第六章 统计推断的前提：概率与概率分布[16页]
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
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统计原理
实例及SAS程序
2.成组法T测验(group comparisons t test )
统计原理
实例及SAS程序
1.成对法T测验
把条件一致的两个供试单元配成一对，设多个配对， 每一配对两个单元随机独立实施一处理，这就是配对 试验，实为处理数为2的随机区组试验，这样得到的 数据称为成对数据。
Ho:d o
x 9.4868 19.308 3.3541 340
370
Variable x
T-Tests
DF t Value
7
1.49
Pr > |t| 0.1797
第四步结论：改变种植规格后的玉米产量与原种 植规格的玉米产量无显著差异。
二、两个样本均数的检验
1.成对法T测验(paired comparisons t test )
单个样本均数的检验
[例6.3] 某地杂交玉米在原种植规格下一般亩 产350㎏，现为了间套作，需改成一种新种植规格, 新规格下8个小区产量分别为360、340、345、352、 370、361、358、354(㎏/亩)。问新规格与原规格下 玉米产量差异是否显著？
单个样本均数的检验的SAS程序：
data aa; input x ; y=x-350; cards; 360 340 345 352 370 361 358 354 ; proc means mean t prt; var y; run;
9 7 10 6 17 8 11 7
31 20 18 17 18 20 14 5
;
p株r号oc m1 ean2s me3an t p4rt; 5 6 7 8
2. 统计假设检验的原理小机率原理
小机率原理: 概率很小的事件，在一次试验中是不至于 发生的。 统计学中一般认为概率p≤0.05，才算小机率事件。
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断高中数学知识点总结：概率与统计的统计推断概率与统计是高中数学中的一大重要分支，它涉及到统计推断。
统计推断是通过收集一部分数据来推断总体的特征和规律，从而对未知或难以获得的信息进行预测和判断。
本文将简要介绍概率与统计的统计推断相关的知识点。
一、抽样和抽样分布统计推断的基础是抽样，即从总体中随机选择一部分个体进行研究。
抽样要遵循随机性、代表性和独立性的原则，以确保样本的可靠性和有效性。
抽样分布是指随机抽取的各个样本所对应的统计量的分布。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布等。
二、参数估计参数估计是利用样本数据对总体的未知参数进行估计和推断的过程。
点估计是基于样本数据得出一个具体的数值作为总体参数的估计值，如样本均值、样本比例等。
区间估计则是确定一个区间，以一定的置信水平对总体参数进行估计，如置信区间。
三、假设检验假设检验是用于检验总体参数假设的方法。
根据已有信息和假设条件，利用样本数据对总体参数进行检验，判断假设是否被接受或拒绝。
假设检验包括原假设和备择假设，常见的检验方法有单样本均值检验、两样本均值检验、单样本比例检验等。
四、相关性与回归分析相关性分析主要研究两个变量之间的相关关系，其中常用的衡量指标是相关系数。
回归分析研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和变化趋势。
线性回归是其中最常用的，通过最小二乘法来拟合自变量和因变量之间的线性关系。
五、抽样分布的中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布逼近于正态分布。
它是统计推断的理论基础，使得我们可以基于样本均值进行正态分布的推断，如置信区间估计和假设检验等。
六、样本调查与调查问卷设计统计推断常常涉及到样本调查和调查问卷设计。
在进行统计推断之前，我们需要明确研究的目的、确定调查对象、设计合理的调查问卷，并通过适当的抽样方法进行样本调查。
合理的样本调查与问卷设计可以提高数据质量和统计结果的可信度。
概率与数理统计第六章
t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
概率分布与统计推断方法讨论
概率分布与统计推断方法讨论概率分布和统计推断方法是统计学中的两个重要概念。
概率分布是指随机变量所有可能取值的概率分布情况，而统计推断方法则是通过样本数据对总体参数进行推断的方法。
在实际应用中，我们常常需要根据已知的数据来推断未知的总体参数，这就需要借助概率分布和统计推断方法。
一、概率分布的基本概念概率分布是指随机变量的所有可能取值及其对应的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
离散型分布指随机变量只能取有限或可列个数值的情况，如二项分布和泊松分布；而连续型分布则指随机变量可以取任意实数值的情况，如正态分布和指数分布。
概率分布的形状对于理解和分析数据非常重要。
例如，正态分布是一种常见的连续型分布，其形状呈钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布在实际应用中非常广泛，可以用来描述许多自然现象和社会现象。
二、统计推断方法的基本原理统计推断方法是指通过样本数据对总体参数进行推断的方法。
在实际应用中，我们通常无法直接获得总体的全部数据，而只能通过样本数据来估计总体的参数。
统计推断方法分为点估计和区间估计两种。
点估计是通过样本数据对总体参数进行估计，得到一个具体的数值作为总体参数的估计值。
例如，我们可以通过样本均值来估计总体均值，通过样本方差来估计总体方差。
点估计的准确性与样本的大小和抽样方法密切相关。
区间估计则是通过样本数据给出一个区间，该区间包含了总体参数的真值的可能范围。
例如，我们可以通过样本均值和标准差构造一个置信区间，该区间给出了总体均值的可能范围。
区间估计的准确性与置信水平和样本的大小密切相关。
三、概率分布与统计推断方法的关系概率分布与统计推断方法密切相关。
在进行统计推断时，我们通常需要假设总体的概率分布情况。
这个假设可以是基于统计理论或者根据实际问题的特点进行合理的猜测。
例如，当我们要对某个产品的寿命进行推断时，我们可以假设该产品的寿命服从指数分布。
然后，我们可以根据样本数据对指数分布的参数进行点估计或区间估计，从而得到对总体寿命的推断。
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
第六章_抽样分布及总体平均数的推断
第四节 总体平均数的显著性检验
总体平均数的显著性检验是指对样本平 均数与总体平均数之间的差异进行的显著性 检验。若检验的结果差异显著，可以认为该 样本不是来自当前的总体，而来自另一个、 与当前总体存在显著差异的总体。即，该样 本与当前的总体不一致。
.
一、总体平均数显著性检验的原理
检验的思路是：假定研究样本是从平均 数为μ的总体随机抽取的，而目标总体的平 均数为μ0，检验μ与μ0之间是否存在差异。 如果差异显著，可以认为研究样本的总体不 是平均数为μ0的总体，也就是说，研究样本 不是来自平均数为μ0的总体。
Xt11 0.01
S n 1
Xt11 0.01
S n 1
2
2
2.9 9 1 3 .1 7 0 3 .9 62 6 2.9 9 1 3 .1 7 0 3 .9 62
1 1 2
1 1 2
2.6 240 3.3 594 .
③总体正态，σ未知，大样本
平均数的抽样分布接近于正态分布，
用正态分布代替t分布近似处理：
XZ
2
SnXZ 2
S n
（9．3）
.
例题3：从某年高考中随 机抽取102份作文试卷，算得 平均分数为26，标准差为1.5， 试估计全部考生作文成绩95 ％和99％的置信区间。
.
解：学生高考分数假定是从正态总体 中抽出的随机样本，而总体的标准差σ未 知，样本平均数与总体平均数离差统计量 呈t分布。但是由于样本容量较大
从呈t分布。
于是需用t分布来估计该校三年级学生阅
读能力总体平均数95％和99％的置信区间。
.
由原始数据计算出样本统计量为
X 29.917
S3.926
当Ｐ＝0.95时， t11 2.201 0.0 5
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第一节 概率 第二节 二项分布 第三节 正态分布 第四节 卡方分布 第五节 t分布 第六节 F分布
学习目标
1.理解随机事件、概率、概率分布的含义。 2.运用概率的加法定理和乘法定理计算随
机事件的概率。 3.掌握二项分布、正态分布、卡方分布、t
分布和F分布的分布特征，正确使用这些分 布的临界值表。 4.应用正态分布的性质解决教育与心理测 量中的实际问题。
一、正态分布的特征 二、正态分布表的使用 三、正态分布在教育与心理测量中的应用
1.将原始分数转换成标准分数 2.确定录取分数线 3.计算在某分数线内的考生人数
第四节 卡方分布
卡方分布是从正态分布中派生出来的 一类分布。尽管它是由正态分布派生出来 的，但它在数理统计中却一直占有重要的 地位。许多分布可以用卡方分布来近似求 得，在多元统计中也常用到卡方分布。
第五节 t分布
t分布表在心理与教育统计中经常用到。t分 布表是利用t变量的分布密度，根据自由度n和α 的不同而计算得到的t变量的临界值tα2（n），因 此，只要知道自由度和显著性水平α的大小，查t 分布表即可找到临界值 tα2（n）；反之，只要已 知自由度以及给定的一个临界值 tα2（n），查t 分布表就可以得到概率P {|t|> tα2（n）}的大小。
第六节 F分布
若有两个服从正态分布的总体N （μ1,σ21）和N （μ2,σ22） ，我们想 检验σ21和σ22是否有显著性差异，解 决这个问题所用的分布就是我们要介绍 的F分布。在方差分析中，经常需要检 验某个因素是否对指标有显著的作用， 这个问题也要利用F分布来解决。
练习与思考
1.试述正态分布的特征。
第一节 概率
一、 随机事件与概率
在自然界和人类社会中，存在着两种 不同类型的现象，即确定性现象和随机现 象。在一定条件下，事先可以断言必然会 产生某种结果的现象，叫做确定性现象。
1.概率的统计定义 2.概率的古典定义
二、概率的加法定理和乘法定理
1.加法定理 2.乘法定理
三、随机变量及其概率分布
5.某地区进行公务员考试，考试成绩平均 分是350分，标准差为52，若此次考试录取 分布是连续型随机变量分布中最 重要也是最常见的一种分布。例如，在人 数较多的群体中，测量身高、体重、智力 水平、学习成绩等得到的数值，其分布都 近似于正态分布。一般说来，只要随机变 量取值的结果是由多种因素决定的，而且 这些因素基本上都相互独立，我们得到的 数据的分布就近似于正态分布。
2.某考生参加英语统考，完全凭猜测做答10 道四选一的选择题，请问他猜对5道题、7 道题、9道题的概率各有多大？全猜对的概 率又有多大？
3.根据调查，儿童智商分布为N（100,102）， 某幼儿园共有儿童100人，问智商在110~120 之间的儿童共有多少人？
练习与思考
4.设有200人参加数学奥数竞赛，成绩近似 服从正态分布，平均分为67分，标准差为 8.4，求下列各分数段内的人数：［60， 70），［70，80），［80，90），［90， 100］。
随机现象的结果（即随机事件）通常 可以用数值来表示，表示随机现象各种结 果的变
第二节 二项分布
一、二项分布
二项分布是一种离散型随机变量的概 率分布，在实际中有着广泛的应用。它适 用于n次独立试验即贝努里（Bernoulli）概型 问题。
二、二项分布的均值、方差、标准差及其应用
可以证明，二项分布的均值μ、方差σ2 和标准差σ分别为：μ=np；σ2=npq；σ=npq 。 均值、方差和标准差都是随机变量分布的数 字特征，均值反映了变量取值的集中程度， 方差和标准差则反映了变量取值的离散程度。