合情推理与演绎推理-学易试题君之每日一题君2019年高考数学(文)一轮复习

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2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题53合情推理与演绎推理(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.一、合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．二、演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．高频考点一归纳推理例1、观察下列等式： 3π－2＋32π－2＝34×1×2；5π－2＋52π－2＋53π－2＋54π－2＝34×2×3；7π－2＋72π－2＋73π－2＋…＋76π－2＝34×3×4； 9π－2＋92π－2＋93π－2＋…＋98π－2＝34×4×5； …照此规律，2n ＋1π－2＋2n ＋12π－2＋2n ＋13π－2＋…＋2n ＋12nπ－2＝__________. 【答案】34×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是34，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 【变式探究】已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： 2a1＋a2≥；3a1＋a2＋a3≥a1a2a33； 4a1＋a2＋a3＋a4≥a1a2a3a44； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，n a1＋a2＋…＋an≥______.【答案】a1a2…an n【解析】根据题意得n a1＋a2＋…＋an ≥a1a2…an n(n ∈N *，n ≥2)．【举一反三】观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝21n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋21n (n ＋1)＝61n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋61n (n ＋1)(n ＋2)＝241n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …可以推测，1＋5＋15＋…＋241n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 【答案】1201n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)【变式探究】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55【答案】D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.【感悟提升】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【变式探究】(1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C高频考点二类比推理例2、 (1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列n Sn 为等差数列，公差为2d.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{Tn n}的公比为( )A.2qB ．q 2C.D.q n【答案】C【解析】由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1qn －1＝b 1n q 1＋2＋…＋(n －1)＝.∴Tn n ＝，∴等比数列{Tn n}的公比为，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：ha Pa ＋hb Pb ＋hc Pc＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．【答案】ha Pa ＋hb Pb ＋hc Pc ＋hd Pd＝1【感悟提升】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．【变式探究】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C n r ＋C n r ＋1＝C n ＋1r ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 …C n 0 C n 1 … C n r … C n n －1 C n n 图1 21 21 31 61 31 41 121 121 41 51 201 301 201 51 61 301 601 601 301 61 …n 0 n 1 … n r … n n －1 n n 图2【答案】n r ＝n ＋1r ＋n ＋1r ＋1【解析】类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数n ＋11，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C n r ＋C n r ＋1＝C n ＋1r ＋1，有n r ＝n ＋1r ＋n ＋1r ＋1. 高频考点三演绎推理例3、数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋2S n (n ∈N *)．证明：(1)数列n Sn是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【感悟提升】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．【变式探究】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．【方法技巧】解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．【变式探究】(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 018是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.对于②，取f (x )＝x2＋1，0<x≤3，x ＋1，－1<x≤0，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②；对于③，取f (x )＝tan 2π(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.【答案】(1)①5 045 ②25k －1(2)④1.(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙1．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.2. (2016·山东)观察下列等式： 3π－2＋32π－2＝34×1×2；5π－2＋52π－2＋53π－2＋54π－2＝34×2×3； 7π－2＋72π－2＋73π－2＋…＋76π－2＝34×3×4； 9π－2＋92π－2＋93π－2＋…＋98π－2＝34×4×5； …照此规律，2n ＋1π－2＋2n ＋12π－2＋2n ＋13π－2＋…＋2n ＋12nπ－2＝__________. 【答案】34×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是34，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.。

2019高三一轮总复习文科数学课件：6-5合情推理与演绎推理

归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律． (2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律． (3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论.
[自主演练] 1．(2018 届潮州模拟)如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左到右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为 20＋21＝3，第二个等式为 20＋22＝5，第三个等式为 21＋22＝6，第四个等式为 20＋23＝9，第五个等式为 21＋23＝10…以此类推，则第 99 个等式为( )
【答案】 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
角度三与图形有关的归纳推理 (2017 届成都模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出
发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
答案：B
2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3 根火柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 根火柴，…，则第 2 016 个图形用的火柴根数为( )
A．2 014×2 017 C．2 015×2 017
B．2 015×2 016 D．3 024×2 017
纳和类比等进行简单的推理，了解
合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它
5年28考
们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间
的联系和差异．

2019年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理实战演练理

2019年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理实战演练理1．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误，故选B ．2．(2015·山东卷)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；…照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 解析：由题知C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为A ．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A ．4．(2016·山东卷)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1)．解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．。

2019高考文科数学一轮复习课件43：合情推理与演绎推理.ppt

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1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
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1．归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论．
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4.(教材改编题)“两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等，∠A 和∠B 是内错角，则∠A ＝∠B”，该证明过程的大前提是两直线平行内错角相等，小前提是 ∠A 和∠B 是内错角，结论是 ∠ A＝∠B .
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5.(2012·杭州模拟)在△ABC 中，若 AC⊥BC，
AC＝b，BC＝a，则△ABC 的外接圆半径 r＝
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证明如下： sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°) ＝43sin2α＋[cos(α＋30°)＋12sinα]2 ＝43sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°＋21sinα)2 ＝43sin2α＋43cos2α＝34.
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二类比推理及应用
【例 2】在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，求证：A1D2＝A1B2＋A1C2，那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
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2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠．

2019届高考数学一轮复习：《合情推理与演绎推理》教学案(含解析)

第五节合情推理与演绎推理[知识能否忆起]一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：[小题能否全取]1．(教材习题改编)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，因此x＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶85．(2018·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n2<2n－1n(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1161.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．典题导入[例1] (2018·河南调研)已知函数f(x)＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x)＝f(x)，f 2(x)＝f(f 1(x))，f 3(x)＝f(f 2(x))，…，f n (x)＝f(f n －1(x))，…，n ∈N *，那么由归纳推理可得函数f n (x)的解析式是f n (x)＝________.[自主解答] 依题意得，f 1(x)＝xx ＋2， f 2(x)＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x3x ＋4＝x2－＋22，f 3(x)＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x7x ＋8＝x3－＋23，…，由此归纳可得f n (x)＝xn－＋2n(x ＞0)．[答案]xn－＋2n(x ＞0)由题悟法1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围． 2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．(2018·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.[答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r由题悟法1．类比推理是由特殊到特殊的推理， 2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n)a p ＋(n －p)a m ＋(p －m)a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝(b 1qp －1)m －n·(b 1qm －1)n －p·(b 1qn －1)p －m＝b 01·q 0＝1.答案：b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝1典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)由题悟法演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF.1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( ) A ．① B ．② C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.2．(2018·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f(x)＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3．(2018·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4．(2018·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“a，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“a，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b”； ④“若x ∈R ，则|x|＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z|＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6．(2018·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝xcos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀ x ∈R 都成立，推断：f(x)＝xcos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝＋2n －2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7．(2018·杭州模拟)设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋22. 答案：f(2n)≥n ＋228．(2018·陕西高考)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24. 答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋22个2＋3＋3＋…＋32个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1＋1－1＋1－1＋…＋1－1的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n. 因为f(n ＋1)－f(n)＝4n ，所以f(n ＋1)＝f(n)＋4n ，f(n)＝f(n －1)＋4(n －1) ＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n≥2时，1－1＝1－＝12(1n －1－1n)， ∴1＋1－1＋1－1＋…＋1－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n.1．(2018·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n ∈N *，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03．(2018·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．(2018·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x ，y)的不同整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x ，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n 时，对应的不同整数解(x ，y)的个数为4n ，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为80.2．(2018·豫东、豫北名校测试)已知如下等式： 3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n－3n－1×4＋3n－2×42－…＋(－1)n4n＝________(n∈N*)．解析：依题意及不完全归纳法得，3n－3n－1×4＋3n－2×42－…＋(－1)n4n＝17[3n＋1－(－4)n＋1]．答案：17[3n＋1－(－4)n＋1]。

2019年高考数学一轮复习合情推理与演绎推理

课时小结
课后练习
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行
归纳，
类比，然后提出猜想的推理，我们把它
们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
课后练习
(2016· 石家庄市一模)如图所示的数阵中，用 )
1 3 1 6 1 3 13 30 1 2 1 6 1 10 1 15 1 21
A(m， n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(15,2)为(
解：由数阵图可以看出每一行的第一个数的分子都是 1，分母按 3,6,10,15，„„排列，从第三行起，每一行第二列的数字都是该数字肩上两个数字之和， 1 1 A(3,2)＝＋， 6 6 1 1 1 A(4,2)＝＋＋， 6 6 10 1 1 1 1 A(5,2)＝＋＋＋， 6 6 10 15 „„ 1 1 1 1 2 A(n,2)＝＋＋＋＋„＋， 6 6 10 15 n n ＋ 1
全部对象都具有这些特征的推理，
或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部个别分到整体、由到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到
特殊
的推理．
复习目标
课前预习
高频考点
解：由前三个的规律，即左边为连续的正整数的立方和，右边为连续的正整数和的平方，可得结论．
答案：1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＝(1＋2＋3＋4＋5)

2019届高考数学一轮复习第十一篇第3节合情推理与演绎推理训练理新人教版

学习资料专题第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但大前提错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.故选C.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“=”类比得到“=”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①②正确,③④⑤⑥错误.故选B.3.(2017·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( D )(A)21 (B)34 (C)52 (D)55解析:因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数为21+34=55.故选D.4.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于( D )(A) (B) (C)(D)解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故=.故选D.5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( A )(A)设数列{a n}的前n项和为S n.由a n=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:S n=n2(B)由f(x)=xcos x满足f(-x)=-f(x)对∀x∈R都成立,推断:f(x)=xcos x为奇函数(C)由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断:椭圆+=1(a>b>0)的面积S=πab(D)由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切n∈N*,(n+1)2>2n解析:选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{a n}是等差数列,其前n项和等于S n==n2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.故选A.,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,a i∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C )(A)11010 (B)01100(C)10111 (D)00011解析:对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10110.故选C.7.在圆中有结论:如图所示,“AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过A,B的切线,P是圆O 上任意一点,CD是过P的切线,则有PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB是椭圆的长轴,直线AC,BD 是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有.”解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:PF1·PF2=PC·PD8.(2017·潍坊市一模)观察式子1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出1+++…+< .解析:根据题意,每个不等式的右边的分母是n+1.不等号右边的分子是2n+1,所以1+++…+<(n≥1).答案:(n≥1)能力提升(时间:15分钟)9.若数列{a n}是等差数列,则数列{b n}{b n=}也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n}是等比数列,且{d n}也是等比数列,则d n的表达式应为( D )(A)d n= (B)d n=(C)d n= (D)d n=解析:若{a n}是等差数列,则a1+a2+…+a n=na1+d,所以b n=a1+d=n+a1-,即{b n}为等差数列;若{c n}是等比数列,则c1·c2·…·c n=·q1+2+…+(n-1)=·,所以d n==c1·,即{d n}为等比数列.故选D.10.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( B )(A)(7,5) (B)(5,7)(C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B.11.(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( D )(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁解析:根据题意,6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表:由表知,只有丁猜对了比赛结果.故选D.12.(2017·日照市一模)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)- (k-1) k(k+1)]由此得1×2= (1×2×3-0×1×2),2×3= (2×3×4-1×2×3),…n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为.解析:因为n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],所以1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4),…n (n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)·n(n+1)( n+2)],所以1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= [(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n·(n+1)(n+2)(n+3)- (n-1)n(n+1)(n+2)]= n(n+1)(n+2)(n+3).答案: n(n+1)(n+2)(n+3)13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,其面积为S,则△ABC的内切圆的半径r=.这是一道平面几何题,其证明方法是“等面积法”.请用类比推理的方法猜测对空间四面体ABCD 存在的类似结论为.解析:已知四面体ABCD的四个表面的面积分别为S1,S2,S3,S4,其体积为V,则四面体ABCD的内切球的半径r=.由题意可得,题目要求写出类似的结论,则在保证该结论正确的前提下,尽量在语言表达上与前面的结论一致.本题体现了平面几何与立体几何在如下词语上的对应:“△ABC”与“四面体ABCD”,“边长”与“表面面积”,“面积”与“体积”,“内切圆”与“内切球”,这是结构上的类比.再者,本题也体现了方法上的类比,即等面积法推理到等体积法,同样是将整体分割成几个小的部分,然后利用体积不变得出结论,即V=S1r+S2r+S3r+S4r,从而r=.答案:已知空间四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,其体积为V,则四面体的内切球的半径r=(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:+=,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.解析:类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子+=,有=+. 答案:=+。

2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理(解析版附后)

2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．1443．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．665．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1二、填空题 6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．7．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．1692．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B ．]5．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB→＝0. 又FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝aC ．而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝aC ．在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.]二、填空题6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22 [函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A ，B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22.] 7．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.[解]由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1 4.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解]f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f(－1)＋f(2)＝3 3，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33. 6分证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝(3x1＋3)＋(3x2＋3)(3x1＋3)(3x2＋3)＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．169B[可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线．故选B．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. 5分(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34. 12分法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 12分。

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1 12月11日合情推理与演绎推理
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩【参考答案】D
【试题解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D ．
【解题必备】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
（1）常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
①数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
②形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．学+科网
（2）类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：
①类比定义，在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
②类比性质，从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
③类比方法，有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
（3）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．为了方便，在运用三段论推理时，常。