浙江省高三数学专题复习 自选模块 理
[高考数学]浙江省学军中学届高三高考模拟考试题自选模块-精品文档
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2011年学军中学高考模拟考试自选模块试卷题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）（1）已知,,0,x y z >且 1.x y z ++= 求222(1)(1)(1)x y z y y z z x x ++---的最小值。
（2）对于任意的n ∈N +,x 1,x 2,⋯,x n 均为非负实数，且2121≤++n x x x ，试证明： 21)1()1)(1(21≥---n x x x 题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）在极坐标系Ox 中，已知曲线12:cos():1(0),4C C πρθρθπ+==≤≤ 22321cos :sin .3C θθρ=+设1C 与2C 交于点.M （1）求点M 的极坐标；（2）若动直线l 过点M ，且与曲线3C 交于两个不同的点,,A B 求||||||MA MB AB ⋅的最小值。
题号03 数学（1）222,x y z xy yz zx ++≥++22223()() 1.x y z x y z ∴++≥++=2221.3x y z ∴++≥ 由柯西不等式，得2222[][(1)(1)(1)]() 1.(1)(1)(1)x y z y y z z x x x y z y y z z x x ++-+-+-≥++=--- ∴22222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()x y z y y z z x x y y z z x x x y z ++≥=----+-+--++13.1213≥=- 当且仅当a b c ==时，222(1)(1)(1)x y z y y z z x x ++---取到最小值3.2 （2）数学归纳法题号04数学（1）由221,1(0).x y x y y -=⎧⎨+=≥⎩解得点M 的直角坐标为(1,0),因此点M 的极坐标为(1,0). （2）设直线l 的参数方程为1cos ,(sin .x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），代入曲线3C 的直角坐标方程并整理得222(3sin cos )(2cos )20.t t ααα++-= 设点,A B 对应的参数分别为12,,t t 则121222222cos 2,.3sin cos 3sin cos t t t t ααααα+=-=-++ 12222||||||,3sin cos MA MB t t αα∴⋅==+12||||AB t t =-==22.3sin cos αα=+||||||MA MB AB ⋅∴= 20,0sin 1.απα≤<∴≤≤∴当2πα=时，sin 1α=，||||||MA MB AB ⋅有最小值6。
专题7自由选考模块高三数学理科二轮复习浙江省专用ppt课件
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第18讲 导数及其应用
—— 教师知识必备 ——
复合
运函 导 算 数求
y＝[f(g(x))]′＝f′[g(x)]g′(x)，特别地，[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)
数
导
及 研 单调 其究 性
使 f′(x)＞0 的区间为单调递增区间；使 f′(x)＜0 的区间为单调递减区间
应函 极值
用数
究
f（e）≥1，
解得5e≤a<e2.
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第18讲 导数及其应用
[小结] 确定函数的单调区间时要特别注意函数的 定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在 某些情况下函数导数的定义域包含原来函数的定义域．
考 点 考 向 探 究
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第18讲 导数及其应用
变式题 (1)若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)
(2)解：①由已知得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 因为曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线是 2x－y＋3＝0， 所以 f(0)＝c＝3，f′(0)＝b＝2，即 b＝2，c＝3. ②由①知 f(x)＝x3＋ax2＋2x＋3，f′(x)＝3x2＋2ax＋2. 因为 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以 f′(x)≥0 在区 间(0，＋∞)上恒成立．
＝2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点
P(0，f（0）)处的切线是2x－y＋3＝0.
考 点
①求b，c的值；
考
②若f x 在区间 0，＋∞ 上单调递增，求a的取值范
优化方案高考数学浙江·理科二轮专题复习课件：自选模块模块一 复数与导数
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方法归纳 (1)①求曲线在某点处的切线时，要注意切点既是曲线上的点也 是切线上的点，即切点的坐标同时适合切线方程和曲线方程．② 函数 y＝f(x)在某点处的导数、曲线 y＝f(x)在某点处切线的斜率 和倾斜角，这三者之间是相互关联的，是可以相互转化的，解题 时要善于在这三者之间进行转化．③曲线的切线与某些已知直线 围成的图形的面积问题，基本解决方法是求出切线与已知直线的 交点坐标，根据草图确定围成的图形的形状，选择合适的面积公 式进行计算．
集合 A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，求 A∩∁RB.
解：由于只有实数间才能比较大小，故 a2＋a＋bi<2＋ci⇔
a2＋a<2，解得－2<a<1，
b＝c＝0
b＝c＝0
因此 A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，
故 A∩∁RB＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝
{x|－2<x<0 或 0<x<1}．
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(5)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究 直线与二次曲线相切时有差别． (6)由函数 f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得 f′(x)≥ 0(或≤0)在该区间恒成立，而不是 f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝” 不能少． (7)求函数极值时，误把导数为 0 的点作为极值点； (8)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极 值是个“局部”概念．
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(2)①z∈R，只须 a2－7a＋6＝0， ∴a＝1 或 a＝6. ②z 是纯虚数，只须aa22＋－a7－a＋2＝6≠0，0， ∴a＝－2. ③∵－z ＝28＋4i， ∴a－2＋（aa－2－2＝7a2＋8，6）＝4，∴a＝5.
2022版高考数学二轮专题突破(浙江专用理科)文档：专题六 自选模块 第2讲 Word版含答案
第2讲计数原理1．(2021·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个2．(2021·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的开放式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．603．(2022·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券支配给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．4．(2022·课标全国Ⅱ)(x＋a)10的开放式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等学问，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理假如每种方法都能将规定的大事完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；假如需要通过若干步才能将规定的大事完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．例1(1)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种(2)假如一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么全部凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于简洁的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1(1)(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()A．8 B．9 C．26 D．27热点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与挨次有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列挨次完全相同①组合与挨次无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同例2(1)(2022·重庆)某次联欢会要支配3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168(2)数列{a n}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A．84 B．168C．76 D．152思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．跟踪演练2 (1)某台小型晚会由6个节目组成，演出挨次有如下要求：节目甲必需排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必需排在最终一位．该台晚会节目演出挨次的编排方案共有( ) A ．36种 B ．42种 C ．48种D ．54种(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．热点三 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数就是组合数C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；开放式中共有n ＋1项，其中第r ＋1项T r ＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N *)称为二项开放式的通项公式．例3 (1)(2021·陕西)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的开放式中x 2的系数为15，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)(2－x )8的开放式中，不含x 4的项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2思维升华 (1)在应用通项公式时，要留意以下几点：①它表示二项开放式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是开放式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能任凭颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 开放式的通项公式要特殊留意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 跟踪演练3 (1)(2022·湖北)若二项式(2x ＋a x )7的开放式中1x3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2 B.54 C ．1D.24(2)(2022·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的开放式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( ) A ．45 B ．60 C ．120D ．2101．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣扬广告，要求最终播放的必需是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A ．8种 B ．16种 C ．18种D ．24种2．为协作足球国家战略，训练部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的支配方案种数为( ) A ．60 B ．120 C ．240D ．3603．若(3x －1x )n 开放式中各项系数之和为16，则该开放式中含x 2项的系数为( )A ．102B ．－102C ．98D ．－1084．若(x 2＋1)(x －2)11＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 13(x －1)13，则a 1＋a 2＋…＋a 13＝________.提示：完成作业 专题六 第2讲二轮专题强化练专题六第2讲 计数原理A 组 专题通关1．从8名女生和4名男生中，抽取3名同学参与某档电视节目，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56D ．282．(2021·丽水模拟)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为( ) A ．18 B ．24 C ．30D ．363．一个三位数中，假如十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( ) A ．72个B ．120个C ．240个D ．360个4．(2021·湖北)已知(1＋x )n的开放式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29B ．210C ．211D ．2125．在二项式(x ＋3x )n 的开放式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则开放式中常数项的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．186．在二项式(x 12＋1412x )n 的开放式中，若前三项的系数成等差数列，则开放式中有理项的项数为( ) A ．5B ．4C ．3D ．27．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则全部涂色方法的种数为________．8．(2021·重庆)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的开放式中x 8的系数是________(用数字作答)．9．已知(1＋2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________(用数字作答)．10．(2021·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．B 组 力气提高11．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人担当，乙、丙各需1人担当，从10人中选派4人担当这项任务，不同的选法有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种D ．5 040种12．在二项式(x 2－1x )n 的开放式中，全部二项式系数的和是32，则开放式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．113．方案展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必需连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．A 44A 55 B ．A 33A 44A 35 C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 5514．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，假如颜色可以反复使用，则全部涂色方法的种数为________．15．(2021·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的开放式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 16．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．同学用书答案精析第2讲 计数原理高考真题体验1．B [由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.] 2．C [方法一 利用二项开放式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合学问求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.] 3．60解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有A 24种分法，所以不同获奖状况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.4.12解析 设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r ， 令10－r ＝7，∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 热点分类突破 例1 (1)A (2)A解析 (1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A 有4种涂法，B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A ，B ，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D 只要不与C 同色即可，故D 有2种涂法，故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)． (2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个； 当中间数为3时，有2×3＝6个； 当中间数为4时，有3×4＝12个； 当中间数为5时，有4×5＝20个； 当中间数为6时，有5×6＝30个； 当中间数为7时，有6×7＝42个； 当中间数为8时，有7×8＝56个； 当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个． 跟踪演练1 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种)． (2)由于值域为{0,1,2}，即ln(x 2＋1)＝0⇒x ＝0， ln(x 2＋1)＝1⇒x ＝±e －1，ln(x 2＋1)＝2⇒x ＝±e 2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C 11C 12C 12＝4，②当定义域中有4个元素时，C 11C 34＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种状况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数． 例2 (1)B (2)A解析 (1)先支配小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．支配小品节目和相声节目的挨次有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种状况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)支配方法；同理，第三种状况也有36种支配方法，对于其次种状况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)支配方法，故共有36＋36＋48＝120(种)支配方法． (2)∵|a k ＋1－a k |＝1，k ＝1,2,3， (11)∴前一项总比后一项大1或小1，a 1到a 5中4个变化必定有3升1减，a 5到a 12中必定有5升2减，是组合的问题，∴C 14×C 27＝84. 跟踪演练2 (1)B (2)45解析 (1)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最终一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；其次类：甲排在其次位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案． (2)共8名医生，2个科类，要求每个科类至少1名医生，“骨科和内科医生都至少有1人”的对立大事是“全是骨科或全是内科医生”． 若从这8名医生中任选3名，不同的选法有C 38种；其中全为骨科医生的选法只有1种，全为内科医生的选法有C 35种．所以所求选派方法有C 38－1－C 35＝56－1－10＝45(种)．例3 (1)C (2)B解析 (1)由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n＝15，即n (n －1)2＝15，解得n ＝6. (2)由通项公式，可得开放式中含x 4的项为T 8＋1＝C 8828－8(－1)8x 4＝x 4，故含x 4的项的系数为1.令x ＝1，得开放式的系数的和S ＝1，故开放式中不含x 4的项的系数的和为1－1＝0. 跟踪演练3 (1)C (2)C解析 (1)二项式(2x ＋ax )7的开放式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r， 令7－2r ＝－3，得r ＝5.故开放式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84， 解得a ＝1.(2)由于f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.高考押题精练1．A [可分三步：第一步，最终一个排商业广告有A 12种；其次步，在前两个位置选一个排其次个商业广告有A 12种；第三步，余下的两个排公益宣扬广告有A 22种．依据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A 12A 12A 22＝8(种)．故选A.]2．D [6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组状况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种状况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C 12种，其余5名分成一人组和四人组有C 45A 22(种)，共C 45A 22C 12＝20(种)；王教练支配到四人组且该组不去甲校有C 35C 12A 22＝40(种)，则第一种状况共有20＋40＝60(种)．(2)对于其次种状况，王教练支配到一人组有C 35C 22A 22C 12＝40(种)，王教练支配到三人组有C 25C 23C 12A 22＝120(种)，王教练支配到两人组有C 15C 12C 34A 22＝80(种)，所以其次种状况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种状况，共有C 15C 12C 24C 22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)支配方案．]3．D [依据已知，令x ＝1得2n ＝16，即n ＝4.二项开放式的通项公式是T r ＋1＝C r 4(3x )4－r (－1x )r ＝(－1)r 34－r ·C r4x 4－2r ，当4－2r ＝2，即r ＝1时，此时可得含x 2项的系数为－33×4＝－108.] 4．2解析 记f (x )＝(x 2＋1)(x －2)11＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 13(x －1)13， 则f (1)＝a 0＝(12＋1)(1－2)11＝－2.而f (2)＝(22＋1)(2－2)11＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13，即a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0.所以a1＋a2＋…＋a13＝2.二轮专题强化练答案精析第2讲 计数原理1．B [依据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：C 28C 14＝112.]2．C [将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C 24A 33＝36种状况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 33＝6种状况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种，故选C.]3．C [从0～9这10个数字中任选3个，有C 310种，这三个数字组成的凹数有A 22个，故共有C 310A 22＝240(个)．] 4．A [由题意，C 3n ＝C 7n，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.] 5．B [令x ＝1，得各项系数的和为4n ，各项的二项式系数的和等于2n ，依据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r (3x )r ＝3r C r 3x 32－32r ，明显当r ＝1时是常数项，这个常数是9.] 6．C [二项开放式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·(12)2⇒n ＝1＋n n －18，所以n ＝8.所以开放式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r x 4－3r 4.若为有理项，则有4－3r4∈Z ，所以r 可取0,4,8，所以开放式中有理项的项数为3.] 7．6解析 由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必定有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C 24＝6(种)不同的涂法． 8.52解析 二项开放式通项为T k ＋1 ＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 5x 15－7k 2， 令15－7k2＝8，解得k ＝2，因此x 8的系数为⎝⎛⎭⎫122C 25＝52. 9．729解析 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|相当于(1＋2x )6的开放式中各项系数确定值的和，令x ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝36＝729. 10．1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．11．C [第一步，从10人中选派2人担当任务甲，有C 210种选派方法；其次步，从余下的8人中选派1人担当任务乙，有C 18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人担当任务丙，有C 17种选派方法．依据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C 210·C 18·C 17＝2 520.]12．C [依题意得全部二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，令x ＝1，则该二项开放式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，故选C.]13．D [先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 55种．]14．260解析 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.假如使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C 25A 22＝20；假如使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C 35A 33＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C 35×3×2＝60；假如使用4种颜色，方法种数是C 45A 44＝120.依据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260. 15．3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即开放式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 16．－1解析 由于(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016， 令x ＝12，则(1－2×12)2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0.令x ＝0，可得a 0＝1. 所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.。
高中数学：浙江省自选模块课件之一
分析：不等式具有对称性， 易知取等号的条件为
x yz 1 3
证明：
x3
1 3
1
3
3
x
1
1
x
3 3
33 3
同理： y3 1 3 1 3 3 y 1 1 y
3 3
33 3
z3
1
3
1 3
3
z1
1
z
3 3
33 3
三式相加即得： x3 y3 z3 1 9
练习 3．已知a,b,c R ，且a bc 3．
证明： (a c)2 (b a)2 (c b)2 4 (a c)2 a b c3
并等号成立时 a,b,c 的值．
（ a b c 1或
a 3,b 3 5 3,c 93 5 ）
2
4
4
例 5．已知 a,b,c R 且 a bc 1．
例 2. 已知 a,b,c R ，且 a b c 1。
求 S 3 a2(1b) 3 b2(1 c) 3 c2(1 a)
的最大值
目标S： 3 2
分析：不等式具有轮换性， 易知取等号的条件为
a b c 1 3
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/102022/1/102022/1/102022/1/10
【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)专题针对训练一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a ＝2，得a ＝－18. 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B.椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，故选B.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．(2011年湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ，|BF 2|－|BF 1|＝2m ， 所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m .又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20，即4＋4m ＋4＝20. 所以m ＝9.5．(2011年高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．解析：设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M (3，±15)． 由两点间距离公式得|MF |＝－2＋15－2＝4. 答案：47．线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是__________．解析：设A 、B 的坐标分别为(a,0)、(0，b )，∵|AB |＝10，∴a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2＝100.设P 的坐标为(x ，y )，由中点公式，得x ＝a 2，y ＝b2，∴a ＝2x ，b ＝2y .把a ＝2x ，b ＝2y 代入a 2＋b 2＝100，整理得x 2＋y 2＝25.即P 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝25.答案：x 2＋y 2＝258．已知抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为__________．解析：由题意F (－p2，0)，设椭圆的右焦点为M ，椭圆与抛物线的一个交点为A ，则|AF |＝p ，|FM |＝p ，∴|AM |＝2p .∴椭圆长半轴长a ＝|AF |＋|AM |2＝2＋12p ，椭圆的半焦距c ＝p 2.∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12＋1＝2－1.答案：2－1三、解答题9．已知，抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1， ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.10．(2011年高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c 2＋b 2＝2c . 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解：(1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2.又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 28＋y24＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)，∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0.∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k2<0.∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交，∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．。
2022版高考数学二轮专题突破(浙江专用理科)文档：专题六 自选模块 第1讲 Word版含答案
第1讲 导数及其应用1．(2021·浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )2．(2022·陕西)如图，修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x3．(2022·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]4．(2021·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝______________.1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型.热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．求曲线的切线要留意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)(2021·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____________.(2)(2021·宁波模拟)设函数f (x )＝ax 3＋3x ，其图象在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．1 B ．3 C ．9D ．12思维升华 (1)求曲线的切线要留意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不愿定是切点，点P 也不愿定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求把握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． 跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线相互垂直，则实数a 的值是________．热点二 利用导数争辩函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0. 2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．例2 (2021·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．思维升华 利用导数争辩函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解． 跟踪演练2 (1)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0四周左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0四周左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的微小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2021·北京改编)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在状况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在状况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1eD ．－1e2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－233．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________． 4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a的取值范围是__________．提示：完成作业 专题六 第1讲二轮专题强化练专题六第1讲 导数及其应用A 组 专题通关1.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )2．(2021·云南第一次检测)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．(2021·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中确定错误的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫1k ＜1k B ．f ⎝⎛⎭⎫1k ＞1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1＞k k －14．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]5．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2021·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．7．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________． 9．(2021·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，争辩g (x )的单调性．10．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围．B组力气提高11．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是() A．20 B．18 C．3 D．012．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围为________．13．设函数f(x)＝a e x(x＋1)(其中，e＝2.718 28…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．同学用书答案精析专题六 自选模块第1讲 导数及其应用高考真题体验1．B [从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．]2．A [A 选项中，y ′＝f ′(x )＝32x 2－x －1，f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3.曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切，且在(0，1＋73)上单调递减，在(1＋73，2)上单调递增，符合题意．对B 、C 、D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切．故选A.] 3．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1) ＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有微小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.]4．8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 热点分类突破 例1 (1)1 (2)B解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. (1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )， 解得a ＝1.(2)f ′(x )＝3ax 2＋3，由题设得f ′(1)＝－6，所以3a ＋3＝－6，a ＝－3.所以f (x )＝－3x 3＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×1×6＝3.选B.跟踪演练1 4解析 设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0，又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线相互垂直，所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30，又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32，代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.例2 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x，由于f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞. 跟踪演练2 (1)B (2)(－19，＋∞)解析 (1)由题意知，函数的定义域为 (0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．(2)对f (x )求导， 得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是(－19，＋∞)．例3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化状况如下表：↘↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得微小值f (k )＝k (1－ln k )2.(2)由(1)知，当k >e 即k >e 时， f (x )min ＝f (e)＝e 2－k2.当1≤k ≤e 即1≤k ≤e 时， f (x )min ＝f (k )＝k (1－ln k )2.当k <1即0<k <1时， f (x )min ＝f (1)＝12.故函数f (x )在[1，e]上的最小值f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧12， 0<k <1，k (1－ln k )2， 1≤k ≤e ，e 2－k 2， k >e.跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为 (0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.由于x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0， 解得a ＝－12(舍去)或a ＝1.经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，明显在定义域内不满足f (x )<0； 当a >0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0，得x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以f ′(x )，f (x )的变化状况如下表：↗↘所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a <0，所以a >1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)． 高考押题精练1．C [y ＝f (x )＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝f ′(x 0)＝1x 0.∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .] 2．A [由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.]3．2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.4.⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 依据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.二轮专题强化练答案精析专题六 自选模块第1讲 导数及其应用1．C [依据f ′(x )的符号，f (x )图象应当是先下降后上升，最终下降，排解A 、D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排解B.]2．C [f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]3．C [∵导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，∴f ′(x )－k ＞0，k －1＞0，1k －1＞0，可构造函数g (x )＝f (x )－kx ，可得g ′(x )＞0，故g (x )在R 上为增函数，∵f (0)＝－1，∴g (0)＝－1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＞－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴选项C 错误，故选C.] 4．C [f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎨⎧f ′1≤0，f ′3≤0得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0恒成立，则有Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎨⎧Δ>0，－a <1f ′1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a >3，f ′3≥0，得a ∈[－5，＋∞)．综上a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C.]5．A [令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[12，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴[f (x )]min ＝f (1)＝0，∴a ≤0.]6．y ＝－1e解析 设y ＝f (x )＝x e x ，令y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＜0；当x ＞－1时，y ′＞0，故x ＝－1为函数f (x )的极值点，切线斜率为0，又f (－1)＝－e －1＝－1e ，故切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－1e ，切线方程为y ＋1e ＝0(x ＋1)，即y ＝－1e . 7．a ≤12解析 f ′(x ) ＝ax ＋1′x ＋2－x ＋2′ax ＋1x ＋22＝ax ＋2－ax ＋1x ＋22＝2a －1x ＋22，令f ′(x )≤0，即2a －1≤0，解得a ≤12.8．1解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.9．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 由于f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43 ＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 10．解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x ，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0； 当2<x <3时，f ′(x )>0； ∴f (x )在(1,2)上是单调减函数， 在(2,3)上是单调增函数， ∴f (x )在x ＝2处取得微小值 f (2)＝12－ln 2；又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3，∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12－ln 2.(2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18，故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]．∴⎩⎨⎧g0<318，g2<318，解得a <3116，∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．11．A [由于f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.] 12．(0，12)解析 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax (a >0)，问题转化为a ＝ln x ＋12x 在(0，＋∞)上有两个实数解．设g (x )＝ln x ＋12x ，则g ′(x )＝－ln x2x2.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g (x )在x ＝1处取得极大值也是最大值，即g (x )max ＝ g (1)＝12.留意g (1e )＝0，当x >1时，g (x )>0，则g (x )的大致图象如图所示．由图象易知0<a <12时，a ＝ln x ＋12x 在(0，＋∞)上有两个实数解．13．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ， ∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2， ∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)由(1)知f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减， 在[－2，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2－3<t <－2，2e tt ＋1t ≥－2.(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4 ＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.②当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．F (x )min ＝F (ln 1k )＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]．。
2022高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮文档：专题8 自选模块 第36练 Word版含答案
第36练 概 率[题型分析·高考展望] 概率是高考自选模块的必考内容，在2021年的考试说明中，明确指出概率部分考查概率的概念，理解古典概型，会计算古典概型中大事的概率．常考题型精析题型一 概率的概念及应用例1 (1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示向上的一面消灭奇数点，大事B 表示向上的一面消灭的点数不超过3，大事C 表示向上的一面消灭的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立大事 B ．A 与B 是对立大事C ．B 与C 是互斥而非对立大事D ．B 与C 是对立大事(2)某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球竞赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：①计算表中乒乓球优等品的频率；②从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少(结果保留到小数点后三位)?点评 对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪些试验结果，从而断定所给大事的关系．变式训练1 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？题型二 古典概型问题例2 (1)(2021·课标全国Ⅰ)假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310 B.15 C.110D.120(2)某班级的某一小组有6位同学，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位同学参与班级志愿者小组，求下列大事的概率：①选取的2位同学都是男生；②选取的2位同学一位是男生，另一位是女生．点评 求解古典概型问题的三个步骤：(1)推断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求大事A .(2)分别计算基本大事的总数n 和所求大事A 所包含的基本大事的个数m .(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝mn 求出大事A 的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立大事的概率，进而再求所求大事的概率．变式训练2 (1)(2021·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121D ．1 (2)(2021·浙江自选模块)设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球．从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率．高考题型精练1．(2021·江苏改编)袋中有外形、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( ) A.14 B.16 C.56D.122．(2021·舟山模拟)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35D.9103．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35D.9104．(2021·广东)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8D ．15．(2022·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16D.1126．(2021·湖州模拟)从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( ) A.16 B.13 C.12D.237．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35D.458．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.9．一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下，其次张也是奇数的概率是________．10．(2021·浙江重点中学协作体其次次适应性测试)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．11．(2022·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．12．(2021·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现接受分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛．①用所给编号列出全部可能的结果；②设A为大事“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求大事A发生的概率．答案精析第36练 概 率常考题型精析例1 (1)D [(1)依据互斥与对立的定义作答，A ∩B ＝{消灭点数1或3}，大事A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω(Ω为基本大事的集合)，故大事B ，C 是对立大事．](2)解 ①依据公式f ＝mn ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.②由①知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的四周摇摆，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.变式训练1 解 记大事在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A ，B ，C ，D ，E ，F . (1)至多2人排队等候的概率是 P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.所以至多2人排队等候的概率是0.56. (2)方法一 至少3人排队等候的概率是 P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F ) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二 由于至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立大事，故由对立大事的概率公式，至少3人排队等候的概率是P (D ∪E ∪F )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.56＝0.44. 所以至少3人排队等候的概率是0.44.例2 (1)C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.](2)解 ①设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位同学中任取2位同学的全部可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．从6位同学中任取2位同学，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以选取的2位同学全是男生的概率为 P 1＝615＝25.②从6位同学中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．所以选取的2位同学一位是男生，另一位是女生的概率为P 2＝815.变式训练2 (1)B [从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.](2)解 从袋中取出3个球，总的取法有C 37＝35(种)，其中白球比红球多的取法有C 33＋C 23·C 14＝13(种)． 因此取出的白球比红球多的概率为1335.高考题型精练1．C [这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.]2．D [总的取法通过列举法可知共有10种取法，不含白球的取法就一种，所以至少有1个白球的概率是910.]3．D [由题意，从五位高校毕业生中录用三人，全部不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的全部不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立大事“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所以所求概率P ＝910.] 4．B [5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p ＝610＝0.6.]5．B [掷两颗骰子，点数有以下状况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为436＝19.]6．B [从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,21,23,31,32，共6种，则这个两位数大于30有31,32，共2种，因此所求概率P ＝26＝13.]7．C [取两个点的全部状况为C 25＝10种，全部距离不小于正方形边长的状况有6种，概率为610＝35.故选C.] 8．8解析 由题意知n >4，取出的两数之和等于5有两种状况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8. 9.12解析 方法一 设“第一张是奇数”记为大事A ，“其次张是奇数”记为大事B ，P (A )＝A 15A 18A 29＝59，P (AB )＝A 25A 29＝518，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝51859＝12.方法二 设“第一张是奇数”记为大事A ， “其次张是奇数”记为大事B ， 则n (A )＝5×8＝40，n (AB )＝5×4＝20. P (B |A )＝n (AB )n (A )＝2040＝12.10.37解析 由于|AB →|＝k 2＋1≤4，所以k 2<15.又由于k ∈Z ，所以k ∈{－3，－2，－1，0,1,2,3}，在△ABC 中，BC→＝AC →－AB →＝(2－k,3)．若△ABC 为直角三角形可得AC →·AB →＝0或AB →·BC →＝0或AC →·BC →＝0，k ＝－2或k ＝3或k ＝－1或k ＝8.满足条件的有3个，所以所求概率为37.11．解 (1)由题意知，(a ，b ，c )全部的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为大事A ，则大事A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为大事B ，则大事B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种． 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.12．解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种． 因此，大事A 发生的概率P (A )＝915＝35.。
2022高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮自选模块模拟练1 Word版含答案
(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率．自选模块模拟练________姓名：________班级：________学号：1．z＝m(m－2)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，求m及z2 016的值．2．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)争辩f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围．“计数原理与概率”模块1．(x＋a)10的开放式中，x7的系数为15，求a的值．2．一个袋子中装有大小、外形完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号分别为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．(1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；答案精析自选模块模拟练 自选模块模拟练1 “复数与导数”模块1．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －2)＝0，m 2－3m ＋2≠0，∴m ＝0. ∴z 2 016＝(2i)2 016＝22 016.2．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a . 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数；若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)． “计数原理与概率”模块 1．解 设通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7，∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12. 2．解 (1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为大事A ，则P (A )＝3＋2C 39＝584. (2)设“取出的3个球中恰有2个球编号相同”为大事B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13.。
高中数学：浙江省自选模块课件之二
块
黄岩中学数学组
“坐标系与参数方程”模块
明确考试内容： （1）方程互化 （2）参数的几何意义 （3）极坐标应用
通常以直线与圆锥曲线为载体 考查参数方程与极坐标的应用
方程互化
• 参数方程化为普通方程 • 极坐标与直角坐标互化 • 极坐标方程化为普通方程
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例
1.已知直线
l
的参数方程为
x
y
2 t cos t sin
（ t 为参数， 为倾斜角，且 ），
2
写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的
定点 P 的坐标.
例 2.求极坐标 sin2 2 cos 0
表示的曲线的焦点坐标.
例
3.设曲线 C1
:
x
2tm 2
（ t 为参数）
y
Q 在线段 OP 上,且满足 OP OQ 1,
求点 Q 的轨迹方程，并指出轨迹是
什么图形 .
例 8.已知 O 为直角坐标原点.曲线 C 的方程： x2 2y2 1
(1)过点 P( 10 ,0) 作倾斜角为 的直线l 与曲线C 相交
2
于 A, B 两点.求| PA || PB |的最小值及相应的 的值；
常用的极坐标方程
圆心为 P(1,1) 且过极点 O 的圆的 极坐标方程为： 21 cos( 1)
极坐标方程的应用
例 7.在极坐标系中，已知点 A( 2, 0)
到直线 l ： sin( ) m (m 0)
4
的距离为 3 .
（1）求实数 m 的值； （2）设 P 是直线直线 l 上的动点，
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[自选模块](供选用)
1．“复数与导数”模块(10分)
(1)设i 是虚数单位.z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －
i ＋2＝2z ，求复数z .
(2)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )． ①若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
②若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．
2．“计数原理与概率”模块(10分)
(1)若⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n
展开式中只有第六项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． (2)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
①求三种粽子各取到1个的概率；
②设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 分别取0，1，2的概率．
自选模块
1．解 (1)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，
代入z ·z －i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2
)i ＋2＝2a ＋2b i ，
则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i. (2)①对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2
＋（6－a ）x ＋a e
x ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.
当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e
，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.
②由①知f ′(x )＝－3x 2
＋（6－a ）x ＋a
e x .
令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，
由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2
＋36
6，
x 2＝6－a ＋a 2
＋36
6.
当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；
当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；
当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数．
由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2
＋366≤3，解得a ≥－9
2， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－9
2，＋∞.
2．解 (1)依题意知：n ＝10，
∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r
·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r
·x 5－5
2r ，
令5－5
2r ＝0，得r ＝2，
∴常数项为C 21022
＝180.
(2)①令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有
P (A )＝C 12C 13C 1
5C 310
＝1
4.
②P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 1
8C 310＝1
15
.。