四川省棠湖中学2019届高三上学期第一次月考 数学(文)

2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试文科数学第I 卷 选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C A （）A.{}是菱形x x |B.{}形是内角都不是直角的菱x x | C.{}是正方形x x | D.{}是邻边都不相等的矩形x x |2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为（） A．．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为A．m B．m C．mD. 2m 4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度5．设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是 A ．①③ B．①④C ．②③④ D ．②③BAC6. 函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3)7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好取自阴影部分的概率为A ．41 B ．51 C ．61 D ．71 8．53)sin(=+πα，则=+)4(2sin παA.259B.259-C. 725D.257- 9．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 A ．4027B ．4026C ．4025D ．402410.已知函数23)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是 A ．)3,(--∞ B ]3,(--∞C ．)0,3(-D ．)0,3[-11.定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠-=2,12,2lg )(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰好有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则=++++)(54321x x x x x f A.2lg B.4lg C. 8lg D.1 12已知函数2ln )(x xx f =。

若方程0)(=-a x f 恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. e a 210<< B.e a 21< C.e a 2< D.ea 21> 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.点(,)P x y 在不等式组2,,2,y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.14．当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =.15.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为．16.若对任意的x R ∈，都有11()()()66f x f x f x =-++，且(0)1f =-，1()16f =，则2018()3f 的值为.三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．18.（本小题满分12分）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y 关于昼夜温差x 的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点．（Ⅰ）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（Ⅱ）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．20.（本题满分12分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅= （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 。

（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分. 22.（本小题满分10分） 已知直线2cos :4sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩， (t 为参数，α为倾斜角).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=.（Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为(2,4)，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求MA MB +的取值范围.23.（本小题满分10分） 已知函数4()||f x x m m x=+-+. （Ⅰ）当0m =时求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()5f x ≤在[1,4]x ∈上恒成立求实数m 的取值范围.2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试文科数学答案1-5：BCACB 6-10：DCCBD 11-12：DA 13. 6 14．65π；15.π20016.-1 17.解：（Ⅰ）x x x x f 4cos 6sin 4cos6cos4sin)(πππππ--==3cos 424x x ππ-=sin()43x ππ-. ………………4分 故)(x f 的最小正周期为842==πT ………………6分（Ⅱ）解法一：在)(x g y =的图象上任取一点))(,(x g x ，它关于1=x 的对称点))(,2x g x -（ …………………………8分由题设条件，点))(,2x g x -（在)(x f y =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--=sin[]243x πππ--=)43x ππ+…………………………………………10分 当430≤≤x 时，32343ππππ≤+≤x ， ………………………11分因此)(x g y =在区间]34,0[上的最大值为233cos3max ==πg ………………12分 解法二：因区间]34,0[关于x = 1的对称区间为]2,32[，且)(x g y =与)(x f y =的图象关于x = 1对称，故)(x g y =在]34,0[上的最大值就是)(x f y =在]2,32[上的最大值………10分由（Ⅰ）知)34sin(3)(ππ-=x x f ,当232≤≤x 时，6346ππππ≤-≤-x ………11分因此)(x g y =在]34,0[上的最大值为236sin3max ==πg . ……………12分 18．解：（Ⅰ）由数据求得，，，由公式求得，所以，所以y 关于x 的线性回归方程为． （Ⅱ）当x =10时，，； 同样，当x =6时，，．所以，该协会所得线性回归方程是理想的．19（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BC BE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20.解：⑴设抛物线方程为C ：22(0)y px p =>，……………………………2分由其定义知12pAF =+，又2AF =， 所以2p =，24y x =……………4分 ⑵易知(1,2)A ，设1122(,),(,)D x y E x y ， DE 方程为x my n =+(0)m ≠…6分把DE 方程代入C ，并整理得2440y my n --=，2121216()0,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-………………………………8分 由121222211AD AE y y k k x x --⋅=⋅=--及2211224,4y x y x ==得 12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………10分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-------1分由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=------2分()01,()01x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞------4分（Ⅱ）设00(,())P x f x ；则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+------5分 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x = 切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=-----6分（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔< 得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件------7分（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)xx x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x ------8分②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞ 存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞ 存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符。