关于“灰色预测模型”讲解
时序预测中的灰色模型介绍(六)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种对未来趋势进行预测的方法，它在许多领域都有着重要的应用。
而在时序预测中，灰色模型是一种比较常用的方法之一。
本文将介绍灰色模型的原理、应用和优缺点。
灰色模型是由中国科学家陈纳新教授于1982年提出的，它是一种用于处理少量、不完整或不规则数据的预测方法。
与其他传统的预测模型相比，灰色模型在数据缺乏和不完整的情况下有着较好的适用性。
灰色模型的基本原理是将原始数据集分为发展模型序列和残差序列，通过建立发展模型来对未来的趋势进行预测。
其中，发展模型可以是一次累加生成模型、二次累加生成模型、GM(1,1)模型等。
而残差序列则是通过对发展模型进行修正得到的，用于检验模型的精度和完备性。
在实际应用中，灰色模型常常用于对短期趋势进行预测，尤其在经济、环境、科技等领域有着广泛的应用。
例如，对于某一产品的销售量、某一城市的空气质量指数、某一技术指标的变化趋势等，都可以利用灰色模型进行预测。
与其他预测模型相比，灰色模型的优点在于对少量数据的适用性较强，同时不需要对数据进行平稳化处理和参数识别。
此外，灰色模型还能够较好地处理不规则的、非线性的数据，因此在实际应用中有着一定的优势。
然而，灰色模型也存在一些缺点。
首先，灰色模型对数据质量的要求较高，对于缺乏规律性的数据预测效果可能不理想。
其次，灰色模型在长期预测方面效果不如传统的时间序列模型，因此在某些情况下可能存在局限性。
总的来说，灰色模型是一种适用于少量、不完整或不规则数据的时序预测方法。
它在很多领域都有着广泛的应用，并且在一定的条件下有着较好的预测效果。
然而，使用灰色模型时也需要注意数据的质量和模型的局限性，以便得到更准确、可靠的预测结果。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的预测模型，综合考虑灰色模型的优缺点，以帮助我们更好地预测未来的趋势。
同时，我们也可以结合其他预测方法和技术，以提高预测的准确性和可靠性。
因此，灰色模型是时序预测中的一种重要方法，值得我们深入了解和研究。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
关于“灰色预测模型”讲解
7.8205 11.184
1
14.7185
1
1
1 1
y = [x (0)(2), x (0)(3), x (0)(4), x (0)(5)]T
= [3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
谢谢观赏！
有不足之处，请老师和同 学指正。若有疑问之处 ，请课后交流！
由于
涉及到累加列
(1) 的两个时刻的值，因此，
(1)
t
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xxx(((000))M)(((N23)))xxx(((000))M)(((N12231212 [[[))x)xx(((111)))
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人
概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
灰色理论与灰色预测模型研究与应用
灰色理论与灰色预测模型研究与应用灰色理论是一种基于不完全信息的数学方法，由中国科学家陈纳德于1982年提出。
它主要用于解决样本数据有限、不完整、不确定的问题，适用于各种领域的预测和决策。
灰色预测模型是灰色理论的核心内容之一，通过对数据序列进行建模和预测，可以在一定程度上弥补数据不完整性带来的问题。
灰色理论的核心思想是通过构建灰色模型，对数据进行预测和分析。
灰色模型是一种基于时间序列的预测模型，它主要包括GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。
GM(1,1)模型适用于一阶动态系统，通过建立灰微分方程和灰累加方程，可以对数据进行预测和分析。
GM(2,1)模型是GM(1,1)模型的扩展，适用于二阶动态系统，通过引入二次累加生成序列，可以提高预测的准确性。
灰色预测模型的应用非常广泛，可以用于经济、环境、医疗、交通等领域的预测和决策。
以经济领域为例，灰色预测模型可以用于宏观经济指标的预测，如国内生产总值、物价指数等。
通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来一段时间内的经济走势，为政府和企业的决策提供参考。
在环境领域，灰色预测模型可以用于空气质量、水质监测等方面的预测和评估。
通过对历史数据的分析，可以预测未来一段时间内的环境状况，为环境保护和治理提供科学依据。
灰色预测模型的优势在于能够处理数据不完整、不确定的问题。
在实际应用中，往往会遇到数据缺失、数据质量差等问题，传统的预测模型很难处理这些问题。
而灰色预测模型通过对数据序列的分析和建模，可以在一定程度上弥补数据不完整性带来的问题，提高预测的准确性。
此外，灰色预测模型还具有模型简单、计算快速等特点，适用于大规模数据的处理和分析。
然而，灰色预测模型也存在一些不足之处。
首先，灰色预测模型对数据的要求较高，需要满足一定的前提条件，如数据序列的稳定性、线性关系等。
如果数据不满足这些条件，就无法进行有效的预测和分析。
其次，灰色预测模型对参数的选择较为敏感，不同的参数选择可能会导致不同的预测结果。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
时序预测中的灰色模型介绍(十)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种应用广泛的数据分析方法，它可以帮助我们预测未来一段时间内的数据趋势。
而在时序预测中，灰色模型是一种常用的模型之一。
本文将介绍灰色模型的基本原理、应用范围和优缺点。
一、灰色模型的基本原理灰色系统理论最早由中国科学家陈裕昌教授提出，它是一种用于处理少量数据和缺乏信息的系统分析方法。
灰色模型的基本原理是通过对数据进行灰色关联分析、灰色预测等处理，来实现对未来时序数据的预测。
灰色模型的关键在于建立数据的灰色关联度，通过对数据进行加权处理，将不规则的数据变为规则的规整数据，进而实现对未来数据的预测。
这种方法不仅可以用于单变量时序数据的预测，还可以用于多变量时序数据的预测，具有一定的灵活性和适用范围。
二、灰色模型的应用范围灰色模型在实际应用中具有广泛的应用范围，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：灰色模型可以用于对经济指标的预测，如国内生产总值、消费指数、失业率等。
通过对这些指标的预测，可以帮助政府和企业制定发展战略和政策。
2. 工业领域：灰色模型可以用于对工业生产数据的预测，如原材料价格、产量、需求量等。
这对于企业的生产计划和库存管理具有重要意义。
3. 环境领域：灰色模型可以用于对环境数据的预测，如空气质量、水质数据等。
通过对这些数据的预测，可以帮助政府和环保部门采取相应的措施来改善环境。
4. 医疗领域：灰色模型可以用于对医疗数据的预测，如疾病发病率、病人数量、医疗资源需求等。
这对于医院和卫生部门的资源配置和医疗服务规划具有重要意义。
三、灰色模型的优缺点灰色模型作为一种时序预测方法，具有以下优点：1. 适用范围广：灰色模型可以处理各种类型的时序数据，包括线性和非线性数据，适用范围广泛。
2. 数据要求低：灰色模型对数据的要求相对较低，对于缺乏信息或者数据量较少的情况也可以进行预测。
3. 预测精度高：灰色模型在一定范围内可以取得较高的预测精度，对于短期和中期的预测效果较好。
灰色预测模型介绍.
数学模型与数学实验数课程报告题目：灰色预测模型介绍专业：班级：姓名：学号：二0一一年六月1. 模型功能介绍预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。
一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。
式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。
当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。
当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。
当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。
其中我要在这里介绍灰色预测模型。
灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。
“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。
信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。
灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
(0)
解（1）由原始数据列计算一次累加序列 结果见表7.3. 表7.3 一次累加数据
年份 1999 2000 2001 2002
x
(1)
2003
序号
(0)
1
2
3
4
5
x
2.874 2.874
3.278 6.152
3.337 9.489
3.390 12.879
3.679 16.558
x
(1)
（2）建立矩阵：
x (5) x (5) x (4) 34 27 7，
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
x (4) x (4) x (3) 27 17 10，
(1) (1)
x (3) x (3) x (2) 17 9 8，
(1) (1)
( 0) (1) ì ï x (2) + ax (2) = u , ï ï ï ( 0) (1) ï x (3) + ax (3) = u , ï 于是，由式（7.3）有 ï í ï .............................. ï ï ï ( 0) (1) ï x (N ) + ax (N ) = u . ï ï î
(0)
1 1 a . 1 u 1 ( x (2), x (3),
(0) (0)
, x ( N )) .
(0)
这里，T表示转置.令
(1) (1) 1 1 2 [ x (2) x (1)] 1 (1) (1) a [ x (3) x (2)] 1 2 , U , u 1 (1) (1) 2 [ x ( N ) x ( N 1)] 1
把
ax (i)
(1)
项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
【例】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求
作精度检验。 表7.2 年份 序号 1999 1 2.874 逐年销售额（百万元） 2000 2 3.278 2001 3 3.337 2002 4 3.390 2003 5 3.679
x ，x
(0)
(1)
分别做成图7.1，图7.2.
可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐
递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以
x (1) . 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成
数列
x
(1)
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
(1)
(1)
(1)
分别代入方程(7.3), 用差分代替微分，又因等间隔取样，
t (t 1) t 1,
(1) x 故得： (2) x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) x(0) (2), t
(1) x (1) (3) x (N ) (0) x (3),..., x (0) ( N ). 类似地有 t t
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故 称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的 是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据 均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使 数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始 数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整 体提升”处理.
1 2 (1)
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
x (4) x (1) x (2) x (3) x (4) 6 3+8+10 27， x (5) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) 6 3+8+10+7 34.
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
方程组(7.6)’，用最小二乘法估计为
(7.6)＇
ˆ a ˆ U ( BT B) 1 BT y ˆ u
(7.7)
把估计值
(1)
ˆ与u ˆ a
代入（7.4）式得时间响应方程
(7.8)
(1) ˆ x (k 1)
ˆ ak ˆ u u (1) ˆ ˆ (k 1) x (1) e x ˆ ˆ a a
灰色系统理论的研究与应用
灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、 贫信息”不确定性系统。 灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。 灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
(0) (0) (0) (0) (0)
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
{ x ( j ) i 1, 2 归纳上面的式子可写为 x （i）
(1) (0) j 1
i
, N}
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1). 将上述例子中的
(1)
对等间隔取样的离散值 （注意到
(1) (1)
t0 1
）则为
u ak u x (k 1) [ x (1) ]e . a a
估计常数a与u.
(7.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来
因 x (1) 留作初值用，故将
(1)
x (2), x (3),..., x ( N )
x (1) 由于 涉及到累加列 t
(7.5)
x
(1) 的两个时刻的值，因此，
x (i)
(1)
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x
(i )
(i)
替换为
1 (i ) (i ) [ x (i ) x (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
(1) (1) (0) 1 (1) (1) 1 [ x (2) x x (2) x (2) 2 [ x (2) x2 (1)] 1 (1)] 1 (1) 1 (1) (1) (0) (0) (1) [ x (3) x (2)] x (3) [ x (3) x (2)] 1 x (3) a 2 2 . 1 u (0) 1 (1) (1) (1) 1)] 1 (1) (0) 1 (N x (N ) x x (N ) 2 [) [ x ( N ) x ( N 1)] x ( N 2 y ( x(0) (2), x(0) (3), , x(0) ( N ))T .
x (2) x (2) x (1) 9 6 3，
(1) (1)
x (1) x (1) x (0) 6 0 6.
(1) (1)
归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
x (i) x (i) x (i 1) x (i)
(1) (1) (1) ( 0)
当k 1, 2,
, N 1时， 由(7.8)式算得的
(1) ˆ 是拟合值； 当k N时， x (k 1) 为预报值.这是
相对于一次累加序列 x (1) 的拟合值，用后减运算还原，
当k 1, 2,
(0) 就可得原始序列 的拟合值 , N 1时， x
(0) 可得原始序列 x ( 0 ) 预报值. ˆ x (k 1)； 当k N时，
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
x {x (1), x (2), , x ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
不确定性方法的比较
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人 概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实 规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内 涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
对数据累加
x (1) x (1) 6，
(1) (1) (1) (1) (1) (0)
x (2) x (1) x (2) 6 3 9，
(0) (0)
x (3) x (1) x (2) x (3) 6 3+8 17，
其中