e ES
e E S ES cos
S
ds
n
E
s
S
ds
n E
e E ds
s
Eds cos
s
e E ds E cos ds
s
例1．计算均匀电场中一圆柱面的电通量。已知 E 及 R 解： e E ds E ds E ds E ds
s s1 s2 侧
σ
Es1 Es 2 0
2 Es 1
1
0
s
0
s
E 2 0
例3．圆柱面
求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知R， 解：场具有轴对称
R
高斯面：圆柱面
通量 e E ds
s
0 0 E 2rl E 2rl
上底
E ds
下底
E ds
侧面
E ds
P
P
rR
电量
rR
qi 0
E0
电量
R E r 0
q
令
2R
i
2Rl
E 2 0 r
r
l
高 斯 面
r E l
高 斯 面
E
课堂练习：求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
s s
r
q
S
S
s
q 4 0 r
2
ds
q q ds 2 4 0 r s 0
2. q位于任意曲面
s s q
S 内
0
3. q位于任意闭合曲面 4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
s 0
q
e E ds
( E1 E2 En ) ds
通量
R
r r
P
rR
rR
s s2
e E1 ds E1 ds E1 4 r 2
s
e E2 ds E2 ds E2 4 r 2
电量
P
电量
qi 0
s1
qi q
E 2 4r 2 q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
q
过每一面的电通量
位于一顶点 2．如图 讨论
q2
q1
移动两电荷对场强及通量的影响
注意: ★高斯定理适用于任何电场。
★过闭合曲面的通量由曲面内的电荷决定。
四．高斯定理的应用
★高斯面上的场强 E 是由全部电荷（面内外电荷）共同产生。 1 ★对连续带电体，高斯定理为 E ds dq 0 s ★无限大均匀介质中 1 qi E ds
s s1 s2 s3
E cos1800 ds E cos 900 ds E cos 00 ds
s1 s2 s3
ER 2 0 R 2 E
=0
n
n
S1
ds
S2
S3
ds
n
R
E
课 堂 练 习
Y
1. 求均匀电场中一半球面的电通量。
2. 在均匀电场 E 3i 2 j 中，过YOZ平面内
q1
S
q2
三.高斯定理:
q3
真空中通过任意闭合曲面的电通量( E 通量 ) 等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
真空中
1 e E ds
s
0
q
i
1. q位于球面S的球心
e E ds E cos 00 ds