【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 导数及其应用双基限时练15(含解析)新人教A版选修1-1
高中英语真题-【名师一号】2014-2015学年高中英语Unit2Englisharoundthew
高中英语真题:【名师一号】2014-2015学年高中英语Unit2EnglisharoundtheworldPartⅢ双基限时练新人教版必修1Ⅰ.单词拼写1．I ________(认出了) him as soon as he came into the room.答案recognized2．Do you know what time the violent storm with thunder and _ _______(闪电) happened?答案lightning3．I can't express my feelings with________(词语)．答案expressions4．Soon we heard the sound of the ________(卡车)moving off.答案lorry5．Go ________(直) ahead and you can find the entrance.答案straight6．You can go there by ________(出租车)．答案cab7．I'm sure he is from the southeast according to his ________ (口音)．答案accent8．A small town has a small number of ________(街区)．答案blocksⅡ.翻译句子1．他走到我跟前来问我几点了。
_______________________________________________________答案He came up and asked me if I knew the time.2．多少人出席了会议？_______________________________________________________答案How many people were present at the meeting?3．不止一个问题在会上被提出。
【名师一号】高中英语 Learning to Learn双基限时练 北师大版必修3
【名师一号】2014-2015学年高中英语 Learning to Learn双基限时练北师大版必修3Ⅰ.单词拼写1．Each student is expected to __________ (参加) in the discussion.答案participate2．We've been __________ (寻找) for the lost keys for the last half hour.答案hunting3．As we all know, Zhou Xun is a famous __________ (女演员)．答案actress4．The experts are __________ (评估) the success of the training.答案evaluating5．For some reasons the computer can't recognise the dollar __________ (符号)．答案sign6．A marriage has been __________ (筹备) between Mr. Brown and Miss White.答案arranged7．The __________ (收集) of these stamps took Jim ten years.答案collection8．A __________ (作家) is anyone who creates a written work.答案writerⅡ.单句语法填空(不多于3个单词)1．She is in charge of all the ________ (arrange) for the wedding, so you can ask her about the time.答案与解析arrangements 句意：婚礼的一切安排由她负责，所以你可以问她关于时间的事。
新课标I(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题03 导数解析版Word版含解析
一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。
该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。
高考数学 专题2.4 导数的应用(二)同步单元双基双测(B卷)文-人教版高三全册数学试题
专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．eB.e C ．e 2D ．2 【答案】A考点：导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3＋ax 2＋36x －24在x =2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A.(2，3)B.(3，＋∞)C.(2,＋∞)D.(－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f ′(x )=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2＋2ax ＋36.∵函数在x =2处有极值，∴y ′|x =2=24＋4a ＋36=0，即－4a =60.∴a =－15. ∴y ′=6x 2－30x ＋36=6(x 2－5x ＋6)=6(x －2)(x －3). 由y ′=6(x －2)(x －3)＞0，得x ＜2或x ＞3. 考点：导数与函数的单调性。
3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=（ ）A ．23 B ．43 C ．83 D ．123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷（带解析） 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2，求出函数的解析式，再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（ ） A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学（文）试题 【答案】A【解析】由ln mx x <，得：ln m x x <,令()ln g x x x =，∴()21ln g?xx x -=，()g?0,x <得到减区间为()e ∞+，；()g?0,x >得到增区间为()0e ，，∴()max 1g x e =，()1g 2ln22=，()1g 3ln33=，且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解，实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选：A点睛：不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系，只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值X 围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题 【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =， 故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R，函数f (x )的导数存在，若f′(x )＞f(x)且 a ＞0，则以下正确的是（ ▲） A ．)0()(f e a f a⋅> B ．)0()(f e a f a⋅< C ．)0()(f a f > D ．)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x e x f x g =，那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ，所以()x g 是单调递增函数，那么当0>a 时，()()0g a g >，即()()0f ea f a>，即)0()(f e a f a⋅< 考点：根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点：利用导数求不等式的解集。
高中数学第三章导数及其应用习题课_导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升新人教A版选修1_1
习题课——导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.若f (x )=x 2-2x-4ln x ,则f'(x )>0的解集为( )A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0),f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2x-2-4x ,令2x-2-4x >0,整理得x 2-x-2>0,解得x>2或x<-1.结合函数的定义域知,f'(x )>0的解集为(2,+∞).故选C .2.若曲线f (x )=13x 3+x 2+mx 的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m 的值等于( )A.2B.0C.0或2D.3,只有一条切线的斜率等于1,又f'(x )=x 2+2x+m ,所以方程x 2+2x+m=1只有一个实数根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.3.已知f (x )=f '(1)x+4x ,则f'(1)=( )A.1B.4C.2D.-1f (x )=f '(1)x +4x ,所以f'(x )=-f '(1)x 2+4. 因此f'(1)=-f '(1)12+4,解得f'(1)=2.4.经过点(3,0)的直线l 与抛物线y=x 22的两个交点处的切线相互垂直,则直线l 的斜率k 等于( )A.-1B.-13C.12D.-12l 的斜率为k ,则其方程为y=k (x-3),设直线l 与抛物线的两个交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =x 22,y =k (x -3),得x 2-2kx+6k=0,所以x 1x 2=6k.又对y=x 22求导有y'=x ,所以抛物线在A ,B 两点处的切线的斜率分别为x 1,x 2,于是有x 1x 2=6k=-1,所以k=-16.5.下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.曲线的切线和曲线可能有无数个交点C.已知y=ln 2,则y'=12D.函数f (x )=x 3在原点处的切线为y 轴A,例如y=cos x 在(0,1)处的切线和y=cos x 有无数个交点,故A 错误,从而可知B 正确;对于C,y=ln2,y'=0,故C 错误;对于D,由f (x )=x 3,得f'(x )=3x 2,所以f'(0)=0,所以函数f (x )=x 3在原点处的切线方程是y=0,即为x 轴,故D 错误.故选B .6.给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f'(x )存在,且导函数f'(x )在D 上也可导,则称f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f'(x ))',若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数,以下四个函数在(0,π2)上不是凸函数的是( ) A.f (x )=sin x+cos x B.f (x )=ln x-2x C.f (x )=-x 3+2x-1D.f (x )=-x e -xf (x )=sin x+cos x ,则f ″(x )=-sin x-cos x ,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=ln x-2x ,则f ″(x )=-1x 2,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=-x 3+2x-1,则f ″(x )=-6x ,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=-x e -x =-xe x ,则f'(x )=x -1e x ,f ″(x )=2-x e x,在(0,π2)上,恒有f ″(x )>0,故选D .7.已知函数f (x )的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f (2)+f'(2)= .2x+y-3=0的斜率为-2,所以f'(2)=-2.又切点在切线上,所以2×2+y-3=0. 因此y=f (2)=-1, 故f (2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.3 8.已知a=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx,b=limΔx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx,c=limΔx →0f (x 0+2Δx )-f (x 0)Δx,d=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0-Δx )Δx,e=limx →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0,则a ,b ,c ,d ,e 中有相等关系的是 .c=d,又在e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0中,若令x-x0=Δx,则该式可化为e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.,a=e9.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.3x10.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由..因为y=x2+1,所以y'=2x.设切点为(t,t2+1),所以切线斜率为y'|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t),将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-∞,2).能力提升1.曲线y=2x ln x在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.e24B.e22C.e2D.2e2y'=2ln x+2,所以y'|x=e=2+2=4,且y(e)=2e,所以切线方程为y-2e=4(x-e),即y=4x-2e,所以直线与x轴、y轴交点坐标分别为(e2,0),(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S=12×e2×2e=e22,故选B.2.设f'(x)是函数f(x)(x>0)的导函数,且满足xf'(x)+2f(x)=1x2,f(1)=1,则f(x)的解析式为()A.f(x)=lnx+1x2(x>0) B.f(x)=ln x+1(x>0)C.f(x)=lnxx2+1(x>0) D.f(x)=lnxx+1(x>0)xf'(x)+2f(x)=1x2,∴x 2f'(x )+2xf (x )=1x . ∵[x 2f (x )]'=x 2f'(x )+2xf (x ), ∴可设[x 2f (x )]'=(ln x+c )',即f (x )=lnx+c x 2.又f (1)=1,∴c=1.∴f (x )=lnx+1x 2(x>0).3.若f (x )=x 3-f'(1)x 2+x+4,则f'(1)= .f (x )=x 3-f'(1)x 2+x+4,所以f'(x )=3x 2-2f'(1)x+1,所以f'(1)=3-2f'(1)+1,解得f'(1)=43.4.设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 .y'|x=1=n+1(n ∈N *),∴曲线在点(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1)(n ∈N *),令y=0,得x=x n =n n+1(n ∈N *),∴a n =lgn n+1(n ∈N *),∴a 1+a 2+…+a 99=lg 12+lg 23+…+lg 99100=lg (12×23×…×99100)=lg 1100=-2.25.已知f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )(a>b>c ),试证明方程f'(x )=0必有两个实数根.:因为f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )=(x-a )[(x-b )(x-c )],所以f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )[(x-b )(x-c )]' =(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ). 令g (x )=(x-a )(x-b )+(x-b )(x-c )+(x-a )·(x-c ), 因为a>b>c ,所以有g (a )=(a-b )(a-c )>0, g (b )=(b-a )(b-c )<0,g (c )=(c-a )(c-b )>0,根据函数零点的性质知,函数g (x )在区间(b ,a )和(c ,b )内各有一个零点, 故f'(x )=0有两个实根,且一个大于b ,另一个小于b. 法二:∵f (x )=(x-a )(x-b )(x-c ) =x 3-(a+b+c )x 2+(ab+bc+ac )x-abc ,∴f'(x )=3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ac ).Δ=[-2(a+b+c )]2-4×3×(ab+bc+ac ) =4[(a+b+c )2-3(ab+bc+ac )] =4(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac )=2[(a 2+b 2-2ab )+(b 2+c 2-2bc )+(c 2+a 2-2ac )] =2[(a-b )2+(b-c )2+(a-c )2],∵a>b>c ,∴Δ>0恒成立.∴方程f'(x )=0必有两个实数根.6.设函数f (x )=ax-bx ,曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y=f (x )在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f'(x )=a+b x2,于是{2a -b 2=12,a +b 4=74,解得{a =1,b =3,故f (x )=x-3x .P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y'=1+3x 2,知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=(1+3x 02)(x-x 0),即y-(x 0-3x 0)=(1+3x2)(x-x 0).令x=0,得y=-6x 0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6x 0).令y=x ,得y=x=2x 0,从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以曲线在点P (x 0,y 0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为12·|6x 0|·|2x 0|=6.故曲线y=f (x )在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为6.。
高中英语真题-【名师一号】2014-2015学年高中英语Unit1FriendshipPartⅡ双基
高中英语真题:【名师一号】2014-2015学年高中英语Unit1FriendshipPartⅡ双基限时练新人教版必修1Ⅰ.单词拼写1．She put all her clothes in a red ________(手提箱)．答案suitcase2．The ________ (高速) is convenient and can help you save a lot of time.答案highway3．I took off my ________(大衣) since it was very warm.答案overcoat4. In the meantime they would go home and ________(打包) up.答案pack5．He is soon ________ (厌烦) of listening to classical music.答案tiredⅡ.翻译句子1．我儿子已在美国愉快地定居了。
(settle)_______________________________________________________答案My son has settled happily in America.2．我厌倦了日复一日地做这样的工作。
(get tired of)_______________________________________________________答案I got tired of doing this work day after day.3．她的孩子习惯了亮着灯睡觉。
(with)_______________________________________________________答案Her baby is used to sleeping with the light on.4．我很高兴她已从重感冒中康复了。
(recover)_______________________________________________________答案I'm glad that she has recovered from a bad cold.Ⅲ.将下列句子中的直接引语改为间接引语，将间接引语改为直接引语1．She asked the boy，“Is it raining？”_______________________________________________________答案She asked the boy if it was raining.2．“Do you want to say something for yourself？”Mom asked T om._______________________________________________________答案Mom asked Tom if he wanted to say something for himself. 3．Jim said to me，“Tom has finished the job.”_______________________________________________________答案Jim told me that Tom had finished the job.4．He asked us what we wanted to eat that day._______________________________________________________答案He asked us，“What do you want to eat today？”5．The boy asked the girl if it snowed in winter in that city._______________________________________________________答案The boy asked the girl，“Does it snow in winter in this city？”6．Mary said that she had already eaten lunch._______________________________________________________答案Mary said，“I've already eaten lunch.”7．“What has happened？”mother asked._______________________________________________________答案Mother asked what had happened.8．He said，“I was born in May in 1987.”_______________________________________________________答案He said that he was born in May in 1987.9．“I want to have a try，”the girl said._______________________________________________________答案The girl said that she wanted to have a try.10．“I'll help you out of trouble，”he said to me._______________________________________________________答案He told me that he would help me out of trouble.Ⅳ.单项填空1．I'm not tired ________ a shopassistant job, but I am really tir ed ________ standing all day long.A. of; fromB. of; ofC. from; ofD. from; from答案与解析 A from在词组be tired from中表示原因，作“因为”讲，又如：suffer from“因……而受苦”。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.2 导数的概念
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∴4 s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
题型2
利用导数的定义求导数
例2 利用导数的定义解下列各题：
1 (1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6， 求a 的值．
－Δx 1 1 Δy 解析： (1)因为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ － ＝ ， 所以 Δx 2＋Δx 2 22＋Δx 1 Δy 1 ＝－ ，于是 f(x)在 x＝1 处的导数 f′(1)＝Δ lim ＝－ . x→0 Δx 4 22＋Δx
1 2 2． 已知物体做自由落体运动的方程为 s(t)＝ gt ， 若 Δt→0 时， 2 s1＋Δt－s1 无限趋近于 9.8 m/s，则正确的说法是( Δt A．9.8 m/s 是物体在 0～1 s 这段时间内的速度 B．9.8 m/s 是物体在 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的速度 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速度 D．9.8 m/s 是物体从 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的平均速度
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点评：由导数的定义求导数，是求导数的基本方法， 必须严格按以下三个步骤进行： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim . x→0 Δx
例：设函数 y＝f(x)＝3x2，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) Δy Δy 2 6Δ x ＋ 3(Δ x ) 6 ＋ 3Δ x ＝________________， ＝______________，Δ lim x→0 Δx Δx
6 6 ＝______________ ；f′(1)＝______________.
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第三章 导数及其应用2 文-人教版高三全册数学试题
第二节导数的应用A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A.－4B.－2C.4D.22.(2015·某某，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数3.(2015·某某，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<04.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值X围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)5.(2014·某某，9)若0＜x1＜x2＜1，则( )A．e2x－e1x＞ln x2－ln x1B．e2x－e1x＜ln x2－ln x1C．x2e1x＞x1e2x D．x2e1x＜x1e2x6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值X围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值X围.8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.(2016·某某，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.某某数a 的取值X 围.10.(2016·某某，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.(2015·某某，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 15.(2015·某某，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．16.(2015·某某，21)已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点． (1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值X 围．17.(2015·某某，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 18.(2015·某某，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值X 围． 19.(2015·某某，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )， 求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋134.20.(2015·某某，21)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值X 围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．21.(2014·某某，20)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 22.(2014·某某，21)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.(2014·某某，19)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值X 围．24.(2014·某某，21)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f (b)－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值X 围．25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值X 围．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某第二次模拟)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0) D.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 2.(2016·某某师大附中检测)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B.(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D.[3，＋∞)3.(2016·某某某某第三次诊断模拟)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A.3f (2)>2f (3)B.3f (2)＝2f (3)C.3f (2)<2f (3)D.3f (2)与2f (3)大小不确定4.(2016·某某某某诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1 （x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C.(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 25.(2015·某某省实验中学二诊)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<13，则f (x )<x 3＋23的解集是( )A.{x |－1<x <1}B.{x |x <－1}C.{x |x <－1或x >1}D.{x |x >1}6.(2015·某某某某调研)若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2]上有极小值，则实数a 的取值X 围是( ) A.(－5，1)B.[－5，1)C.[－2，1)D.(－2，1)7.(2015·某某市十二县联考)若函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋(3－a )x ＋b 有三个不同的单调区间，则实数a 的取值X 围是________.8.(2015·某某某某三模)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值X 围为________.9.(2015·某某某某中学模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，其中 a 为实数. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2. 答案 D2.解析 f (x )＝x －sin x 的定义域为R ，关于原点对称， 且f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－sin x ≥0恒成立，所以f (x )在其定义域内为增函数，故选B. 答案 B3.解析 由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c a＞0，所以a ＞0.故选A. 答案 A4.解析 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.解析 构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x－e xx 2＝e x（x －1）x 2，故函数g (x )＝exx在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6. 解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＞0，即a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C. 答案 C7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y－2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0， 综上，a 的取值X 围是(－∞，2].8.(1)解 由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. (2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a .可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增.可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意. ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .综上可知，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解 由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1，由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立； 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.11.(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解 由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.(3)证明 当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0， 故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点， 所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件. 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值X 围是(0，1)．13.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点． 当a >0时，因为e 2x单调递增，－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0， 即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意． 当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)， 则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意． 当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0， 即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值X 围是(－∞，1)．15.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．16.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0， 得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0.因此，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减； 当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1， 所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4. 故a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π4e －π4，＋∞.17.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x， 所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）ex，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.18.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值X 围是[－3，9－45]．19.(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)． 令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明 由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )． 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3＋413.20.解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1， 当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值X 围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减.综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减，(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0， 因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2， 当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0所以f (a )＝a －a 2<－4a.结合图象不难得当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．21.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 22.解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上， 方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， 单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．(2)当a ＜0时，Δ＞0，且f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ，此时x 1＜0，x 2＞0， 令x 2＝12得a ＝－54.①当－54＜a ＜0时，x 1＜0＜x 2＜12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54＜a ＜－712，则f (0)＝1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0∈(0，x 2)，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a ＜0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512＜a ＜－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪{－54}∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞.当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝13a2. (2)由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 时，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）|x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B . 显然，0∉B .下面分三种情况讨论：(1)当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．(2)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值X 围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B . (3)当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎪⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32. 24.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －ex2，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.25.解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞). 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a)(x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1， 解得－2－1＜a ＜2－1. ②若12＜a ＜1，则a1－a＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0. f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0，1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25. 答案 A2.解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案 C3.解析 令F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0， 所以F (x )为减函数，f （2）2>f （3）3，所以3f (2)>2f (3).答案 A4.解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.答案 D5.解析 构造函数F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23，F (1)＝f (1)－1＝0， ∵f ′(x )＜13，∴F ′(x )＝f ′(x )－13＜0，∴F (x )在R 上单调递减，f (x )＜x 3＋23的解集即F (x )＜0＝F (1)的解集，得x ＞1.答案 D6.解析 f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±1， 可以判断当x ＝1时函数有极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，6－a 2≥1，6－a 2＞a ，解得a ∈[－5，1)， ∴选B. 答案 B7.解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋3－a ，要使f (x )有三个不同单调区间，需Δ＝(－a )2－4(3－a )＞0，即a ∈(－∞，－6)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－6)∪(2，＋∞)8.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0恒成立，∴f (x )在R 上是增函数. 又f (－x )＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数.由f (mx －2)＋f (x )＜0得f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )， ∴mx －2＜－x ，即mx －2＋x ＜0在m ∈[－2，2]上恒成立. 记g (m )＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x ＜0，2x －2＋x ＜0， 解得－2＜x ＜23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 9.解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增. ①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f (t )＝t ln t .综上可知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e .(2)由题知2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x2， 当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(0，1)上单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 故h (x )在(1，＋∞)上单调递增.所以h (x )在(0，＋∞)上有唯一极小值h (1)，即为最小值， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，a ≤h (x )恒成立，所以a ≤4.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数记作或 .f ′(x 0)0|x x y ＝(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的 ，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______0αx α－1cos x －sin x a x ln a基本初等函数导函数e xf(x)＝e x f′(x)＝____ f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )[cf (x )]′＝.f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(e －x )′＝－e －x .( )√×××2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2a e0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，返回第二部分探究核心题型题型一 导数的运算例1 (1)(多选)下列求导正确的是√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；√思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x √B.设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2e x，则f′(1)＝12e√对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6x e x＋3x2e x，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程√(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为， .先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是√设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，|x x y ＝又y 0＝ln x 0，又切线方程为y＝kx＋1，(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a(－∞，－4)∪(0，＋∞)的取值范围是.因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝ ，化简，得 ＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，00000()e (1)e |x x x x x a y x a x +'=++=＝000(,()e )x A x x a +所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0B.4x－y－4＝0√C.2x＋y－2＝0D.4x＋y－4＝0当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(－∞，－2]∴－a≥2，即a≤－2.题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为√A.2B.5C.1D.0根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是√对于y＝ax2有y′＝2ax，令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈ 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32(0,e )当x ∈ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32(e ,) 32(e )g思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝－34ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，设公共切点的坐标为(x0，y0)，(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有√A.0条B.1条C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝e x－1，有f′(x)＝e x，则直线l的斜率k＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m)，即y＝e m x＋(1－m)e m－1，。
【名师一号】2014高中语文 散文井春无题川江号子(略读)双基限时练 新人教版选修《中国古代诗歌散文欣赏》
双基限时练(二) 井春无题川江号子(略读)一、基础巩固1．下列加点的字，读音全部正确的一组是( )A．淘汲．(jī)瞥．见(piē)屏．弃(bǐnɡ) 毁家纾．难(yú)B．澄．澈(chãnɡ) 洗涤．(dí)虔．诚(qián) 相互龃龉．(yǔ)C．兴．奋(xìnɡ) 摇曳．(yâ)蛊．惑(ɡǔ) 探本溯．源(shuî)D．倾．听(qǐnɡ) 手帕．(pà)牛虻．(mánɡ) 愀．然不乐(qiǎo)解析A．汲—jí，纾—shū。
C.兴—xīnɡ，溯—sù。
D.倾—qīnɡ，虻—mãnɡ。
答案 B2．下列词语中，没有错别字的一组是( )A．屏弃铮友唇枪舌剑孤掌难鸣B．涌跃摇曳防危杜渐雪泥鸿爪C．蛊惑座谈殒身不恤门可罗雀D．袒露敲榨既往不咎唉声叹气解析A．铮—诤。
B.涌—踊。
D.榨—诈。
答案 C3．下列各项中，加点的词语使用不恰当的一项是( )A．他们虽然承认《儒林外史》在写人艺术上有其精妙之处，但对它的结构上与西方叙事结构特征相抵触的地方颇不以为意．．．．。
B．“小沈阳”现象引起了社会的关注，有人说这“低俗”，有人说这代表了时代的选择，有人认为这不是真正的二人转……各种说法不一而足．．．．。
C．828米的迪拜塔能否发挥定海神针的作用，能否撑住房地产市场风雨飘摇．．．．的天空，还有待时间的检验。
D．一些媒体整日对万里之外的事故进行追踪报道，而对自己身边同样惨烈的事故轻描．．淡写．．，确有“厚彼薄此”之嫌。
解析A．不以为意：不把它放在心上，表示不重视，不认真对待。
应为“不以为然”。
B.不一而足：原意是不能因一事一物而使之满足。
后表示类此的事物或情况很多，不止一种或一次。
符合句意。
C.风雨飘摇：现比喻局势动荡不安，很不稳定。
符合句意。
D.轻描淡写：说话或写文章把重要问题轻轻带过，有时也有轻易，不费力的意思。
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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 导数及其应用双
基限时练15（含解析）新人教A 版选修1-1
1．已知函数f (x )＝－x 2
＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy
Δx
＝( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2
C ．3－(Δx )2
D ．3－Δx
答案 D
2．当自变量x 由x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 1处的导数
C ．在区间[x 0，x 1]上的导数
D ．在x 处的平均变化率 答案 A
3．对于函数f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )为( ) A ．0 B ．1 C ．c D ．不存在
答案 A
4．y ＝x 2
在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx
D ．1
解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1
Δx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2
－1Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案 B
5．已知函数f (x )＝2x 2
的图象上点P (1,1)及邻近点Q (1＋Δx,1＋Δy )，则lim Δx →0
Δy
Δx
＝( )
A ．4x
B ．4
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2
解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2 1＋Δx 2
－2
Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4. 答案 B
6．某质点的运动方程是S ＝t －(2t －1)2
，则在t ＝1 s 时的瞬时速度为________．
解析 ΔS ＝S (1＋Δt )－S (1)
＝[1＋Δt －(2＋2Δt －1)2
]－[1－(2－1)2
] ＝4(Δt )2
－3Δt ，
∴lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0 (4Δt －3)＝－3. 答案 －3
7．函数y ＝x 2
－2x ＋3在2到94之间的平均变化率为________．
解析 Δy Δx ＝[ 94 2－2×94＋3]－ 22
－2×2＋3
94－2＝9
4
.
答案 94
8．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f x 0 －f x 0＋Δx
2Δx
＝________.
解析 lim Δx →0
f x 0 －f x 0＋Δx
2Δx
＝－12·lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝－1
2·f ′(x 0)＝－1.
答案 －1
9．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －
3，则三者的大小关系为________．
解析 v －1＝s t 1 －s t 0 t 1－t 0
＝k OA ，
v －2＝s t 2 －s t 1 t 2－t 1＝k AB ，
v －
3＝s t 3 －s t 2 t 3－t 2
＝k BC ，
又∵k BC >k AB >k OA ，∴v －3>v －2>v －
1. 答案 v －3>v －2>v －1
10．甲、乙二人慢跑的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人慢跑时，________跑得快；
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，________跑得较快． 答案 乙 乙
11．比较函数f (x )＝2x
与g (x )＝3x
，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小． 解 设f (x )＝2x
在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 1，则k 1＝f 2 －f 1
2－1＝2，
设g (x )＝3x
在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 2，则k 2＝
g 2 －g 1
2－1
＝6，
∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率． 12．已知f (x )＝ax 2
＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值． 解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2
＋2－(a ×12
＋2) ＝2a ·Δx ＋a (Δx )2
，
∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4 ∴a ＝2.。