清华大学微积分讲座刘坤林视频讲义
清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
高等数学-高等数学-第5章定积分
教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。
因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。
为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<x n-1<x n=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[x n-1,x n], 在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△x i并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
即：定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
清华大学高等数学讲义
2019/11/10
8
3.Rn中 的 收 敛 点 列
定 义 ：(收 敛 点 列)
设{Xm }(m 1,2,)是Rn中的点列，X0是Rn中 一个确定的点。
如果距离d( Xm , X0 ) 0(m ),则称点列
{ Xm }收敛于点X0.
称{
X
m
}是R
n中
的
收
敛
点
列, 称X
为
0
点
列
{
X
m
使 当m N时, 有d ( X m , X 0 ) .
则 称 点 列{ X m }收 敛 于 点X 0 .
设X m Rn , m 1,2,, 若 存 在 正 数M , 使 得
X m M成 立 ， 则 称{ X m }是Rn中 的 有 界 点 列 。
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4.Rn 中 的 开 集 与 闭 集
P, Q都 能 用 完 全 在D中 的 连 续 曲 线 连 接 起 来,则 称D是 连 通 集.
D
E
连通集
非连通集
[例3] (1) R1中 的 任 意 非 空 区 间 是 连通 集. (2) 全平面R“2 挖去”原点: R2 \ {0}是连通集. (3) 全平面R“2 剪一条缝”
R2 \ {(x, y) R2 , y 0}不是连通集.
d( X ,Y )
X Y
n
(
( xi
yi
)
2
)
1 2
i1
性质：
(1) X ,Y , 有 d( X ,Y ) 0,
且 d(X,Y ) 0 X Y
(2) d( X ,Y ) d(Y , X )
高等数学电子教案：第11章 曲线积分与曲面积分
)i x ，)i LQ y ⎰以上这两个积分称为第二类曲线积分。
第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。
第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy 平面内从点Ａ沿光滑曲线L 移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即(,)L F ds P x dy ⋅=⎰ ,其中类似地可以推广到空间情形。
第二类曲线积分的性质：]Pdx Qdy k +=L Pdx Qdy Pdx +=⎰LPdx Qdy +⎰成立，其中平面上曲线积分与路径无关的条件：P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；LPdx Qdy +=⎰，L 为G 内任一闭曲线；,(,)Q P x y G xy∂∂=∈∂∂；）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：00(,)(,))x y x y y Pdx =+⎰0(,)yy Q x y dy +⎰对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：LPdx Qdy +⎰，若成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。
若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。
且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。
一般轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象Q P∂∂)S存在，则称这个极限iS，亦称它为第一型曲面积分。
其物理意义是面密度)i，∑叫做积分曲面曲面面积元素。
可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）=⎰⎰)]dS k1∑2{1{,,}{x F n dS z F dxdy z P Q R dxdy⋅-⋅'+⋅ “+”， “-”的确定：若题设中曲面∑的侧与-”。
)()i xy S 存在，x,y 的曲面积分，记作)()i xy S 。
清华大学微积分高等数学课件第讲函数极限
即 1sixn 1x1taxnx (0,)
2 22
2
亦即
sixn xtaxnx (0 , )
(1 )
2020/12/21
2 19
当 x (,0)时 ,x (0,) 有
2
2
six n x ta xn x (,0 ) (2 )
2
将（1）式与（2）式结合起来，得到
sixn xta xn (0 x) (3 ) 2
x0
x2
-20
-10
-0.5
10 20 lim arct1an lim arct1a
x 0
x x 0
x
-1 -1.5
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l i marctan1不存在！
x0
x
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2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设函数 f(x)在区(间 a,)有定义
若x无限变大f时 (x， )无限趋于某一
常数，则x称 当 时, f(x)有极A限，
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
lim f(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x 时的无 . 穷
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3.无穷大与无界函数
若在自变量的某化 一过 个程 变, 中 f(x) 是无穷,大 则f(x)无界。反之不一定
注意 x 到 0时 ,当 six n0,用 six n
去除 3）（ ,得 式 1
x
1
sinx cosx
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six n
考研数学三十六技07变限积分与含参积分
g (t ) dt − x 2 f ′( x ) . g (t ) dt − xf ′( x )
x− f ( x)
∫
【解】记
I ( x) = ∫
− f ( x) 0
xg (t − x ) dt = x ∫
x
g (t − x ) dt ，
对上式中的积分取区间变换 t − x = u ,
x →0
求 F ′( x ) ，并讨论 F ′( x ) 的连续性。 [解] 首先由知 f ( x ) 连续及极限等式应有 f ( 0) = 0 ，
f ( x) = 2 ，设 F ( x ) = x
∫
1 0
f ( xt )dt ，
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x 1 x f ( x) lim F ′( x ) = lim − lim 2 ∫ f ( u)d u = 2 − 1 = 1 = F ′( 0) ， 0 x →0 x →0 x →0 x x 因此 F ′( x ) 在 ( −∞ ,+∞ ) 处处连续。
x →0 x →0
∫ F ′(0) = lim
[特别提示] 处理含有参数积分问题的两把快刀：
积分号内含有参数的问题：这是一类重要题型，这类问题往往需要对参数求导数。
典型方法有两个（两把快刀） ： （1）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子移到积分号外面， （2）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。 例7-1 则 （A） （C） 设 f ( x ) 为已知可导奇函数， g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数，
2005-12
水木艾迪考研辅导班
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
第3章-微分中值定理与导数的应用(1)
就是割线
内至少有一点。
内至少有一点，使等式
内至少有一点
证明方程在
不难发现方程左端是函数
在
，使
也就是：方程
我们就把式子分别记为
时，函数,
时，与都存在，
=
[a,a+==
,x于是
存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，
,x。
Sin应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中
、、、等型，通常是转化为
附近关于
x=
|过远,即使用代替
固定后将使并使变化对
设函数
，那末函数
，那末函数
确定函数
其导数为：，因此可以判出：时，；=0
则称
则称
则
与及不存在的各点
平均曲率表示曲线段线变化的角度，为
，即定义
为曲线在某一点的曲率半径。
轴与。
以次类推，直到。
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1. ys2002090701.htm 1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
2. ys2002090702.htm 1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
3. ys2002090703.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明（1）存在；（2）收敛。
例18.若，则（A）且；（B）且；（C）且；（D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。
(B) 之去心邻域, 使当时, 。
(C) 之邻域, 使当时, 。
(D) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,若, 则 D(A) 且,(B) 且(C) 且,(D) 且例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B)(C) , (D)4. ys2002090704.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明（1）存在；（2）收敛。
例18.若，则（A）且；（B）且；（C）且；（D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。
(B) 之去心邻域, 使当时, 。
(C) 之邻域, 使当时, 。
(D) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,若, 则 D(A) 且,(B) 且(C) 且,(D) 且例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A (A) , (B)(C) , (D)5. ys2002090801.htm第2讲导数定义与性质要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲2.1 导数定义导数定义作为第3标准极限应用技巧2.2 导数性质函数可导的充要条件，可微性概念，可导与连续的关系2.3 微分与导数计算，高阶导数2.4 导数的定号性与函数增减性，局部极值，凹凸性与拐点6. ys2002090802.htm例1. 设，则在点可导的充要条件为 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，则k，-k，-2k，-k . 例3. 设可导,且满足条件,则曲线在处的切线斜率为 D(A) 2, (B) -1, (C) , (D) –2例4. 设在区间内有定义, 若当时, 有,则必是的 C(A) 间断点； (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点, 且；(D) 可导的点, 且例5. 设曲线在点处的切线与x轴交点为，则例6. 若二次曲线将两条曲线,连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为例7.设在点某领域内可导, 且当,已知, , 则例8. 设可导, ,若使处可导, 则必有 A(A) 。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
例9. 设, 其中是有界函数,则在处有 D(A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续(C) 连续, 但不可导; (D) 可导例10. 设在点处可导, 则 D(A); (B);(C); (D).例11.设在某邻域内可导,且，求极限；例12.设是内的连续奇函数，且，则在处的导数为 A(A); (B); (C); (D)不存在.例13.设在某内存在，已知，求.7. ys2002090803.htm例14.函数的上凸区间为 (0,1)例15. 设函数由确定，则，例16.设，求.Key: +例17.求函数的渐近线。
Key:垂直；斜渐进线例18.设在的某领域内连续, 是的同阶无穷小量（），且为其极大值,则存在,当时, 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 设当时，曲线与在内相切。
又当取值范围为时，上述二曲线在内恰有二个交点。
例20. 设满足, 讨论是否为的极值点.。
例21.已知函数满足等式，且，则在处的二次Taylor多项式为.例22.设在某领域内连续, 且, , 则 A (A) 是的极大值.(B) 是的极小值,(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点.也不是的拐点.例23.设对一切满足，若,其中，则 B(A) 是的极大值. (B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例24. 设对一切满足，且,其中，则 C(A) 是的极大值.(B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例25．若内的奇函数, 在内, 且, 则在内有 B .(A)； (B);(C) ； (D).8. ys2002090905.htm第3讲用导数研究函数性态要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲3.1 导数零点定理及应用技巧3.2 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。
3.3 Taylor公式及应用3.4开区间与闭区间上的最大最小值问题不等式证明技巧9. ys2002090906.htm1. 设方程，2. 讨论取何值时,使得（1）方程有一个实根；（2）方程有二个不同实根；（3）方程有三个不同实根。
2.设在上有二阶导数，且又，证明存在使.3.设在某内，且, 则在内(A)连续；(B)为增函数; (C)为正定函数；(D)能取到正值；4.设，证明不等式5.设满足，且，证明当时存在常数，使得，并指明的取值范围。
6.设在二阶可导，对一切有，证明在内曲线上一点处的切线与该曲线除切点外无交点。
7.设二阶可导，,试问与在内有几个无交点？证明你的结论。
10. ys2002090907.htm8．设在（-1,1）内有二阶连续导数，,试证:（1）对(-1,1)内的任一存在唯一的，使. （2） .9．(1)设,证明不等式.(2)设,证明不等式.(求最大最小值)10．设可导函数, 满足条件：.证明函数在中有不动点,即存在, 使得;证明对任意给定的初值，由迭代公式：，所确定的点列收敛于的不动点。
11. 设，则 A(A) . (B) . (C) . (D)12．(1) 设，证明不等式。
(2)设，证明不等式。
11. ys2002091001.htm13．设在上二阶可导，且证明存在，使得.14. 设在上二阶可导，且其中为非负常数,，证明. 15. 设在上连续，且若，证明.16. 设是周期为1 的周期函数，在内可导，且令，证明存在，使得。
17. 设证明（1）（2）18. 证明：当时成立不等式19. 证明：当时成立不等式20. 设函数由确定,求在处的切线方程与法线方程.Key: 切线, 法线21. 设，则.22. 设在任意点满足，若，则.23．设函数由确定，则，24. 已知函数在上二阶可导。
若线段与曲线交于点，证明：存在，使得。
12. ys2002091002.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：第4讲原函数与不定积分清华大学数学科学系刘坤林主讲4.1 原函数关于原函数与可积性的特别说明4.2 不定积分计算技巧凑微分法，变数替换法，分部积分法，回归法与递推法，有理分式与三角有理分式的积分1. 求下列不定积分(1);(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；13. ys2002091003.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：(7)；(8);2. 求下列不定积分(1）；(2) ；(3); (4）；(5）；(6）；(7)；(8）；或(9) ;(10) ;(11) ; (12), 或3.（1）设，计算（2）设一个的原函数为，求4. 设在上可导，其反函数为，若，求。
Key:5. 设, 求的表达式，并说明是否的原函数。
Key: ,不是的原函数。
事实上没有原函数。
6. 设，则的一个原函数为 B （A）（B）（C）（D）7. 设在上可积，则下列命题中不正确的是 D（A）函数在上连续；（B）的任意两个原函数之差必为常数；（C）的任意两个原函数之和必为的原函数；（D）若为的一个原函数，为连续函数，则必为的原函数。
8. 已知,则9. 设为的一个原函数，常数，则= A （A）。
（B）。
（C）。
（D）10. 设为已知单调可导函数，为的反函数，则 C（A）。
（B）。
（C）。
（D）。
11．设在上连续，记,试证（1）若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不增，则单调不减。
14. ys2002091009.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：1. B（A）;（B） ;（C） ;（D）设，则 B（A）;（B）;（C）1; （D）－13. 设，且，则 A（A）2;（B）3;（C）4;（D）1 .4. 设，，当时，是的 C（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）同阶但不等价的无穷小。
（D）等价无穷小.5. 已知连续曲线关于点对称,则= D; (B) ; (C) ;(D)6. 求（=）7. 设连续，已知，且,求. Key:.8. 已知上的连续曲线关于直线对称,证明.9. 设，，则与的关系为 A（A）。
（B）。
（C）。
（D）不确定 .10. D（A）;（B）0; （C）;（D）11. 设，，则极限 D （A） ;（B）;（C）0;（D）.15. ys2002091010.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：12. 设正定函数，，则在内根的个数为 B（A）0;（B）1; （C）2;（D）3.13.设，且单调减少，对任意记，，则与的关系为 A（A）。
（B）。
（C）。
（D）不确定.14. 设，且非负单调减少，证明：.15. 设，且对满足的一切有，则在上必有 B (2001-ex2)（A）恒为零 ; （B）恒为常数;（C）恒为线性函数; （D）恒为平均值为零的周期函数.16. 设，且,，，则由已知函数表出的 C（A）。