大物课后习题答案

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)

解：（1） j t t i t r

)432

1()53(2-+++=m

(4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t

r v

则 j i v 734+= 1

s m -⋅

(6) 2s m 1d d -⋅==j t

v

a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以

0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 2

2

2

s h l +=

将上式对时间t 求导，得

t

s

s t l l

d d 2d d 2= 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，

∴ t

s

v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳

即 θ

cos d d d d 00v v s l

t l s l t s v ==-=-

=船 或 s

v s h s lv v 0

2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度

3

2

0222

02

2

002)(d d d d d d s

v h s v s l s v s lv s v v s t s

l t l s

t v a =+-=+-=-==船船 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2

s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m v

=0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t

v

a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12

2

34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c

故 22

34t t v += 又因为 22

3

4d d t t t x v +==

分离变量， t t t x d )2

34(d 2

+=

积分得 232

2

12c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52

123

2

++=t t x 所以s 10=t 时

m

7055102

1

102s m 190102

3

10432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+

⨯=-x v

1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

02

1bt t v -

的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ． 解：（1） bt v t

s

v -==

0d d R

bt v R v

a b t

v

a n 20

2

)(d d -==-==

τ 则 2

4

02

22

)(R bt v b a a a n

-+=+=τ

加速度与半径的夹角为

2

0)(arctan

bt v Rb a a n --==τϕ (2)由题意应有

2

4

02

)(R bt v b b a -+

== 即 0)(,)(402

4

02

2

=-⇒-+=bt v R

bt v b b ∴当b

v t 0

=

时，b a = 1-10 以初速度0v ＝201

s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图 (1)在最高点，

o 0160cos v v v x == 21s m 10-⋅==g a n

又∵ 1

2

11ρv a n =

∴ m

1010)60cos 20(2

2111=︒⨯=

=n a v ρ

(2)在落地点，

2002==v v 1s m -⋅,

而 o

60cos 2⨯=g a n

∴ m 8060cos 10)20(2

2222=︒

⨯==n a v ρ

2-3 283166-⋅===

s m m f a x x

216

7-⋅-=

=

s m m

f a y y

(1)

⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=201

01

2008

7

21674

5

2832s m dt a v v s m dt a v v y y y x x x

于是质点在2s 时的速度

18

7

45-⋅--=s m j

i v

(2)

m

j i j i j t a i t a t v r y x 874134)16

7

(21)4832122(21

)21(220--=⨯-+⨯⨯+⨯-=++

=

2-4 (1)∵dt

dv

m kv a =

-=