2020届内蒙古包头市高三下学期普通高等学校招生全国统一考试(一模)数学(文)试题(含答案)

2020届内蒙古包头市高三下学期普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{0,1,2},{|12}A B x x ==<≤，则A B =I （ ） A. {2} B. {1,2}C. {0}D. {0,1,2}【答案】A 【解析】 【分析】A 中只有2属于B【详解】解：2A ∈Q ，2B ∈()2A B ∴∈⋂故选：A【点睛】考查集合的交集运算，是基础题. 2.已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A.2B. 2C.3 D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 直接将1zi i=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】解：将1zi i=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+2z =故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A. 23 B. 25C. 28D. 29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列 95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.4.已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B.32C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.5.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ） A.19B. 79-C. 23-D.13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α.【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 6.下列说法正确的是（ ）A. “若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B. 在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件C. “若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D. 存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 【答案】C 【解析】 【分析】A ：否命题既否条件又否结论，故A 错.B ：由正弦定理和边角关系可判断B 错C ：可判断其逆否命题的真假，C 正确.D ：根据幂函数的性质判断D 错.【详解】解：A ：“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a ≤，则21a ≤”，故 A 错. B ：在ABC V 中，2sin 2sin A B a b R A R B >⇔>⇔>，故“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要充分条件，故B 错. C ：“若tan 1α≠，则4πα≠”⇔“若=4πα，则tan =1α”，故C 正确. D ：由幂函数(0)n y x n =<在()0+∞，递减，故D 错. 故选：C【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.7.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =，∴()22122223BC =+=，∴1tan 3BAC ∠=，解得160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8.当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1x x f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10x f x x x e =+->，解得15x -+>或15x --<，由()()2'10x f x x e =-<，解得：151522x ---+-<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A.58B.25C.35D.78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D【点睛】考查几何概型，是基础题.10.过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积．【详解】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，则焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =，又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p pDP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．11.在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu rAD （ ）3B.12C.347【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()()()22222112412411221212043AD AB AC AB ACAB AC AB ACCOS =+=+=++⋅=++⨯⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 。

故选：A【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.12.设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ）A. ()()(0)f a b f ab f +>>B. ()(0)()f a b f f ab +>>C. ()()(0)f ab f a b f >+>D. ()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可.【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)是双曲线2221(0)4x y a a -=>渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______5【解析】 【分析】先表示出渐近线，再代入点(1,2)，求出a ，则离心率易求.【详解】解：2221(0)4x y a a -=>的渐近线是2220(0)4x y a a -=>因为(1,2)在渐近线上，所以2220(0)412a a -=>1(0)a a =>22125c +，5ce a== 5【点睛】考查双曲线的离心率的求法，是基础题.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____ 【答案】54π 【解析】 【分析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6223654V r h πππ==⨯⨯=故答案为：54π【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题. 15.正项等比数列|{}n a 满足1354a a +=，且24312,,2a a a 成等差数列，则1223()()a a a a ⋅⋅1()n n a a +⋅L 取得最小值时n 的值为_____【答案】2 【解析】 【分析】先由题意列出关于1,a q 的方程，求得{}n a 的通项公式，再表示出1223()()a a a a ⋅⋅1()n n a a +⋅L 即可求解.【详解】解：设{}n a 公比为q ，且0q >，23242,a a q a a q ∴==4231222a a a ⨯=+22221222a q a a q ∴⨯=+2111132002544141224n n n q q q q a a a a --∴--=>∴=∴+=∴=∴=⨯=Q 32251222n n n n n n b a a ---+∴==⨯= 312512222n n b b b ---∴=⨯⨯⨯L L L L223(1)(25)4(2)4222n n n n -+-++----===L2n ∴=时，上式有最小值41216-=， 故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.16.已知函数()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点，则实数m 的取值范围为____ 【答案】(,)e +∞ 【解析】 【分析】()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点()01ln xm x x⇔-=≠恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【详解】解：()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点()01ln xm x x⇔-=≠恰有三个根， 令()(),1ln x g x x x =≠，()()(),0,1ln =ln ,1,ln x x x x g x xx x x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩()()21ln 0,1,0ln xx g x x-'∈=>，()g x 在()0,1x ∈递增； ()()2ln 11,,0ln x x g x x-'∈∞=>， ()()()2ln 11,,0,ln x x e g x g x x-'∈=<递减， ()()()2ln 1,,0,ln x x e g x g x x-'∈∞=>递增， ()()min g x g e e ==m e ∴>时，()f x 在()0,1x ∈有一个零点，在()1,x ∈+∞有2个零点；故答案为：(),m e ∈+∞.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.三、解答题：本大题共6小题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且223sin sin 302AA +-=. （1）求角A 的大小；（2）已知ABC ∆外接圆半径33R AC ==，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π（2）3+3 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A ＜π，可求A 的值．（2）由正弦定理可求a ，利用余弦定理可得c 值，即可求周长． 【详解】（1）Q 223sinsin 302AA += ∴ 1cos 23sin 302AA -+=， 即sin 3cos 0A A = tan 3A ∴=又0A π<< 3A π∴=（2）2sin a R A =Q2sin 23sin 33a R A π∴===, ∵3AC b ==∴由余弦定理得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴2360c c -=， ∵c ＞0，所以得3, ∴周长a+b+c=3+3【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；日平均气温（℃） 6 4 2 2-5-网上预约订单数 100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温C x 。