广东省揭阳市岐山中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(

广东省揭阳市岐山中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4} 2．（5分）在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A．11 B．12 C．13 D．153．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．（5分）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．7．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知{a n}为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=（）A．24 B．27 C．15 D．54二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果a n=2008，则序号n等于．10．（5分）在等差数列{a n}中，a3=19，a15=6，则a4+a14的值为．11．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=．12．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c且满足a：b：c=5：7：8，则∠B=．13．（5分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则A=．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）在△ABC中，AB=，BC=1，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求AC．16．（12分）从某学校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，图是按上述分组方法得到的条形图．（1）根据已知条件填写下面表格：组别 1 2 3 4 5 6 7 8样本数（2）估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？17．（14分）圆C：x2+y2=8内一点P（﹣1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．（1）求当时，弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；（3）在（2）的情况下，已知直线l′与圆C相切，并且l′⊥l，求直线l′的方程．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；（Ⅲ）求二面角H﹣EF﹣A的大小．19．（14分）在等差数列{a n}中，a16+a17+a18=a9=﹣36，其前n项为S n．（1）求S n的最小值，并求出S n＜0时n的最大值；（2）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．20．（14分）已知函数f（x）=（）x，x∈，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为时，值域为？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．广东省揭阳市岐山中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，∴∁U A={3，4，5}，则（∁U A）∪B={2，3，4，5}．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A．11 B．12 C．13 D．15考点：程序框图．专题：图表型．分析：据程序框图的流程，写出前8次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果．解答：解：通过第一次循环得到s=3，i=4通过第二次循环得到s=7，i=5通过第三次循环得到s=12，i=6此时满足判断框中的条件i＞5，执行输出s=12，故选B．点评：解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．3．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．4．（5分）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．5．（5分）在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．解答：解：∵a2﹣c2+b2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=60°．故选C点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题8．（5分）已知{a n}为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=（）A．24 B．27 C．15 D．54考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的通项公式，我们根据a3+a4+a8=9，易求也a5=3，由等差数列的前n 项和公式，我们易得S9=，结合等差数列的性质“当2q=m+n时，2a q=a m+a n”，得（a1+a9=2a5），即可得到答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4+a8=9∴（a1+2d）+（a1+3d）+（a1+7d）=9即3（a1+4d）=9∴a1+4d=3即a5=3又∵S9==9a5=27故选B点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，等差数列的前n项和，其中利用等差数列的性质“当2q=m+n时，2a q=a m+a n”，是解答本题的关键．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果a n=2008，则序号n等于670．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等差数列的通项公式可得n的方程，解方程可得．解答：解：∵{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，且a n=2008，∴1+3（n﹣1）=2008，解得n=670故答案为：670点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．10．（5分）在等差数列{a n}中，a3=19，a15=6，则a4+a14的值为25．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a4+a14=a3+a15，代值计算可得．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a3=19，a15=6，∴由等差数列的性质可得a4+a14=a3+a15=19+6=25故答案为：25点评：本题考查等差数列的性质，属基础题．11．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=25．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解解答：解：∵a1=1，a4=7，∴d==2∴=25故答案为：25点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题12．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c且满足a：b：c=5：7：8，则∠B=60°．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意设a=5k，b=7k，c=8k，利用余弦定理表示出cosB，把设出三边代入求出cosB的值，即可确定出B的度数．解答：解：设a=5k，b=7k，c=8k，∴cosB===，∵B为三角形内角，∴∠B=60°，故答案为：60°点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（5分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先通过余弦定理及题设中的条件求出AC的值，再根据正弦定理得出结果．解答：解：根据余弦定理cosA===﹣∴AC=3或AC=﹣8（排除）根据正弦定理，即∴=故答案为点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解决三角形的问题中，常通过这连个定理完成边和角的互化．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则A=45°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，b及sinB的值代入计算，求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵a=，b=，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°．故答案为：45°点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）在△ABC中，AB=，BC=1，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求AC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．（2）在三角形中根据已知的边与角，进而判断出能够利用余弦定理求得b．解答：解：（1）在△ABC中，因为，所以，又由正弦定理：可得：．（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，所以整理可得：，解得b=2或（舍去），所以AC=2．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，一元二次方程的解法，解题过程要灵活运用余弦定理，属于基础题．16．（12分）从某学校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，图是按上述分组方法得到的条形图．（1）根据已知条件填写下面表格：组别 1 2 3 4 5 6 7 8样本数（2）估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：（1）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系，可得频数．（2）从图得到身高在180cm以上的人数，由此估计2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数即可．（3）第三问是属于古典概型的问题，可通过基本事件列表法算出，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．解答：解：（1）由条形图得第七组频率为1﹣（0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3）=0.06，0.06×50=3．∴第七组的人数为3人．组别 1 2 3 4 5 6 7 8样本数 2 4 10 10 15 4 3 2（2）由条形图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18．估计这所学校2015届高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800×0.18=144（人）．（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：a b c 11 1a 1b 1c 1d2 2a 2b 2c 2d3 3a 3b 3c 3d所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个，因此实验小组中，恰为一男一女的概率是．点评：本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．17．（14分）圆C：x2+y2=8内一点P（﹣1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．（1）求当时，弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；（3）在（2）的情况下，已知直线l′与圆C相切，并且l′⊥l，求直线l′的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）由直线l的倾斜角的正切值，求出直线l的斜率，由P坐标与斜率即可写出AB的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，再由半径r，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，此时过P的直径所在的直线与弦AB所在的直线垂直，由圆心与P的坐标求出过P直径所在直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线l的斜率，由P的坐标与求出的斜率写出直线l的方程即可．（3）若l′⊥l，则l′的斜率为﹣2，设l′的方程为2x+y+C=0，结合直线l′与圆C相切，可得：圆心（0，0）到l′距离等于半径，进而求出直线l′的方程．解答：解：（1）由直线l的倾斜角为a=，得到直线l斜率为﹣1，则直线AB的解析式为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0，∴圆心到直线AB的距离d==，又圆的半径r=2，则弦AB的长为2=（2）由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），∵P（﹣1，2），∴过P的直径所在直线的斜率为﹣2，根据垂径定理得到直线l方程斜率为，则直线l方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0．（3）若l′⊥l，则l′的斜率为﹣2，设l′的方程为2x+y+C=0，由直线l′与圆C相切，则圆心（0，0）到l′距离等于半径，即，故C=±，故l′的方程为2x+y+±=0．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后利用勾股定理来解决问题．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；（Ⅲ）求二面角H﹣EF﹣A的大小．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：（Ⅰ）要证PB∥平面EFH，须证PB平行平面EFH内的一条直线即可．（Ⅱ）要证PD⊥平面AHF，须证PD垂直面内两条相交直线即可．（Ⅲ）求二面角H﹣EF﹣A的大小．必须找出二面角的平面角，求解即可．解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴EH∥PB．又∵EH⊂平面EFH，PB∉平面EFH，∴PB∥平面EFH．（Ⅱ）解：∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF，又∵PA⊥底面ABCD，BA⊂底面ABCD，∴AB⊥PA．又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD．又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，∵E，F分别是线段PA，PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．∵EH⊂平面PAB，EA⊂平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA，∴∠HEA就是二面角H﹣EF﹣A的平面角．在Rt△HAE中，，∴∠AEH=45°，所以二面角H﹣EF﹣A的大小为45°．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）．（Ⅰ）证明：∵，，∴，∵PB∉平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH．（Ⅱ）解：，，，，．∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH=A，∴PD⊥平面AHF．（Ⅲ）设平面HEF的法向量为，因为，，则取．又因为平面AEF的法向量为，所以，∴，所以二面角H﹣EF﹣A的大小为45°．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题．19．（14分）在等差数列{a n}中，a16+a17+a18=a9=﹣36，其前n项为S n．（1）求S n的最小值，并求出S n＜0时n的最大值；（2）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件求出a17=﹣12，从而得到d=3，由此求出前n项和，利用配方法能求出S n的最小值．由S n＜0得（n2﹣41n）＜0，解得即可．（2）数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T n=﹣S n，当n＞21时，T n=S n﹣2S21，由此利用分类讨论思想能求出T n．解答：解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a16+a17+a18=3a17=﹣36，∴a17=﹣12，∴d===3，∴a9=a1+8×3=﹣36，解得a1=﹣60，∴S n=﹣60n+×3=（n2﹣41n）=（n﹣）2﹣，∴当n=20或n=21时，S n取最小值﹣630．∵S n=（n2﹣41n）＜0∴n＜41，∴n的最大值为40．（2））∵a1=﹣60，d=3，∴a n=﹣60+（n﹣1）×3=3n﹣63，由a n=3n﹣63≥0，得n≥21，∵a20=3×20﹣63=﹣3＜0，a21=3×21﹣63=0，∴数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，当n≤21时，T n=﹣S n=﹣=﹣n2+n．当n＞21时，T n=S n﹣2S21=﹣2S21=n2﹣n+1260．综上，T n=．点评：本题考查数列的前n项和的最小值的求法，考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．20．（14分）已知函数f（x）=（）x，x∈，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为时，值域为？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：函数单调性的性质；函数最值的应用．分析：（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（2）由（1）可知a≥3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．解答：解：（1）由，已知，令设f（x）=t，则g（x）=y=t2﹣2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：①当时，g（x）的最小值h（a）=②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12﹣6a③当时，g（x）的最小值h（a）=3﹣a2综上所述，（2）当a≥3时，h（a）=﹣6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在上为减函数，所以h（a）在上的值域为．由题意，则⇒，两式相减得6n﹣6m=n2﹣m2，又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值．点评：本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．。