泰勒公式的理解及泰勒公式
高等数学上泰勒公式
高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。
通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。
设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。
根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。
拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。
皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。
泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。
显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。
接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。
g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。
我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。
泰勒公式详解(Taylor formula)【一元分析学经典讲义】
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
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两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0及 1 为端点
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
f ( x0 )
f
(
x0
) x0
1 2
f (1 ) x02
(1)
f (1)
f ( x0 )
f ( x0 )(1
x0
)
1 2
f (2 )(1
x0 )2
(2)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
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五、小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y x
y sin x
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2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
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思考题
利用泰勒公式求极限
e x sin x x(1 x)
lim
x0
x3
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思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
1 的n x
阶泰勒公式
.
二、求函数 f ( x) xe x 的n 阶麦格劳林公式 .
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
泰勒公式常用公式
泰勒公式常用公式泰勒公式是一种用于在微积分中计算函数值的精确计算方法，是科学研究和工程应用中常用的数学公式。
它可以精确计算函数在某一特定点附近值的近似值，在微分方程、概率论和变分法解决各种复杂问题时经常用到。
泰勒公式最早出现在1715年英国数学家泰勒先生的文章中，从那时起，这种公式就应用在微分方程，微积分及数学物理方面，并发展出各种变种，为近代科技的发展做出了巨大的贡献。
泰勒公式的主要用途是使用分析法计算函数值的近似值，它是一种迭代法，可以用来对复杂函数进行近似拟合。
由于它可以精确计算函数在某一特定点附近值的近似值，因此，它经常用于计算求解微分方程和模拟各种复杂的实际问题。
泰勒公式的表示形式可以概括为：f(x)=f(x_0)+f(x_0)*(x-x_0)+[f(x_0)*(x-x_0)^2]/2+[f(x_0)*(x-x_0)^3]/6+…其中， f(x)表示函数的值， f(x_0)表示函数的值在X=X_O点的值，f（x）的拉格朗日展开式是形如：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+[f(x_0)(x-x_0)^2]/2+[f(x_0)(x-x_0 )^3]/6, ...其中f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的一阶导数；f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的二阶导数；f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的三阶导数；以此类推。
这个公式可以简单表示为：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+f(x_0)(x-x_0)^2/2+f(x_0)(x-x_0)^3 /6+…泰勒公式也可以表述为一般的多项式形式，如：f(x) = P_0+P_1*x+P_2*x^2+P_3*x^3+…其中P_0,P_1,P_2,…表示多项式各项系数，x表示泰勒公式的拉格朗日因子，P_0=f(x_0)。
泰勒公式的应用非常广泛，它可以用于求解微分方程，有助于计算复杂函数的值，也可以用于数值积分和蒙特卡洛采样等等。
常用泰勒公式
常用泰勒公式泰勒公式是一种近似计算函数值的方法，它是通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值。
在数学和物理学领域，泰勒公式被广泛应用于函数近似、函数求导和数值计算等方面。
下面将介绍泰勒公式的常用形式和应用。
泰勒公式的一般形式是：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中，f(x) 是要求解的函数，在点 x 处的近似值；f(a) 是函数在点 a 处的值；f'(a) 是函数在点 a 处的导数值；f''(a) 是函数在点 a 处的二阶导数值；以此类推。
泰勒公式的原理是利用导数将函数表示为一系列单项式的和，然后根据需要的精度截断级数，得到函数的近似值。
当级数的项数增加时，近似值的精度也会提高。
泰勒公式的应用十分广泛。
例如，在计算机科学领域，泰勒公式被用于开发数值计算算法，例如计算机图形学中的曲线和曲面绘制，以及物理引擎中的碰撞检测和运动模拟等。
在物理学中，泰勒公式被用于近似解析解不存在的问题，例如非线性的运动方程。
此外，泰勒公式还可以用于求解微积分中的极限、导数和积分等问题。
泰勒公式有很多变种形式，例如麦克劳林级数、希尔伯特级数和泊松级数等，它们在不同的数学和物理学问题中具有不同的应用。
总结起来，泰勒公式是一种常用的近似计算函数值的方法。
它通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值，具有广泛的应用领域和实际价值。
无论是在数学、物理还是计算机科学领域，我们都可以看到泰勒公式的身影。
泰勒公式
学习目标：1、理解泰勒中值定理2、了解等函数的麦克劳林公式3、会用泰勒中值定理证明某些相关的命题内容要点：1、泰勒公式：其中当x0 = 0时，称为麦克劳林公式.2、函数等函数的麦克劳林公式二、内容提要1、泰勒中值定理：如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n + 1)阶的导数，则当x在(a, b)内时，恒有①其中称①式为泰勒公式，为拉格朗日余项. 特别地，(1) 当x0 = 0时，①式成为②称②式为麦克劳林公式，其中.(2) 当n = 0时，得可见，泰勒定理是拉格朗日定理的推广.2、皮亚诺余项：当时，是关于的高阶无穷小，即称这种形式的余项为皮亚诺余项.3、由麦克劳林公式，得常见函数的近似表达式：(1)(2)(3)(4)(5)三、答疑解惑问题1 应用三阶泰勒公式求近似值的步骤如何？答：(1) 选定函数f (x)，且求出；(2) 把x分解为，要求f(x)在x0处易计算，且较小；(3)其误差为问题2 泰勒公式的拉格朗日余项中的与哪些量有关？当x固定时，是否有？答：是介于x与x0之间的值，它与x, x0有关，又由于随着n的变化，也会变化，因此与x, x0 , n有关.当x固定时，不一定成立. 例如在内有任意阶导数，且取x =－2，则显然.四、典型例题例1 用泰勒公式，证明：当x>1时，.证设，则f(x)当x>1时有二阶导数，且.将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得即由于，故f (x)>0，即.从而例2 设f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内二阶可导，若，则在(a, b)内至少有一点，使证由泰勒公式，得令，代入得相减，得设则例3 验证当时，按公式计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差又已知，从而，故误差例4 求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.解由于，故因此其中介于x与4之间.例5 利用泰勒公式求极限解例6 求函数在x = 0处的n阶导数(n≥3)解由f (x)和的麦克劳林公式比较的系数得故五、练习题1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.(1) (2) sin18°（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为）2、设函数f (x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任意非零，存在唯一的，使成立，且.（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.（答：）4、利用泰勒公式求极限（答：）5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式（答：）。
极限求解--泰勒公式理解
tan x - sin x x 1 x3 o(x3 ) - (x 1 x3 0(x3 )) 1 x3 o(x3 )
3
6
2
这里由“幂次最低”原则，因为分母化简后 x3 系数不为 0，因此取到 3 次幂即可，由此在化简
分子的时候，也只需要化简到 3 次幂就可以了；
由分子为复合函数相减，将(1)和(2)代进(3)，有：
次方即可（不理解的小伙伴可以根据前面的高阶无穷小计算规则进行理解）
在(6)式中，看似很复杂，我们主要抓住 3 次幂这个点就可以简单拆分了，如 1 (x 1 x3 )2 23
一般的计算结果为 1 (x2 2x 1 x3 (1 x3 )2 ) ，但我们可以看出后面两项为 o(x3 ) ，原因是
2
lim 计算
etan x esin x
x0 tan x sin x
【分析】
先将基本展开式写出来：
tan x x 1 x3 o(x3 ) (1) sin x x 1 x3 0(x3 ) (2)
3
6
因为分母看着要比分子容易化简，所以我们先化简分母
ex 1 x 1 x2 1 x3 o(x3 ) (3) 26
【举个栗子】已知当x
x2
0时，e 2
cos
x与ax b是等价无穷小, 求a, b
【分析】
当x 0时，
x2
e2
1 ( x2 ) 1 ( x2 )2 1 ( x2 )3 o(( x2 )3 )
222 62
2
cos x 1 x2 x4 o(x4 ) 2 24
由上面可见，当 x为4次方时，A和B的展开式系数不一样了 ，因此取到最低次幂也 就是4
33
除了第一项，其他的项进行展开时都带有 1 x3 ，所以实际上我们只需要将 1 (x 1 x3 )2 写成
泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
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对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用
1 函数展开与向量空间
泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。
为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。
在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。
1.1 函数的泰勒展开（幂级数展开）
若函数f(x)在区间｛x｜｜x-x0｜＜R｝内无穷可微,且它的Lagrange余项r n(x)当n→∞ 时,收敛于零,则在这区间内有：
1 2 函数的三角级数展开
若函数f(x)在区间［-π,π］上连续且逐段光滑,则在这区间内有：
从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系：
｛1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,…,(x-x0)n,…｝
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…}
分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两级数的系数组成的两个数列:
｛a0,a1,a2,…,a n｝与｛a0,a1,b1,a2,b2，…，n,b n,…｝
就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。
可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。
谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。
可见,这种有限与无限的变换方法的重要性,也体现了泰勒公式的奥妙之处。
通过认识这种函数展开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展开,从而更会、深刻的理解泰勒公式,使它成为解决数学问题的更加有力的工具。
2 泰勒公式的应用
2 1 用泰勒公式求极限
运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是：将函数展开到多少项才可以呢？其实从例题中不难看出,只须展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶数即可。
从以上例子中可以看出泰勒公式在求一些极限问题中起着非常大的作用,它可简化运算,并且容易理解和掌握。
2.2 用泰勒公式证明不等式
其中.比较(5)式和(6)式可得k=f(c)。
证毕。