高等代数最大公因式习题2
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数（二）预习——3、最大公因式
⾼等代数（⼆）预习——3、最⼤公因式3、最⼤公因式⼀、最⼤公因式的概念 上⼀篇我们介绍了多项式之间的除法：整除和带余除法。
这之后我们就可以探讨⼀个重要的问题，就是多项式的因式分解问题。
在此之前，先来介绍公因式的概念。
定义：K[x]上的多项式f和g的公共因式称为它们的公因式，即若p是f、g的公因式，则有p|f、p|g。
容易看出公因式有这样⼏个性质：1、所有公因式构成⼀个集合；2、若p是f和g的公因式，则cp,c∈K也是，也即公因式的相伴式也是公因式；3、任意两个多项式之间⼀定存在公因式b,deg b=0；4、任意多项式f与0之间⾄少存在⼀个公因式f。
公因式中最特殊的是“最⼤公因式”，定义如下：若d是f和g的公因式，⽽f、g的任⼀公因式c，满⾜c|d，则称d是f和g的最⼤公因式。
最⼤公因式有如下的性质：1、若f、g不全为0且最⼤公因式存在，则不唯⼀：若d1、d2都是最⼤公因式，显然有d1|d2、d2|d1，即⼆者相伴；2、由1⽴即得：最⼤公因式在相伴意义下唯⼀，否则最⼤公因式将构成⼀个集合，我们记(f,g)是f和g的⾸项为1的最⼤公因式；3、任意f与0的公因式c⼀定满⾜c|f，因此f是f与0的⼀个最⼤公因式，这样，如果我们规定0与0的最⼤公因式是0（除此之外0不会成为最⼤公因式），就有：4、任意多项式都是它和它本⾝的⼀个最⼤公因式。
有了3和4，我们下⾯讨论的时候⾃始⾄终都假设多项式不全为0。
除此之外，最⼤公因式还有如下⾮常重要的性质：5、若f和g的公因式集合等于p和q的公因式集合，则任意f和g的最⼤公因式集合等于p和q的最⼤公因式集合。
证明：若d是f和g的最⼤公因式，则任意f和g的公因式c，c|d，由前提，c也是p和q的公因式，那么由定义就知d也是p和q的最⼤公因式。
反过来同样证明。
请⼤家注意这个性质的对称性要求。
此性质的⼀个直接推论就是：f和g的最⼤公因式也是af和bg的最⼤公因式，其中a、b∈K。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数自学总结,多项式
各数系数多项式唯一因式分解定理
次数大于0的复系数多项式 f ( x)的标准分解式为
ls l1 l2 f ( x) a ( x c1） a ( x c2） ...a ( x cs）
次数大于0的实系数多项式 f ( x)的标准分解式为 f ( x) a ( x c1 ) r1 ...( x cs ) rs ( x 2 p1 x q1 ) k1 ...( x 2 pt x qt ) kt
各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。 （△＜0）
中国剩余定理 设m1 , m2 ,..., ms是两两互素的正整数， b1 , b2 ,..., bs是任意给定的 s个整数。 则同余方程组 （ ） x b 1 mod m1 x b （ 2 mod m2） ....................... （ s mod ms） x b 在Z中必有解，如果 c和d是两个解，那么 c d（ mod m1m2 ...ms） 命题1，设f ( x), g ( x) K [ x]，则 deg( f g ) max ｛deg f , deg g｝ deg( fg ) deg f deg g （f与g和差的次数小于等于它 们的较大次数 f与g积的次数 f与g次数的和） 两个非零多项式 (乘积的首项)等于这两个多项式 (首项的乘积） .
例 1 把 f(x)与 g(x)的最大公因式 表示成 f(x)与 g(x)的倍式和 4 3 2 . f(x)=x +3x-2 g(x)=3x -x -7x+4 不可约多项式：只有非 0 数和相伴元的叫不可约多项式。 （唯一因式分解定理）K[x]中任一次数＞0 的多项式都能唯一的分解成数域 K 上有限多个 不可约多项式的乘积。 （算数基本定理）任一大于 1 的整数 a 都能唯一地分解成有限多个素数的乘积。 2 例 1 证明 x +1 在有理数域上不可约 4 2 分解 x +1 在复数域上不可约多项式的乘积。
高等代数14最大公因式
定理1 对任意 f ( x ), g( x ) P[ x ], 则在 P[ x] 中存在 f ( x )与g ( x ) 的一个最大公因式 d ( x ), 且d ( x ) 可表成 f ( x ), g( x ) 的一个组合，即
存在 u( x )、v ( x ) P[ x ] 使得
d ( x )=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ).
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ．
若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
例1
求 f ( x)与 g( x) 的最大公因式
(1) f ( x ) ( x 1)2 ( x 2)( x 5)2 , g( x ) ( x 1)( x 3)( x 5)3 ; 0 c P , d ( x ) c( x 1)( x 5)2是 f ( x) 与g( x) 的 一个最大公因式。 (2) 0 c P , f ( x ) 与 c 的最大公因式?
中的 u( x )、v ( x ) 不唯一。
③ 设 d ( x ), f (=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ),
则d ( x ) 未必是 f ( x ),g ( x ) 的最大公因式。 如：0 1 x 1 x, 但0不是 x , x的最大公因式。 命题1 d ( x ) 是 f ( x ), g( x ) 的最大公因式 (1) d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g( x );
高等代数习题解答
教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。
证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。
又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。
从而证得A B 是数域。
2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。
证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。
习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。
用“更相减损术”求最大公因式
用“更相减损术”求最大公因式4 22 0 0 2年第6期数学通报用“更相减损术”求最大公因式胡泰培( I l I乐山师范学院数学系 6 1 4 0 0 4 )“更相减损术”是我国占代数学中求二整数最大公因数的方法 .古典名著《九章算术》卷一在谈到分数分子分母约去公数有“置分母子之数 . 以少减多 .更相减损求其等也以等数约之.”这的“等数”就是所说分母分子的最大公因数所谓“更相减损求其等”就是置两个整数，以少减多，反复相减，直到二数相等就得到它们的最大公因数 .例如，求9 l, 4 9的最大公因数( 9 1, 4 9 ) .我们有( 9 1, 4 9 )= ( 9 1―4 9, 4 9 )= ( 4 2, 4 9 ) ( 4 2, 7 )=。
= ( 7, 7)= 7=同的最大公园式 .事实上，当‰≠0时，“ )互素.因而l厂( ), g ( ) f ( ), ( )有相同的公式，从而也有相同的最大公因式 . 如上引入的多项式一行矩阵，呵执r矩阵的初等行变换：l 短阵的行可以相交换；Ⅱ 矩阵的某行可乘一非零数；【l l 矩阵某行的倍可加于另一行 .刘徽说：“其所以相减者，皆等数之重叠.”数9 1, 4 9都是等数7的重叠 . 对于初学者来说.“更相减损求等数”比常用的“辗转相除法求最大公因数”要更容易接受些 . 这小奇怪，正如乘法是加法的叠加，除法也是减法的叠加 .乘除法要比加减法高一个层次. 这里要介绍的是，这种“更相减损术”稍作发展，还可用来求解多项式的最大公因式 .通常求多项式的最大公因式采用带余除法，辗转相除 .这种方法真正使用起来有时并不简单 .用发展了的“更相减损术”有时还简洁明了些为此，先引人多项式的系数矩阵数域f上的多项式l厂( )= a o +0 I _。
+。
+Ⅱ I +。
g( )= b o +6 I ’+。
+b I +b ( 1 )Ⅱ , b∈ F( i:0, 1, 2,。
,; : 0, l, 3,。
1-4最大公因式
4.定理（Theorem） 4.定理（Theorem） 定理 定理2 定理 对 ∀f ( x )、g( x ) ∈ P[ x ]，在P[ x ] 中存在 一个最大公因式 d ( x )，且d ( x ) 可表成 f ( x )、g( x ) 的一个组合， 的一个组合，即 ∃u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] ， 使
定理２ ② 定理２中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v( x ) g( x ) 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一 不唯一.
举例
③ 对于 d ( x), f ( x),g( x) ∈ P[ x], ∃u( x),v( x) ∈ P[ x] ， 使 d(x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) ,但是 d(x ) 未必是
互素的(或互质的 或互质的)． 则称 f ( x ), g ( x ) 为互素的 或互质的 ．
注:
f ( x ),g ( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g ( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外
无其它公因式． 无其它公因式．
2．互素的判定与性质
1) 定理3 定理3
高等代数
注:
高等代数
与零多项式0的最 ① ∀f ( x ) ∈ P[ x ] ，f ( x ) 是 f ( x ) 与零多项式 的最 大公因式． 大公因式．
两个零多项式的最大公因式为0． ② 两个零多项式的最大公因式为 ． 的最大公因式， ③ 若 d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的最大公因式， 为非零常数。 则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数。 为非零常数 因此，最大公因式不是唯一的，但在可以 因此，最大公因式不是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的，两个 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 此时， ( 此时，我们约定用 f ( x ), g( x )) 来表示首项系数 的那个最大公因式。 为1的那个最大公因式。 的那个最大公因式
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数题目
一、多项式习题课例1设与是实数域上的多项式.证明:若则.分析只要证,用反证法.证明由于非零实系数多项式的平方的首项系数是正数,假设不全为零,则,从而在上面这个等式中,左边的次数为偶数,右边的次数为奇数,矛盾.注对于复数域上的多项式来说本题的结论不成立.例如,设则,而与不全为零.例2 证明:如果,，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.分析用最大公因式的定义.证明由题设,是与的一个公因式,且有多项式使由上式知与的任一公因式必为的因式,因此, 是与的一个最大公因式.注关于最大公因式的证明常用本题的结论.例3 证明:,(首项系数是1).分析设,根据例2,只要证是与的一个公因式,且为与的一个组合.证明设,则,,且有多项式使得于是,,,且即是与的一个公因式,且为与的一个组合.因而.例4设,且,证明:.分析只要证的公因式与的公因式完全相同.证明因为(1)且,所以(2) 由(1)知的公因式必为的公因式,由(2)知的公因式必为的公因式.故的公因式与的公因式完全相同,从而.例5如果不全为零,证明:.分析只要证有多项式使得证明有多项式使得于是故.例6证明: 如果,,那么.分析由已知条件得到两个等式,利用它们来证.证明 因为,,所以有多项式使得于是即因此.例7 设都是多项式,而且,求证:.分析 根据两个多项式不互素必有不可约公因式这一事实,用反证法来证明.证明 假设,则有不可约多项式使得,故对某个与某个有,,这与,矛盾.注本题是例6的推广,还可以用数学归纳法来证明.例8证明当且仅当分析考虑标准分解式.证明若,则显然.反过来,设,来证.若,则,这时结论成立;若,则,设，其中分别为的首项系数,为互不相同的首项系数是1的不可约多项式,.则，因为,所以,从而,故.例9设是次数的多项式,如果对于任何多项式,由可以推出或,那么是不可约多项式.分析本题要证具有“对于任何多项式,由可以推出或”这种性质的次数的多项式不可约.假设可约,证明存在多项式满足而不能推出或,就导致矛盾.证明假设可约,则存在次数比底的两个多项式使显然,但是既不整除也不整除.矛盾.例10证明: 次数且首项系数为的多项式是一个不可约多项式方幂的充分必要条件是:对任意的多项式必有,或者对某一正整数,.分析证必要性用不可约多项式的性质,证充分性用反证法.证明必要性. 设,其中是不可约多项式, 是正整数,则对任意的多项式必有,或者.因此有,,或者.充分性. 假设不是不可约多项式方幂,则它必有两个不同的首项系数为的不可约因式.取,则,且对任一正整数,不整除.例11 求多项式在复数范围和在实数范围内的因式分解.分析求出在复数范围内的全部根,并确定哪些是实根,哪些是两两共轭的虚根.解在复数范围内的根全部根就是个次单位根，它们是,其中在复数范围内在实数范围内因为,且,,所以,当为奇数时当为偶数时例12 求值使有重根.分析的重根是与的公共根.解.设是的重根,则解出,例13求多项式有重根的条件.分析有重根的条件是.解用去除余式为于是当,即时,有重根.当时,用去除余式为当,即时,有重根.综上可知,有重根的充分必要条件是.例14如果,求.分析是的重根.解因为是的重根,所以是与的公共根,即解出.注此题也可用带余除法或综合除法求解.例15证明:不能有重根.分析若,则无重根.证明设则,无重根.故,从例16如果是的一个重根,证明是的一个重根.分析求,就可以用上已知条件证明,,易见.因为是的一个重根,所以是的重根,从而是的重根,是的重根.例17证明:如果,那么分析用余式定理.证明有多项式使例18 证明:如果,那么,.分析只要证.证明因为,所以的两个根,都是的根,于是,即,以上二式相减得,因此,.例19 设是大于的整数,是次数大于零的多项式,证明:如果,那么的根只能是零或单位根.分析的根必为的根.证明设是的任一非零根,因为,所以也是的根,从而,故是的任意一个根.依次类推可知,都是的根.由于的次数有限,必有使,故,因此是单位根.例20 如果,证明:有重根，其中.分析考虑.证明因为,所以是的最大公因式,因此是次多项式,而是次多项式,故只有一个单根.但是与有完全相同的根,而没有重根，所以是的根,且为重根.例21 设是一个整系数多项式,证明:若,都是奇数,则无整数根.分析用反证法.证明假设有整数根,则其中,是整系数的,于是因为,与之中至少有一个是偶数,所以,与之中至少有一个是偶数.这与与都是奇数矛盾.注本题可推广为:设是一个整系数多项式,若有一个偶数与一个奇数,使与都是奇数,则无整数根.例22 设是数域上的多项式,对任意有,证明存在使.分析在中,令得,故欲证之结论即为.证明令,则,假定,则由此知,一切自然数都是的根,故,从而,其中为常数.二、行列式习题课计算行列式常用以下方法:(ⅰ)三角形法将行列式化为三角形,从而求出它的值.(ⅱ)降阶法选适当的行(列)将行列式展开,化高阶行列式为低阶行列式.(ⅱ)递推法行列式降阶后得递推公式,根据递推公式,求出行列式的值.这些方法不是彼此孤立的,我们应该根据行列式的特点选择计算的方法,并且注意将各种方法结合起来应用.例1 计算行列式.分析将第1行的-1倍加到其余各行,可使行列式中出现较多的零.解将第1行的-1倍加到其余各行.(将第2～列加到第1列)例2 计算行列式.解按第1行展开例3 计算行列式(级).解按第1列展开.例4 计算行列式.解依次将第2～n列加到第1列;第3～n列加到第2列;…最后,将第n列加到第列例5 计算行列式.解依次将第2列的倍,第3列的倍,…,第列的倍,第列的倍都加到第1列,则例6 计算行列式.解按第1列展开得到递推公式,即,类推下去可得于是即,从而.附注一般地,若递推公式可以写成则从而得到与之间的递推关系.例7 计算行列式.解最后一列加到前边各列注意到关于与对称,有若,显然;若,解出.无论哪种情况均有.三、线性方和组习题课例1．单项选择⑴非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，增广矩阵的秩为，则r与的关系为（）。