三角函数图像和性质习题课(含答案)

三角函数的图像和性质习题课
例1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______． 解析 y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数，即关于y 轴对称 ∴sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
例2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π
6对称，则φ的最小值为________．
解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得y ＝sin(2x －2φ)x ＝π
6是一条对称轴， 则2×π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z ∴φ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴φ的最小值为5π12.
例3．将函数y ＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫|θ|<π2的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝
sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π5的图象，则θ的值为________． 解析 设f (x )＝sin (2x ＋θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋θ.
由已知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π5.∴π2＋θ＝π5，∴θ＝－3π10.
：
例4．设ω>0为常数，函数y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，π4上单调递增，则实数ω的取
值范围是__________． 答案 0<ω≤3
2
例5．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题
(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； (2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6；
(3)y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6，0对称； (4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6，对称．
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)
解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π
3＝k π(k ∈Z )．
∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3利
用公式得：f (x )＝4cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对； 对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④， 函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π
2(k ∈Z )．∴④错．
\
例6．(创新拓展)已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ， (1)当f (x )＝0有实数解时，求a 的取值范围； (2)当x ∈R ，有1≤f (x )≤17
4，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝0，有a ＝sin 2x －sin x ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫sin x －122－14.
当sin x ＝－1时，a max ＝2；当sin x ＝12时，a min ＝－14.∴a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－14，2.
(2)由1≤f (x )≤174有1≤－sin 2x ＋sin x ＋a ≤174，即a ≤sin 2x －sin x ＋17
4和a ≥sin 2x －sin x ＋1对k ∈R
恒成立．由sin 2x －sin x ＋174＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋4≥4，得a ≤4.由sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭
⎫sin x －122＋34≤3，得
a ≥3. 故3≤a ≤4.
练习：
1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －π4的周期是________，振幅是________，当x ＝________
时，y max ＝________；当x ＝________时，y min ＝________.
答案 4π
3 4k π＋3
2π (k ∈Z ) 3 4k π－π
2(k ∈Z ) －3
<
2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4的图象向 __ __ ____，可以得到函数y
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π6的图象．
解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6＝sin （x －5π12＋π4），
即将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4向右平移5π12个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π6.
3．将正弦曲线y ＝sin x 上各点向左平移π
3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．
解析 由y ＝sin x 向左平移π3得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3，再把横坐标伸长到原来的2倍，
得y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2＋π3.
4．函数y ＝3－sin x 3＋sin x 的值域为____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2
5．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．
解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1 ＝4⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122
－2 (－1≤t ≤1)
！
∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π
6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；
当t ＝－1，即x ＝3π
2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.
6．函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b 的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，92，求a 的值，以及原函数的单调递增区间．
解
(1)当a >0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＋b ＝－1
2
a ＋
b ＝9
2∴a ＝52，b ＝2，∴y ＝
52sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6＋2.
又∵－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z .∴－2π3＋2k π≤x ≤π
3＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－23π＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .
(2)当a <0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝－1
2
－a ＋b ＝9
2∴a ＝－52，b ＝2.∴y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6＋2.
又∵π2＋2k π≤x ＋π6≤32π＋2k π，k ∈Z .∴π3＋2k π≤x ≤4
3π＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z . 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8，2，此
点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2.
！
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3
8π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．
又∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，
又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
(2)列出x 、y 的对应值表：
x －π8 π8 —
38π 58π 78π 2x ＋π
4 0 π2 π 32π 2π y
~
2
－2
8．(创新拓展)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π8的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．
解 (1)函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π
2
∴T ＝2×π2＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8＝2cos π4＝ 2. (2)由(1)知f (x )＝2cos 2x ，向右平移π
6个单位得
y ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g (x )＝
2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －π3
由2k π≤12x －π3≤2k π＋π，k ∈Z 得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π
3，k ∈Z
即函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3，k ∈Z .。