湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试卷

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数 学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．当213m <<时，复数(3i)(2i)m +-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线221259x y +=与曲线221925x y k k+=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等3．数列{}n a 的通项3(7)4,4,,4,n n t n n a t n --+≤⎧=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(4,7)B ．32,75⎛⎫⎪⎝⎭C ．32,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(1,7) 4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C ．2 D ．125．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介人，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，对于01R >，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数03R =，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（ ）（参考数据：653729,41024==）A ．35B ．42C ．49D ．566．半径为5的圆O 内有一点P ，已知||4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则ω的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1339,,2222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ） A ．()(22022)f x f x <+ B ．2022(())2022f f x x ≥C ．22022ff x ⎛≥ +⎝⎭D ．(sin )(cos )f x f x ≤二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知圆22:230A x y y +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线1x =-与圆A 相切 B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4 C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为3 10．已知n S 是{}n a 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）仍然是等差数列 B ．若{}n a 为等差数列，则322n n n S S S =- C ．若{}n a 为等比数列，公比为q ，则()21nn nS qS=+D ．若{}n a 为等比数列，则“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”是“m n q p a a a a ⋅=⋅”的充要条件11．点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面正方形11ADD A 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ）A ．满足1MC AD ⊥的点MB ．点M 存在无数个位置满足直线1B M ∥平面1BC DC ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒D ．若E 是1CC 的中点，则平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．存在点P ，使得12||||2PA PF a -=B ．存在点P ，使得直线12,PA PA 的斜率的绝对值之和122PA PA bk k a+≤ C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若212PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O的球面上，1120,2AB AC BAC AA ==∠=︒=，则球的表面积为___________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为___________．16．已知数列{}n a 满足()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+．（1）若31a =，则n a =___________；（2）若对任意正实数t ，总存在1(3,)a λ∈和相邻两项1,k k a a +，使得1(21)0k k a t a +++=成立，则实数λ的取值范围是___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <． （1）求直线l 的方程；（2）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为5，求圆C 的标准方程．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，2,1AB PD BC ===．（1）证明：EF ∥平面PBC ； （2）求点E 到平面PBC 的距离． 19．（本小题满分12分）8月份，有一新款服装投入某市场．8月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当8月某日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，已知8月31日当天刚好售出3件． （1）问8月几日该款服装销售最多？最多售出几件？（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？ 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4,(1,2),(,0)C y x A B m =，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．（1）当直线l 垂直于x 轴，且AMN △为直角三角形，求实数m 的值；（2）若四边形OAPB 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM AN ⊥． 21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）设数列{}n b 满足13,,2,,2n n n ab n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．22．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(2,0)F -．过1F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆交于()()1122,,,A a b B a b 两点，且112AF F B =．（1）求证：()2121220b b b b ++=，并求椭圆C 的方程；（2）设()()()()11223344,,,,,,,M x y P x y N x y Q x y 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求四边形MPNQ 面积的最大值并计算此时的22221212,x x y y ++的值．湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）2．C 【解析】曲线1259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．曲线221925x yk k+=--（9k<且0k≠）表示焦点在y轴上，长轴长为短轴长为，焦距为8的椭圆．对照选项，则C正确．3．A 【解析】由已知得270,1,4(7)4,ttt t->⎧⎪>⎨⎪-+<⎩解得47t<<．故选A．4．B 【解析】解法一：如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，作CG PD⊥于点G，CH PA⊥于，点H，连接HG，有cos,cos cos,PHCPAPCPG PH PHCPD APDPC PG PC⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故cos cos cosCPA CPD APD∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD∠=︒∠=︒，故cos cos60coscos cos30CPACPDAPD∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC放在正方体中，,,PA PB PC的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB=-==-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则0,0,n PA y zn PB x y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,3||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯． 设直线PC 与平面PAB所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=， 所以cos θ==．故选B ． 5．B 【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染， 则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：12000111n n R R R R R +-+++⋅⋅⋅+=-，因为03R =，所以当感染人数增加到100人时，113100013n +-=-，化简得3667n =， 由563243,3729==，故得6n ≈，又因为平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天， 故答案为B ．6．A 【解析】由题知过点P 的最短弦与OP 垂直，弦长为6，最长弦为圆O 的直径，其长为10，过点P 的21条弦的长度构成递增的等差数列，则公差d 的最大值为10612115-=-，故{}n a 的公差的取值范围为10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A ．7．D 【解析】解法一：当()sin f x x ω=取最值时，,2x k k πωπ=+∈Z ．即2,k x k ππω+=∈Z ， 由题知23k ππππω+<<，故1132k ωω<+<．即33,21,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩Z ．因为0,0k ω>=时，1322ω<<；1k =时，3922ω<<；显然当32ω>时，2232232T ππππωω==<=，此时()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上必有最值点． 综上，所求133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法二：由()cos f x x ωω'=，()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，即()0f x '=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解． 即,2x k k πωπ=+∈Z 在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解． 以下同解法一． 解法三：特例代入法 分别取3,52ωω==，易知A 、B 、C 错，故选D ． 8．C 【解析】A 选项，由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为2m x =-，当220222m x +=-时，根据二次函数性质知不成立，故A 错误；B 选项，(())f f x 为四次函数，因为2022xy =为指数函数，则x →+∞时，一定有2022(())2022xf f x <，故B 错误；C 选项，≥，则只需()f x 左边即可，即2m -≤所以m ≥即可，故C 正确；D 选项，分别取,0,,22x πππ=-，可得(0)(1)(1)f f f =-=，对二次函数来说是不可能的，故D 错误．故选C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．BC 【解析】由圆:230A x y y +--=得(1)4x y +-=， 所以圆心(0,1)A ，半径2r =，对于A ：圆心A 到直线1x =-的距离为1，所以直线1x =-与圆A 相交，故A 错误； 对于B ：圆心A 在y 轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B 正确；对于C ：点(1,1)B --到圆心A 的距离2d ==>，所以点B 在圆A 外，故C 正确；对于D ：圆心A 到直线的距离3d ==，所以圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为321-=，故D 错误．故选BC ． 10．AC 【解析】对于A ，由211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故122n pS pdd n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．易知n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）是首项为1a p ，公差为2pd 的等差数列，A 正确；对于B ，由{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列，故有()()2322n n n n n S S S S S -=+-，所以()323n n n S S S =-，B 不正确；对于C ，()212212n n n n n n n n n S S a a a q a a a q S ++-=+++=+++=，故()21nn n S q S =+，C 正确；对于D ，充分性易证．而若{}n a 为常数列时，如3n a =，则210013a a a a ⋅=⋅，但210013+≠+，故必要性不成立，D 不正确。