第十一章多重多元回归分析
11第十一章多元回归分析
元自变量（ 有m元自变量（xi）时，称m元线性回归 元自变量 元线性回归 以此类推 例如：影响水生生物发病的因素有很多种， 例如：影响水生生物发病的因素有很多种，如致病 营养、环境、消毒、污染、抗病力、 菌、营养、环境、消毒、污染、抗病力、药物等 又如：影响动植物生化指标的因素也很多， 又如：影响动植物生化指标的因素也很多，既有外 部因素， 部因素，也有内部因素 又如：影响渔场经营效益的因素有规模、 又如：影响渔场经营效益的因素有规模、养殖的鱼 饲料、饲养密度、管理水平、药物的使用、 类、饲料、饲养密度、管理水平、药物的使用、 保健成本、 保健成本、防疫等 其中，有些影响因素是数量性质的， 其中，有些影响因素是数量性质的，而有些虽是质 量性质的， 量性质的，但可以进行量化
得解
这一二元线性方程组的生物学意义是： 这一二元线性方程组的生物学意义是： 当卵巢重不变时，怀卵量随不同种类鱼的体重变化 当卵巢重不变时， 而变化；当种类体重不变时， 而变化；当种类体重不变时，怀卵量随卵巢重的 变化而变化 与简单回归方程一样， 与简单回归方程一样，多元线性回归方程也有一定 的预测范围
ˆ Q = ∑ ( y − y ) = ∑ ( y − ( b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm ) )
2 2
为最小
为了使方程的求解容易一些，先消去 为了使方程的求解容易一些，先消去b0
消去b 消去 0： b0 = y − ( b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm )
1 2 1 2
= 260.545
260.545b1 + 39.95828b2 = 27.09344 { 39.95828b1 + 10.110b2 = 4.165040
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
多元回归分析法介绍和具体应用
多元回归分析法介绍和具体应用Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是依变量，X1,X2,...,Xp是自变量，β0,β1,β2,...,βp 是回归系数，ε是误差项。
1.收集数据：收集与研究对象相关的自变量和依变量数据。
2.建立模型：根据理论分析或经验，选择合适的自变量，并构建线性回归模型。
3.估计回归系数：利用最小二乘法等方法，估计模型中的回归系数。
4.检验回归模型的显著性：通过计算F统计量或t统计量，判断回归模型是否显著。
5.判断自变量的重要性：利用回归系数的显著性检验或变量的贡献度等指标，判断自变量对依变量的重要性。
6.检查模型的拟合度：通过分析残差、检验回归模型的假设条件等方法，检查模型的拟合度。
7.利用模型进行预测和推断：利用已建立的回归模型，进行依变量的预测和自变量的推断。
1.经济学：多元回归分析可用于研究宏观经济指标与影响因素之间的关系，如利率与货币供应量、GDP与投资、通胀率与产出等。
2.金融学：多元回归分析可用于分析影响股价、汇率、利率等金融变量的因素，帮助投资者制定合理的投资策略。
3.市场营销：多元回归分析可用于研究产品销售量与产品特征、价格、广告投入等之间的关系，为市场营销决策提供依据。
4.生物学：多元回归分析可用于研究生物学变量与环境因素之间的关系，如物种多样性与温度、植物生长与土壤养分等。
5.医学：多元回归分析可用于研究疾病发生与影响因素之间的关系，如心脏病与高血压、肥胖与糖尿病等。
6.社会科学：多元回归分析可用于研究社会科学变量与社会因素之间的关系，如教育水平与收入、犯罪率与失业率等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可用于研究多个自变量对一个依变量的影响，并在各个领域中发挥重要作用，为决策提供科学依据。
在实际应用中，需要注意合理选择自变量、遵守回归模型的假设条件，并进行适当的模型检验和解释。
多元回归及复相关分析
To MATLAB(liti32)
返回
将
化为多元线性回归：
非线性回 归
（1）确定回归系数的命令： [beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）
4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
返回
To MATLAB(liti12)
多 项 式 回 归
*
*
（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预 测值Y； （2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1- alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5.
To MATLAB（liti21）
得回归模型为 ：
*
*
法二
化为多元线性回归： t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; T=[ones(14,1) t' (t.^2)']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats
*
*
法一
直接作二次多项式回归： t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; [p,S]=polyfit(t,s,2)
《多重线性回归分析》PPT课件电子版本
内容
方法简介 基本原理 分析步骤 几点补充
2
一、方法简介
• 1.1 分析目的与方法选择 研究一个因变量与一个自变量间的线性关系时 简单线性回归分析 研究一个因变量与多个自变量间的线性关系时 多重线性回归分析
3
一、方法简介
• 1.2 概念 用回归方程定量地刻画一个因变量与多个自
SS残差(残差平方和) v残差=n-p-1
自变量的个数
SS总= SS回归+ SS残差 v总= v回归+ v残差
三、分析步骤
• 2. 具体步骤 • 2.2 模型检验
模型的显著性检验步骤为： 第一步，建立检验假设。 H0：b1=b2= … =bk=0 H1: b1, b2, …, bk不同时为0
14
三、分析步骤
故在评价两个包含不同个数自变量的回归模 型的拟合效果时，不能简单地用决定系数作为评 价标准。
此时，必须考虑回归模型中自变量个数的影 响。
36
三、分析步骤
• 2.5 模型拟合效果评价 • 2.5.2 校正决定系数(Rc2)
构造校正决定系数，其公式为：
RC 2=1-M M SS 误 总 差1n n p1 11R2
除此之外，还要求多个自变量之间相关性不 要太强。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
二、基本原理
• 2.2 前提条件 线性——指自变量与因变量之间的关系是线性的
独立性——指各观测值之间是相互独立的
正态性——指自变量取不同值时，因变量服从正 态分布
方差齐性——指自变量取不同值时，因变量的方 差相等
9
三、分析步骤
• 1. 基本任务 求出模型中参数的估计值，对模型和参数进行
第11章 多重线性回归分析思考与练习参考答案
第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案一、最佳选择题1.逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（D）。
A.回归平方和与残差平方和均增大B.回归平方和与残差平方和均减小C.总平方和与回归平方和均增大D.回归平方和增大，残差平方和减小E.总平方和与回归平方和均减小2.下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（E）。
A.残差平方和（SS残差）缩小B.确定系数（R）增大2C.残差的均方（MS残差）缩小D.调整确定系数（Rad）增大2E.Cp统计量增大3.多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为（C）。
A.复相关系数B.简单相关系数C.确定系数D.偏回归系数E.偏相关系数4.多重线性回归分析中的共线性是指（E）。
A.Y关于各个自变量的回归系数相同B.Y关于各个自变量的回归系数与截距都相同C.Y变量与各个自变量的相关系数相同D.Y与自变量间有较高的复相关E.自变量间有较高的相关性5.多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K,则有（D）。
A.截距和该偏回归系数值均不变B.该偏回归系数值为原有偏回归系数值的K 倍C.该偏回归系数值会改变，但无规律D.截距改变，但所有偏回归系数值均不改变E.所有偏回归系数值均不会改变二、思考题1.多重线性回归分析的用途有哪些？答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。
2.多重线性回归模型中偏回归系数的含义是什么？答：偏回归系数的含义是：在控制其他自变量的水平不变的情况下，该自变量每改变一个单位，反应变量平均改变的单位数。
3.请解释用于多重线性回归参数估计的最小二乘法的含义。
答：最小二乘法的含义是：残差的平方和达到最小。
4.如何判断和处理多重共线性？答：如果自变量之间存在较强的相关，则存在多重共线性。
多元回归分析
Multi Regression
22
Adjusted R2
在迴歸分析中，如果自變項的個數很多，有時 候就要用調整後的判定係數代替原先的判定係 數，因為增加新的自變項後，均會使R2變大。
「Adjusted R2」為調整後的判定係數：
SSE 2 2 n k 1 1 n 1 (1 R 2 ) Adjusted R R a 1 SST n k 1 n 1
平均平方和MS SSR MSR k SSE MSE n k 1
F F MSR MSE
ˆ Note: 殘差 ei yi yi ,i 1, 2,, n
K為預測變數個數(不含β0)
Multi Regression 18
模式檢定(1)
迴歸分析之假說檢定包括總檢定與邊際檢定兩種。 總檢定： – 目的在探討迴歸模式中的所有斜率係數是否全部 為0。 – 當斜率係數不全為0時，Y與(X1,X2,…,XK)才具有 某種程度的函數關係 。 – 總檢定之虛無假說與對立假說可列示如下： H0: j=0，對所有j H1: j0，對某些j (j=1,2,…,K) – 檢定統計量: F=MSR/MSE
2 iid
或
Y1 1 X11 X1k 0 1 Y2 1 X21 X2k 1 2 Yn 1 Xn1 Xnk k n
Yn1 Xn(k1)β(k1)1 ε n1
Multi Regression
17
迴歸分析 ―變異數分析表
變異來源 迴歸 隨機 總和 平方和SS
ˆ ˆ SSR y 2 (Y Y ) 2
SSE e 2 (Y Y ) 2
多元回归分析 ppt课件
ppt课件
3
汽车销售
若公司管理人员要预测来年该公 司的汽车销售额y时，影响销 售额的因素---广告宣传费x1
还有个人可 支配收入x2, 价格x3
ppt课件
4
研究地区经济增长GDP，受劳动力投入人数 x1影响!
还有：资本要素Ｘ２，科 技水平Ｘ３的影响
ppt课件
5
多元回归应用
25.96732 2.85478 0.01449
Lower 95% 57.58835 -48.57626 17.55303
Upper 95%
555.46404 -12.237392
130.70888
多元回归方程
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising)
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising) 306.526- 24.975(5.50) 74.131(3.5) 428.62
预测销量为 428.62 pies
ppt课件
注意：单位百元，$350 意味 X2 = 3.5
24
模型的Ｆ检验 系数的Ｔ检验 拟合度检验－－决定系数
描述因变量 y 依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
y 0 1x1 2 x2 k xk
β0 ，β1，β2 ，，βk是参数
是被称为误差项的随机变量
包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释
的变异性
价格 Price
($) 5.50 7.50 8.00 8.00 6.80 7.50 4.50 6.40 7.00 5.00 7.20 7.90 5.90 5.00 7.00
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X1 11.5 9 7.9 9.1 11.6 13 11.6 10.7 11.1
X2 95.3 97.7 110.7 89 88 87.7 79.7 119.3 87.7
Y1 26.4 30.8 39.7 35.4 29.3 24.6 25.6 29.9 32.2
Y2 39.2 46.8 39.1 35.3 37 44.8 43.7 38.8 35.6
第十一章 多重多元回归分析
第一节 什么是多重多元回归分析
– 在工厂里研究产品的质量指标,而反映产品质量指标 有好几个，产品的质量指标可作为多个因变量；而 影响产品质量指标的因素也有多个，可作为自变量， 如何从数量上揭示这种相互依赖关系，又如何建立 它们的回归式以及预测预报就是一个多重多元回归 分析问题。
回归方程的检验：
即检验
这里，P=2，m2=m=2，N=9
在 所以，回归方程是显著的。
回归系数的检验 （1）检验
即检验
对
有无作用，在
之下，
表明
对
作用显著
（2）再检验
即检验 对
有无作用，在
之下，
表明
对
作用不显著
设
在 其中：
之下的剩余阵为：
且
独立，所以，
例：下表为某农学院育种研究室2002年品种区试的部分资料，其中x1为冬季分 蘖（单位：万），x2为株高（单位：厘米），y1为每穗粒数，y2为千粒重（单 位：克），进行y1、y2关于x1、x2的归归分析。
品种 小偃6号 7576/3矮790 68G(2)8 79190-1 9615_1 9615-13 73(36) 丰产3号 矮丰3号
称为回归方程
将数据写成矩阵的形式：
将n组数据带入到回归模型中：
记 于是，多重多元回归模型为
二、多重多元回归式的求法
仍然用最小平方法计算回归式的系数， 和一元回归类似：
可以证明：
是
的无偏计；
三、回归系数向量的假设检验
设
中前m1个分量对
有影响，而后m2=m-m1个分量对Y没有影响，这就相当于检验：
一元模型
在线性回归模型中，根据中心极限定理通常假定
用最小平方法可求出 于是
的估计值,b0,b1
多元回归数学模型:
根据最小平方法：
第二节 多重多元线性回归模型
一、多元回归模型 设有m个自变量 假定他们之间有线性关系式：
，对应p个因变量
用矩阵表示为： 略去误差项而得到的关系式： 设有n组自变量和因变量的实测数据：