电路原理清华PPT课件
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清华大学电路原理课件1
电路原理Principle of Electric Circuits于歆杰yuxj@Tel: 62771944西主楼1区308第一讲绪论，电压电流和功率第一部分：绪论Principles of Electric Circuits Lecture 1 Tsinghua University 2005什么是电路？a电路（electric circuits）就是由若干电气元件（electrical elements）相互连接构成的电流的通路。
a本课程中要接触的电气元件有`电阻、电容、电感、二极管、MOSFET、理想运算放大器（Operational Amplifier）、互感线圈、理想变压器等Principles of Electric Circuits Lecture 1 Tsinghua University 2005为什么要学习电路？a从学术的观点来看`电路是电气工程（Electrical Engineering）的基础。
`电路是计算机科学（Computer Science）的基础。
a从实际情况来看`电路原理是许多高级课程的先修课程。
`熟练掌握电路原理对现实生活有帮助。
Principles of Electric Circuits Lecture 1 Tsinghua University 2005t q t q t i t d d ∆∆lim )(0∆def ==→d d BABA Weq=AI110ΩU1U2t w p d d =uit qq w ==d dd d q wu d d =t qi d d =。
电路原理-清华-36共25页文档
u2u S
+
D
+
u
_
S
R
u
_
2
0
t
非线性电感(nonlinearity inductance)电路
i
+
us
uS i
0
t
25.03.2020
课件
2
3. 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号
f(t)
…
f(t)
0
t0
t
f(t) 0
t
尖脉冲
方波
锯齿波
二、周期性非正弦电流电路的分析方法
—谐波(harmonic wave)分析法
（3） 2 I 0 I m k sik n tk ()(k 1 ,2 ,3 , )直次流谐分波量乘与积各
T 10 T2I0k 1Ikm sik nt(k)dt0
余弦函数是偶函数 coxscosx)(
…
-T
f(t)
…
t 0T
… -T
f(t)
T 0
…
t
此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不 包含正弦函数项，可能有常数项。
25.03.2020
课件
13
2. 根据半波对称性质判断 (a) f(t)f(tT)
2
半波对称横轴
…
-T
f(t)
…
0T
t
f (t T ) 2
2E
k
(1
cos
k
)
4E
k
0
k为 奇 数 k为 偶 数
25.03.2020
课件
10
则
f(t)4Esi nt4 3Esin 3t4 5Esin 5t 4E(sint1 3sin 3t1 5sin 5t)
最新清华大学-电路原理教学讲义PPT课件
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def L
i
韦安（ ~i ）特性
0
i
二、线性电感电压、电流关系：
i
+–
ue –+
i , 右螺旋 e , 右螺旋
u , e 一致 u , i 关联
由电磁感应定律与楞次定律
e L di dt
u e Ldi dt
iL +u –
u L di dt
(1) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt
一、 电功率：单位时间内电场力所做的功。
p d w dw dq ui d t dq dt
功率的单位名称：瓦（特） 符号（W） 能量的单位名称：焦（耳) 符号（J）
二、功率的计算 1. u, i 取关联参考方向
i 元件（支路）吸收功率
+
u
p=ui
或写为 p吸 = u i
–
2. u, i 取非关联参考方向
的参考方向。
UAB
A
B
三、电位
取恒定电场中的任意一点（O点），设该点的电位为零， 称O点为参考点。则电场中一点A到O点的电压UAO称为A
点的电位，记为A 。单位 V(伏)。
a
b
设c点为电位参考点，则 c= 0
a= Uac， b=Ubc， d= Udc
d
c
Uab = a- b
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电路元件的功率 (power)
短路
i = 0 , u由外电路决定
0
i
开路
电感 (inductor)元件
iL
变量: 电流 i , 磁链
+
u
–
清华大学电路原理于歆杰精品PPT课件
电路中某个支路（或元件）的电压（或电流）的控制。
电路符号
+– 受控电压源
受控电流源
清华大学电路原理教学组
一个受控电流源的例子（MOSFET）
IDS
MOSFET
＋ D
G
＋
S
UDS
IDS
UGS
－
－
电流源
电 阻
受控源与独立源的比较:
UDS
(1) 独立源电压(或电流)由电源本身决定，而受控源电压(或
电流)直接由控制量决定。
二、欧姆定律 (Ohm’s Law)
(1) 电压电流采用关联参考方向
i
R
+u
uRi
R 电阻 (resistance) 单位： (欧)
清华大学电路原理教学组
令G 1/R
G 电导 (conductance)
单位： S (西) (Siemens，西门子)
欧姆定律(关联参考方向下): i G u
u 关联参考方向下线性电阻器的u-i关系 :
清华大学电路原理教学组
（2） 伏安特性 i
+
iS
u
_
u
IS
0
i
（a）若iS= IS ，即直流电源，则其伏安特性为平行于电 压轴的直线，反映电流与端电压无关。
（b）若iS为变化的电源，则某一时刻的伏安关系也是 平行于电压轴的直线
（c）电流为零的电流源，伏安特性曲线与 u 轴重合，相 当于开路状态。
清华大学电路原理教学组
（3） 理想电流源的短路与开路
+
i
（1） 短路：R=0， i= iS ，u=0 ，
电流源被短路。
iS
u
R
_
电路符号
+– 受控电压源
受控电流源
清华大学电路原理教学组
一个受控电流源的例子（MOSFET）
IDS
MOSFET
＋ D
G
＋
S
UDS
IDS
UGS
－
－
电流源
电 阻
受控源与独立源的比较:
UDS
(1) 独立源电压(或电流)由电源本身决定，而受控源电压(或
电流)直接由控制量决定。
二、欧姆定律 (Ohm’s Law)
(1) 电压电流采用关联参考方向
i
R
+u
uRi
R 电阻 (resistance) 单位： (欧)
清华大学电路原理教学组
令G 1/R
G 电导 (conductance)
单位： S (西) (Siemens，西门子)
欧姆定律(关联参考方向下): i G u
u 关联参考方向下线性电阻器的u-i关系 :
清华大学电路原理教学组
（2） 伏安特性 i
+
iS
u
_
u
IS
0
i
（a）若iS= IS ，即直流电源，则其伏安特性为平行于电 压轴的直线，反映电流与端电压无关。
（b）若iS为变化的电源，则某一时刻的伏安关系也是 平行于电压轴的直线
（c）电流为零的电流源，伏安特性曲线与 u 轴重合，相 当于开路状态。
清华大学电路原理教学组
（3） 理想电流源的短路与开路
+
i
（1） 短路：R=0， i= iS ，u=0 ，
电流源被短路。
iS
u
R
_
电路原理-清华-33共21页
Uψ120o
3
计算电流：
•
•
•
IA
U an
UA
U
ψ φ
Z Z |Z|
•
•
•
IB
U bn
UB
U
ψ 120 o φ
Z Z |Z|
•
•
•
IC
U cn
UC
U
ψ 120 o φ
Z Z |Z|
流过每相负载的电流与流过相应火线的线电流是同
一电流，且三相电流也是对称的。
因N，n两点等电位，可将其短路，且其中电流为零。 这样便可将三相电路的计算化为一相电路的计算。当求 出相应的电压、电流后，再由对称性，可以直接写出其 它两相的结果。
3Uψ 90o
•
•
Uca UCA
3Uψ 150o
25.03.2020
课件
7
计算相电流：
•
•
I ab
U ab
Z
•
•
I bc
U bc
Z
3U ψ 30 o φ |Z | 3U ψ 90 o φ |Z |
A
+
•
U A_
•
UC
N
•
UB
C+
+B
•
•
I ca
U ca
3U ψ 150 o φ
25.03.2020
课件
4
A
+
•
• UA_ N
•
UC
UB
C+
+B
•
IA
c
•
IB
•
IC
a
Z
nZ
电路原理-清华-12
R 12 Δ
( u s3 )
R 12 Δ
u s3
5
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R12 Δ
us22R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3
R22
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1ij2 iji ijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
证明:
A ik
+
支
A
uk
路 k
A
–
B
A ik
+
+
A uk
uk
–
–
B
第k条支路也可用ik替代，留课后思考。
A ik
支+ 路 uk k–
–uk + C B – uk +
AC等电位
例
6
+ i1
i2 +
i3
20V
8 u
–
–
用节点法可求出
4 u=8V
+
i1=2A
-4V
i2=1A
i3=1A
用8V电压源替代8所在支路
i j Rl1
清华大学电路原理课件--电路原理_skja_09
i5 = i S
(5)
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回路电流法 (loop current method)
思路： 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路 中有一个回路电流。
a
i1 R1 uS1 + –
i2 R2 il1 + uS2 –
b
i3 il2 R3
设回路电流为 il1、 il2。 回路电流自动满足KCL 支路电流是回路电流的组合 i1= il1，i2= il2- il1， i3= il2。
1
3
i5 i6
4
R5
节点 1：i1 + i2 – i6 =0 节点 2：– i2 + i3 + i4 =0 节点 3：– i4 – i5 + i6 =0 节点 4：– i1 – i3 + i5 =0
这4个方程是不独立的
uS –
一般情况： 对有n个节点的电路，只有n-1个独立的KCL方程。任 意划去其中一个方程，剩余的就是独立方程。 独立节点：与独立KCL方程对应的节点。 被划去的节点通常被设为电路的参考节点。 由KVL所能列写的独立方程数为： l = b - (n-1) 上例 l = b - (n-1)=3
总有支路相互交叉 ∴是非平面电路
支路法列写方程的一般步骤： (1) 标定各支路电流参考方向； (2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程；
(3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入)
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流。
例1
I1 R1 I2 R2 I1
a I3 R3
回路2中所有电压源电压升的代数和
一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有 R11i1+R12i2+ …+R1l il=uSl1 R21i1+R22i2+ …+R2l il=uSl2 … Rl1i1+Rl2i2+ …+Rll il=uSll
电路原理-清华-44
t 1f(t)t2 e d 2 e (t 1 ) 2 e t t 1
课件
20
例3. e(t)2 [(t1)(t2)]h ,(t)et(t)
求 e1(t)*h (t)
解 由图解过程确定积分上下限：
e-(t-)
2
e-(-) 1
0
0
或
t1 f(t)0
1t 2 t
1t 2t t
1 t 2 f(t)t2 e (t )d 2 2 e (t 1 ) 1
解：先求该电路的冲激响应 h(t)
iS (t)mA
uC(0)C1
0
0 iSdt
1 C
0
(t)dt
103
100V0
0
C
uC()=0
R 5 C 0 13 0 0 1 60 0 .5 s
h(t)10e 0 2t(0t)V
09.02.2021
课件
17
再由卷积积分计算当 iS=2et (t) mA 时的响应 uC ( t ):
iC +
分二个时间段来考虑：
iS
R C uC
t
0 0
0
电容充电 电容放电
uC(0-)=0
1. t 从 0 0+
CduC uC (t)
dt R
uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立
0C d u Cdt0u Cdt0 (t)dt
0 d t
R 0
0
=0
=1
C [u C(0)u C(0) ]1
2
-1 0 1
f1(t-)
2
t’-1
-1 0 t 1 t’ f2() f1(t-)
2
1
-1 0 t 1
课件
20
例3. e(t)2 [(t1)(t2)]h ,(t)et(t)
求 e1(t)*h (t)
解 由图解过程确定积分上下限：
e-(t-)
2
e-(-) 1
0
0
或
t1 f(t)0
1t 2 t
1t 2t t
1 t 2 f(t)t2 e (t )d 2 2 e (t 1 ) 1
解：先求该电路的冲激响应 h(t)
iS (t)mA
uC(0)C1
0
0 iSdt
1 C
0
(t)dt
103
100V0
0
C
uC()=0
R 5 C 0 13 0 0 1 60 0 .5 s
h(t)10e 0 2t(0t)V
09.02.2021
课件
17
再由卷积积分计算当 iS=2et (t) mA 时的响应 uC ( t ):
iC +
分二个时间段来考虑：
iS
R C uC
t
0 0
0
电容充电 电容放电
uC(0-)=0
1. t 从 0 0+
CduC uC (t)
dt R
uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立
0C d u Cdt0u Cdt0 (t)dt
0 d t
R 0
0
=0
=1
C [u C(0)u C(0) ]1
2
-1 0 1
f1(t-)
2
t’-1
-1 0 t 1 t’ f2() f1(t-)
2
1
-1 0 t 1
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电路定理
第一讲（总第十二讲）
叠加定理 替代定理
29.12.2020
.
1
叠加定理 (Superposition Theorem)
叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
u s2
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
R 12 Δ
u s3
证得 29.12.2020 ia = ia1 + ia2 + ia3 .即回路电流满足叠加定理 6
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
29.12.2020
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
小结 :
i1 R1
+ us1
–
1. 叠加定理只适用于线性电路的电流、电压计算。
电压源为零—短路。 电流源为零—开路。 u，i 叠加时要注意各分量的方向。
2. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
R j1 u sjj R jl
i j Rl1
u sll Δ
R ll
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
29.12.2020
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
29.12.2020
.
8
6
例1
求图中电压u。
+ 10V
–
解
(1) 10V电压源单独作用，
+
4 u
4A
–
(2) 4A电流源单独作用，
4A电流源开路 6
10V电压源短路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
+
4 u''
其中
R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 us11=us1-us2 us22=us2-us3
Δ R11 R12 R21 R22
R11 R22 R12 R21
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R21ia1+R22ib1=0
举例证明定理
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
29.12.2020
.
3
i1
R1 + ia
–us1
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' = -101+41= -6V
I14 4641.6A U1446649.6V
R 12 Δ
u s3
5
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R12 Δ
us22R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3
R22
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
.
10
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+
+
10V –
4
Us 4A
–
解:
(1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
p u ( u i u ) i i ( ) u i u i
3. 也可以把电源分组叠加(每个电源只能作用一次)
i1’
i1''
R2 +
us2 –
is R1
+
=
us1
–
R2 is R1 +
R2 +
us2 –
4. 含受控源电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
29.12.2020
R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
.
u s2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
齐性原理（homogeneity property)
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
.
7
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1 ij2 iji ijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
由回路法
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R12 Δ
us2
2
R22
R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3
第一讲（总第十二讲）
叠加定理 替代定理
29.12.2020
.
1
叠加定理 (Superposition Theorem)
叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
u s2
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
R 12 Δ
u s3
证得 29.12.2020 ia = ia1 + ia2 + ia3 .即回路电流满足叠加定理 6
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
29.12.2020
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
u s 2 R 12
ia2
u s2 R 11
R 22 R 12
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
小结 :
i1 R1
+ us1
–
1. 叠加定理只适用于线性电路的电流、电压计算。
电压源为零—短路。 电流源为零—开路。 u，i 叠加时要注意各分量的方向。
2. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
R j1 u sjj R jl
i j Rl1
u sll Δ
R ll
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
29.12.2020
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
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.
8
6
例1
求图中电压u。
+ 10V
–
解
(1) 10V电压源单独作用，
+
4 u
4A
–
(2) 4A电流源单独作用，
4A电流源开路 6
10V电压源短路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
+
4 u''
其中
R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 us11=us1-us2 us22=us2-us3
Δ R11 R12 R21 R22
R11 R22 R12 R21
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R21ia1+R22ib1=0
举例证明定理
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
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.
3
i1
R1 + ia
–us1
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' = -101+41= -6V
I14 4641.6A U1446649.6V
R 12 Δ
u s3
5
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R12 Δ
us22R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3
R22
u s 1 R 12
0 i a 1 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 22 Δ
u s1
.
10
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+
+
10V –
4
Us 4A
–
解:
(1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
p u ( u i u ) i i ( ) u i u i
3. 也可以把电源分组叠加(每个电源只能作用一次)
i1’
i1''
R2 +
us2 –
is R1
+
=
us1
–
R2 is R1 +
R2 +
us2 –
4. 含受控源电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
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R 21 R 22
R 22 Δ
( us2 )
R 12 Δ
u s2
R 12
Δ
R 22
.
u s2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3
0
R 12
ia3
u s3 R 11
R 22 R 12
R 21 R 22
R 12 Δ
( u s3 )
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
齐性原理（homogeneity property)
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
.
7
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1 ij2 iji ijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
由回路法
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
us1 1
ia
us2 2 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R2 Δ
2
us1
1
R12 Δ
us2
2
R22
R Δ 22 u s1R 1Δ 2R 22 u s2R Δ 12 u s3