高二数学复数的定义和复数的坐标表示(教师版)
数学中的复数与坐标
数学中的复数与坐标数学是一门抽象而精确的学科，其中涉及到许多重要的概念与理论。
在数学中，复数与坐标是两个重要而又相互关联的概念。
本文将从复数的基本概念、复数在坐标系中的表示以及复数在数学问题中的应用等方面进行探讨。
一、复数的基本概念复数是数学中的一种扩充数，并且在解决一些实际问题时非常有用。
复数由一个实数与一个虚数部分组成，虚数由一个实数与单位虚数单位i相乘得到。
其中，i定义为√-1。
一般形式下，复数可以表示为 a + bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。
复数有着丰富的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。
在复数的运算规则中，实数部分与虚数部分分别进行运算，最后以复数形式呈现。
复数的共轭是指保持实数部分不变，而虚数部分变号的操作，可表示为a - bi。
二、复数在坐标系中的表示在解析几何中，复数可以在复平面上表示，也称为阿格升图。
复平面可以看作是一个平面直角坐标系，其中x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部。
复数z的表示为(z.real, z.imag)。
在复平面上，每个点都可以对应一个复数，反之亦然。
例如，原点对应的复数为0，实轴上的点对应的复数为纯实数，虚轴上的点对应的复数为纯虚数。
复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算得到，表示为|z|。
复数的辐角表示复数与正实轴之间的角度，可以用反三角函数计算得到，表示为arg(z)。
在复平面上，两个复数的加减法可以通过向量相加减的方式进行。
两个复数的乘法可以通过两个复数的模和辐角的乘积得到。
复数的除法可以通过两个复数的模和辐角的商得到。
三、复数在数学问题中的应用复数在数学问题中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在解决多项式方程的过程中。
复数根定理指出，对于一个n次多项式方程，必然存在n个复数根（包括重根的情况）。
这个定理为解决多项式方程提供了强大的工具。
通过复数根定理，我们可以用复数来解决一些看似无解的方程。
此外，复数还广泛应用于信号处理、电路分析、量子力学等领域中。
复数的坐标表示ppt课件
(1) | z | 2 (2) 2 | z | 3
解:根据复数模的几何意义可知
(1)表示以原点为圆心,以2为半径的圆;
(2)等价于
| |
z z
| |
3 2
y
表示以原点为圆心, 以2和3为半径的两圆
O 2 3x
所夹的圆环,含圆环的边界.
8
课堂练习
1.已知复数 z a bi, a,b {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
半轴为始边、以OZ所在射线
为终边的角.
因为 a r cos ,b r sin
b
Z : a bi
r
O
a
x
所以复数 z a bi, a,b R还可以用 r, 表示为
z r(cos i sin )
这个表达式叫做复数的三角形式,其中 叫做
复数的辐角,0的辐角是任意的.
11
y
b
r
Z : a bi
O
a
x
复数z的模(或绝对值):即向量OZ 的模, 记作| z |或| a bi | ,计算公式为:
| z || a bi | r a2 b2 0
注意到若 b 0 ,则 | z || a |(实数 a的绝对值)
几何意义 复数所对应的点到原点的距离
6
例2.计算下列复数的模:
9
课堂练习答案 1.(1)10个;(2)10个.
2. 2 m 4 3. | z1 |1,| z2 | 22
4.如右图(含边界).
y 2 O 2 3 x
10
(选讲)四、复数的辐角与三角形式
复数 z a bi, a,b R所对应的 y
点为 Z (a,b)
设 r | OZ | ,是以 x 轴的非负
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。
在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。
如果b等于零，则复数退化为实数。
复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。
二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。
在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。
这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。
复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。
三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。
两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。
例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。
复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。
四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。
复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。
辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。
模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。
五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
复数的坐标表示
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)，
（1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？
（2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？
（3）能否在原点？
复数的模
定义：复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离。
即 | z || a bi | a 2 b 2
例：若复数 z1 , z2满足Re z1 Re z2 0, Im z1 Im z2 0, 则z1 , z2在复平面上的对应点有 怎样的对称关系？
关 于x轴 对 称
例：如果复数 z (m 2) (m 2 16)i (m R)在复平面上 的对应点在第四象限， 则m的范围？
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形:
以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
模的几何意义
满足 3<|z|<5 (z∈C)的 5 y
复数z对应的点在复平面
上将构成怎样的图形？ 设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
a bi(a, b R)。建立了直角坐标系用来
b
表示复数 z a bi(a, b R) 的平面叫做复平面. 这里 x轴 实轴； y轴 虚轴。
o
a
x
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
这样复数集中的元素和复平面上的点集中的元素是一一对应的。
并数一数(1) 复数
解: (1) 10×10=100 个
(2) 10个
(完整版)高中数学复数讲义.教师版
复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
1.复数的概念复数的坐标表示
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆
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学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题复数的概念和复数的坐标表示
教学目的
1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；
2、理解两个复数相等的概念；
3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；
4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。
教学内容
【知识梳理】
1.虚数单位i:
()1它的平方等于1-，即21
i=-;
()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.i与－1的关系:i就是1-的一个平方根，即方程21
x=-的一个根，方程21
x=-的另一个根是i-.
3.i的周期性：41n i i
+=, 421
n
i+=-, 43n i i
+=-, 41
n
i=.
4.复数的定义：形如(,)
a bi a
b R
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)
z a bi a b R
=+∈，把复数表示成a bi
+的形式，叫做复数的代数形式.
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
a bi a
b R
+∈，当且仅当0
b=时，复数(,)
a bi a
b R
+∈是实数a；当0
b≠时，复数z a bi
=+叫做虚数；当0
a=且0
b≠时，z bi
=叫做纯虚数；当且仅当0
a b
==时，z就是实数0
7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
苘苘
8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b，c，d R
∈，那么a bi c di
+=+⇔a c=,b d
=
5. 把复数z 1 与z 2所对应的向量→OA 、→
OB 分别按逆时针方向旋转4π和3
4π
后，恰重合于向量→OM 。
若z 2＝ 1 －3 i , 则z 1等于 （ ）
(A) － 2 －2i (B)－2＋2i (C) 1 －3i (D) 1 ＋ 3i
解：B
【课后练习】
1、复数2
(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为 4 或-1
2、a=0是复数z=a+bi 是纯虚数的 必要 条件（必要，充分，充要）
3、如果2
10(7)z a a i a R =+-∈中（）,Rez=Imz 则a = 2或5 4、求是和下列各等式的x,y
222222(1)()(24)138;(2)()22;
(3)(1130)(6)0
x y x y i i x y xyi i x x y y i ++-=--+=--+++-=
答案：
（1）1825
,135x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
或（2）11,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或（3）5566,,3232x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩或或或 5、已知x 为实数，是否存在实数a 使得复数22
212123(1)271?z x x a i z x a ax z z =+-+=+
-->和（+）i 满足关系 若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。
答案：a<-2或a>4
6、若复数(1-a)+(a 2-4)i(i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为____________.
解：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知
解之得1＜a ＜2.解：(1，2)
7、在----8642013579，，，，，，，，这10个数中，任取两个作为虚数a bi +的实部和虚部()a b ≠，则可能组成模大于5的不同的虚数的个数为 （ ） （A ）61 （B ）63 （C ）64 （D ）65
解：⑴若复数的实部为0，则虚部只能取－8，－6，7，9这四个数。
故有4个；
⑵若复数的实部不为0（因虚部不能为0）。
①若实部为－8，－6，7，9，则虚部可取除0，－8，－6，7，9外的其余数，有401815=⋅C C 个。
②若实部为－4，－2，1，3；则虚部也不能为这四个数与0，故有201
514
=⋅C C 个。
从而共有4+40+20=64个。
C
8、若复数z 满足方程220z +=，则3z = （ D ）。