民航机场旅客吞吐量灰色GM(1,2)预测
基于灰色动态马尔科夫的航班延误预测
基于灰色动态马尔科夫的航班延误预测李频【摘要】为解决大型枢纽机场运行管理中的航班延误问题,建立了基于灰色理论的动态马尔科夫预测模型,对航班延误情况进行预测.将灰色预测拟合值和实际值的误差分为4个区间,根据误差区间状态,运用加权马尔科夫预测下个时间段的误差范围.结合模糊集理论,将预测误差由一个区间值转化为具体值,从而对灰色预测值进行修正,得到了精确度更高的预测值.结合某机场进行实例验证,结果表明:该方法能够使预测结果的精度有了较大提升.【期刊名称】《上海工程技术大学学报》【年(卷),期】2014(028)004【总页数】5页(P333-336,346)【关键词】灰色理论;动态马尔科夫;模糊集理论;权重;航班延误【作者】李频【作者单位】南京航空航天大学民航学院,南京211106【正文语种】中文【中图分类】U8航班延误是反映机场和航空公司航空运输的重要指标，其变化存在一定的规律性，进行航班延误的预测研究，可以及时对航班延误进行预警，将航班延误所造成的损失降低到最小，为航空公司和客货运输提供保障[1].为了对航班延误进行预警，减少其对航空公司和机场造成的损失，国内外学者进行了大量研究.徐涛等[2]通过设定导致航班延误各因素的属性信息，对航班的延误级别进行概率性预测，并对导致航班延误的各因素进行分析处理，从而减少其对后续航班的影响.石丽娜[3]从航班运行的全过程入手，建立多层次的航班延误预警指标体系，并运用模糊的评价模型，针对航空公司的航班延误进行评价;对评价的结果采用最大隶属度的原则，确定最终的延误级别.丁建立等[4]为了克服单一的航班延误预测存在的误差，提出了一种基于危险模式和灰色预测组合的新型航班延误预测方法，对这两种预测方法的结果采用加权组合预测的方式来预测航班延误的趋势变化，预测结果是单一预测模型的加权和.Xu等[5]利用贝叶斯网络对美国航空系统航班延误波及进行评估.Wong等[6]采用优化模型对导致航班延误的技术性问题进行评价，通过对航班延误因素分析，在对航班延误实际测量时，以预定延误时间表为基础，运用数学规划模型对空中交通的管理水平进行测量与优化.根据航班延误受天气变化、流量控制等随机性因素影响的特点，本文提出先采用灰色预测模型GM(1，1)寻找到原始时间序列的内在规律.由于GM(1，1)可以对任意离散序列建模，且短期预测中精度很高，但对长期的预测和波动性较强的序列的拟合度较差，而马尔科夫链的无后效性使其对中长期预测和波动性较长的序列预测效果好[7]，因此，将马尔科夫与灰色预测进行组合，建立灰色动态马尔科夫预测模型，通过加权的马尔科夫和模糊集理论对灰色预测结果优化，可提高预测的精度.1 灰色动态加权马尔科夫模型1.1 灰色模型建模给定原始数据列x(0)，并对x(0)进行一次累加生成x(1)数列，即对x(1)(t)建立GM(1，1)，对应的线性方程为式中，a、b为待辨识的参数.解该微分方程为式中，x(0)(1)=x(1)(1)为初始值.由最小二乘法求解a、b，表示为式中，Y和B可表达为根据GM(1，1)模型可以求出一次累加生成量x(1)(t)的模型预测值，表示为由于因此得到原始数据模型值[8]为1.2 加权马尔科夫模型设随机过程X(t)，在每个时刻tn，有Xn=X(tn)可以处在状态 a1，a2，…，an 之间，而且只在 t1，t2，…，tn等可数时刻发生状态转移.在这种情况下，若过程在tn+k时刻变成任一状态ai(i=1，2，…，n)的概率只与tn时刻的状态有关，而与tn以前该过程所处的状态无关，称该过程为马尔科夫链，简称马氏链.设系统有n个状态，系统在tn时刻处于状态ai，在下一时刻tn+1转为状态aj的概率为pij，则称pij为一步转移概率[9].将系统的 pij依序排列，即构成一步转移概率矩阵P(1)，可表示为若系统经过k次转移后，在时刻tn+k处于状态aj的概率为，则称为k步转移概率.相应地，可构成k步转移概率矩阵P(k).加权马尔科夫就是在传统的预测基础上，根据不同步长的转移引入权重的概念，运用多步长来动态预测下一时段的数据.根据各阶自相关系数rk(k∈E)计算不同步长的转移权重，计算时，权重需要规范化.1.3 求解的级别特征值根据模糊集理论中级别特征值的求法[7]，对各状态分别赋予相应的权重，权重集W={W1，W2，W3，W4}，集合的权重 Wi可表示为式中，η为最大概率的作用系数，通常取2或4.级别特征值为如果误差预测状态为i，且H＞i，则误差预测值为DiH/(i+1.5);如果H＜i，则误差预测值为UiH/(i－1.5).其中，Di和 Ui分别为预测区间的上限和下限.1.4 修正灰色模型本文采用加权马尔科夫模型修正GM(1，1)预测过程中的误差，原理为:动态更新每一次的加权值，预测下一时段的误差值状态;根据模糊集确定误差具体值，从而修正GM(1，1)预测值，提高预测精度.首先计算GM(1，1)中的a、b值，确立灰色预测模型，并计算相对误差，公式为将式(4)计算出的误差值分级，对所得的结果进行统计，可得不同步长的马尔科夫链转移矩阵.计算各阶的相关系数rk，计算式为式中:xi为第i时段的指标值；为指标值均值;n为指标值序列长度.对各阶自相关系数进行规范可得分别以前面若干时段的误差值作为初始状态，结合其相应的各阶转移概率矩阵，即可预测出该时段误差值的状态概率，k为滞时(步长)，k=1，2，…，m.将同一状态的不同步长预测值加权和作为指标值处于该状态的预测概率，即，从而 max{Pi，i∈E}所对应的 i为该时段指标值的预测状态.根据GM(1，1)预测的航班延误值和加权马尔科夫预测的误差状态，运用模糊集理论，判断级别特征值和预测误差状态大小，求误差预测值(本文中最大概率的作用系数取4).根据误差值对预测值进行修正，公式如下即得到更为精确的修正预测值.该算法在GM(1，1)的基础上结合了马尔科夫模型，在一般马尔科夫的基础上又提出了加权的概念，动态更新每一次预测的权重，预测误差所在的状态，再结合模糊集理论，将预测误差值由区间值转化为一个具体值，对灰色预测值进行修正，得到更精确的预测值.2 应用实例2.1 数据来源原始样本为航班延误起伏不大的11月和12月中某机场离港航班数据，选取了航班延误架次作为参数(华北局对该机场航班延误的认定标准是关舱门时间比机票标注时间晚30 min以上，或航班取消的情况).2.2 实验环境及数据分析本文采用Matlab软件对数据进行分析处理，计算时选取11月20日至12月9日，每天上午10时至11时的航班延误架次，得出灰色模型式(1)中的参数 a、b分别为0.007 1 和 19.058 2，进而计算得到航班延误的拟合值.将航班延误的实际值与拟合值进行比较，根据式(4)可以得出相对误差，具体误差值见表1.表1 GM(1，1)实际值与拟合值误差Table 1 Errors between actual values and fitting values of GM(1，1)时间序列实际值拟合值误差/%1 16 18.885 718.035 6 3 16 18.753 0 17.206 3 4 21 18.621 3 －11.327 1 5 18 18.490 42.724 4 6 23 18.360 5 －20.171 7 7 20 18.231 5 －8.842 5 8 17 18.103 46.490 6 9 15 17.976 2 19.841 3 10 18 17.849 9 －0.833 9 11 19 17.724 5 －6.713 2 12 18 17.600 0 －2.222 2 13 15 17.476 3 16.508 8 14 21 17.353 5 －17.364 3 15 22 17.231 6 －21.674 5 16 14 17.110 5 22.217 9 17 15 16.990 3 13.268 7 18 18 16.870 9 －6.272 8 19 17 16.752 4 －1.456 5 15 15 0 2 20 14 16.634 7 18.819 3根据相对误差将误差值分为4个状态，状态划分如表2所示.表2 误差状态分布Table 2 Distribution of error state状态1234误差/% [－21，－10)[－10，0) [0，10) [10，22)根据式(2)计算得到一步转移概率矩阵为根据式(5)和式(6)计算得出1～3阶的自相关系数和权重如表3所示.表3 不同步长的自相关系数和权重Table 3 Autocorrelation coefficients and weights of different steps步长123 rk0.125 6 －0.247 8 －0.042 4 wk0.302 1 0.508 9 0.302 1选取12月中的7、8、9日上午10时至11时的航班延误值，预测12月10日同时间段内航班延误误差值，预测结果如表4所示.表4 12月10日上午10时至11时航班延误误差预测Table 4 Error predictionof flight delays on 10 to 11 o＇clock of 10th December时间/s步长状态权重状态1 状态2 状态3 状态4 12.7 3 2 0.102 0.50 0.250 0 0.25 12.8 2 2 0.5980.20 0.200 0 0.60 12.9 1 4 0.302 0.33 0.333 0 0.33 Pi加权和0.27 0.25 0 0.53 根据传统GM(1，1)模型预测，12月10日航班延误架次为16.517 8架，由表4可知，max{Pi}=0.53，即误差值落在状态4的概率最大.根据式(3)计算H为4.840 7，大于预测状态4，则由式(7)计算得到误差预测值为19.368 2%.根据式(7)得到修正后的预测值为13.318 6，与实际值14比较，预测精度由原来的82.2%提高到95.1%，如表5所示.针对原始样本数据，根据本文提出的方法对12月11日至30日的航班延误值进行预测，与传统灰色预测模型相比，本文提出的方法的预测精度有了很大提升，具体变化如表6所示.表5 预测结果分析Table 5 Analysis of prediction results模型预测值实际值绝对误差预测精度16.52 14 2.517 8 82.2动态马尔科夫/%灰色预测13.32 14 0.681 4 95.1表6 原始样本预测精度分析Table 6 Analysis of prediction precision for original samples时间序列传统预测精度/% 本文预测精度/% 精度变化/%82.0 96.7 14.8 2 82.8 97.0 14.2 3 88.7 98.7 10.0 4 97.3 99.9 2.7 5 79.8 95.9 16.1 6 91.2 99.2 8.1 7 93.5 99.6 6.1 8 80.2 96.1 15.9 9 99.2 100.0 0.8 10 93.3 99.5 6.3 11 97.8 100.0 2.2 12 83.5 97.3 13.8 13 82.6 97.0 14.3 14 78.3 95.3 17.0 15 77.8 95.1 17.3 16 86.7 98.2 11.5 17 93.7 99.6 5.9 18 98.5 100.0 1.4 19 81.2 96.5 15.3 1 20 85.2 97.4 12.23 结语本文建立了灰色动态马尔科夫模型用于航班延误的预测.新模型在GM(1，1)预测的结果上，采用加权马尔科夫将预测误差转化为多个预测区间，动态更新每一次预测的权值，对误差的趋势进行预测.在得到误差区间的基础上，运用模糊集理论将误差由一个区间值转换到一个具体值，根据预测误差值对GM(1，1)预测值进行修正，得到了更精确的航班延误预测值.该模型有效提高了预测的准确性，能为机场管理当局提供大面积航班延误管理决策.参考文献:[1]吕晓杰，王红.大型枢纽机场大面积航班延误预警方法研究[J].计算机工程与设计，2009，30(19):4564－4566.[2]徐涛，丁建立，王建东，等.基于贝叶斯网络的航班延误与波及分析模型[J].系统仿真学报，2009，21(15):4818－4822.[3]石丽娜.多等级模糊评价方法在航班延误中的应用[J].上海工程技术大学学报，2006，20(3):276－279.[4]丁建立，李华峰.一种新型航班延误组合预测模型[J].中国民航大学学报，2011，29(3):1 －4.[5]Xu N，Donohue G，Laskey K B，et al.Estimation of delay propagation in the national aviation system using Bayesian networks[C]∥ Proceedings of6th USA/Europe Air Traffic Management Research and Development Seminar Baltimore:Federal Aviation Administration.2005.[6]Wong J T，Gilingwater D.An optimization model for assessing flight technical delay[J].Transportation Planning ＆ Technology，2002，2(25):121 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灰色模型GM(1,2)在机场旅客吞吐量预测中的应用
（ 中国民航 学院交通工程学院 天津 ３００ ） ０３０
摘 要：通过对影响机场旅客吞 吐量的主要因素进行灰色关联分析 ，建立 Ｇ （，） Ｍ １ ２ 预测模型，并且根据首都机场旅客吞吐量的实例进行预测 ，实现 了 灰色系统理论在机场旅客吞 吐量预测中的应用．通过精度 的检验 以及与实际情况 的比较，说明 Ｇ （，） Ｍ １ 模型应用于机场 ２
大。
ｍｎ ｉ 。） ｋ＋ ｍ ａｘ七 七 ！ ｎ （ 一 （‘￣ ￣ｍｘ。） （Ｉ ｍ ］七 ｘ ） ‘（ 一 ） 七一 （Ｉ ｍ ） 七＋ ） 七 （Ｉ ） 七 一 ）
（） １
灰色预测采用将原始数据进行直接 累加 、移
动平均加权累加等 方式，使生成数列 呈现一 定的
规律性 ，利用典型 曲线 逼近其 相应 曲线， 以逼近
ｘ ） ｆ（ ，…， 。 ） 。２ ’ ，相关因素序列为 累减生成 ’ ） 然后计算原始序列ｘ’ ） ） 。 ， （ ｆ（ 与 。 ｘ’ ｘ’） ５（ ，…，ｘ’ ）。其中 （ 。ｘ’ ） １ 。２ （ ） 刀
。 的 ’ ） 绝对误差序列占 （ ∞和相对误差序列△ 。 ｋ
旅客吞吐量预测的精度较高，结果可信 。
关 键
词：灰色模型
关联分析 机场 吞吐量 预测
文献标识码 ：Ａ
中图分类号：Ｆ ６． ５０ ３ ８
引言
ｒｘ （） ｊ ）＝ （ｏ ， （ ） 七 七
机场旅客吞 吐量 传统的预测方法大多采用 回 归分析法 ，此方法 需要大量 的原始数据 ，要求数 据 分布 典 型 ，计 算 量 大 ，并且 预测 结果 误 差较
（） ９
５ ） 计算关联度
。＝
窆
ｋ ＝ｌ
灰色GM(1,1)模型在城市客运量预测中的应用
黑龙江交通科技
表 １ 某 城 市 客运 量 历 年 来 资料
第 １ 期 １
（） ＝１ ＝０Ｓ …（ ） ０Ｓ （ 一】 值（（（ ） ．ｘ 十 ． 】 ｘ ） ）
÷
Ｕ
匡塑竺 垒塑苎 ｌ 苎 竺
Ｕ
采 用 灰 色 预 测 Ｇ １ １ 模 型 对 １９ Ｍ（ ， ） ９ ９年 到 ２０ ０９年 客运
ｄ （ ｘＩ ） ＋ 似 （）＝６ １ ＿
ａｔ
城 市 客 运 交通 枢 纽 是 指 城 市 对 外 客 运 设 施 和 城 市 公 共
交通枢纽站 ， 是乘客集 散、 换交通方 式 和线路 的场所 。在 转
进 行 城 市 交 通 规划 时 ， 当 含 有 客 运 枢 纽 规 划 。 合 理 规 划 、 应 白化 响 应 式 为 ：
灰色预测是基于 Ｃ Ｍ模型作 出的定量预 测 ， 通过原 始数
据的处理 和灰色模型 的建 立 ， 现掌 握系统发 展规律 ， 系 发 对 统的未来状态作 出科学的预测 。
１ １ Ｇ １１ 定 义 型 ． Ｍ（ ，）
在 小乘 则 Ｐ【＝ Ｂｈ 最 ； 准 下 ＝ ］（ ） ａ ６ Ｂ ｙ
２ １ Ｃ １１ 矩 阵 方程 Ｙ ． Ｍ（ ， ） ｎ＝Ｂ Ｐ
灰色预测是就灰色系统 所做 的预测 。灰色系 统理论认
为对 既含有 已知信息叉含 有未知 或非确定 信息 的系统进 行
预测 ， 是 对 在一 定 方 位 内变 化 的 、 时 间 有 关 的 灰 色 过 程 就 与 的预 测 。尽 管 过 程 中 所 显 示 的 现 象 是 随机 的 、 乱 无 章 的 ， 杂
５ ｋ ２ ＿ 。 ：
￣（１）
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ｎ
灰色预测法GM总结
灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法;灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统;灰色系统内的一部分信息是已知的,另一部分信息时未知的,系统内各因素间具有不确定的关系;2. 灰色预测,是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测;尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势的状况;灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测; 二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间;2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现在特定时区内;3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型,预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化;4. 拓扑预测；将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点,并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM1,1模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列;i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据,计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==;如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内,则可以建立GM1,1模型且可以进行灰色预测;否则,对数据做适当的预处理;方法目前主要有数据开n 方、数据取对数、数据平滑;预处理的数据平滑设计为三点平滑,具体可以按照下式处理()()()()()()()()/00001214X t X t X t X t ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()()()()/00013124X X X ⎡⎤=+⎣⎦ ()()()()()()/000134X n X n X n ⎡⎤=-+⎣⎦ii. 预处理后对数据作一次累加生成处理,即：将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据,将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上,其和作为生成列的第二个数据;按此规则进行下去,便可得到生成列; 根据()()()()101kn Xk X n ==∑,得到一个新的数列()()()()()()()()(){},,,...11111123X X X X X n =这个新的数列与原始数列相比,其随机性程度大大弱化,平稳性大大增加; 2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述;()()11dX aX u dt+= 其中：a 称为发展灰数；u 称为内生控制灰数; 3. 模型求解; 令()()()[(),(),,()]00023Tn Y XXX n =⋯,ˆα为待估参数向量,ˆa u α⎛⎫= ⎪⎝⎭, ()()()()()()(()())(()())(()())111111112 12123 1211 12X X X X B X n X n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⋯⋯⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦, 于是模型可表示为ˆn Y B α= 通过最小二乘法得到：()ˆ1T T n B B B Y α-= 求解微分方程,即可得灰色预测的离散时间响应函数：()()()()ˆ1011at u u X t X e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦,,,...,0121t n =- ()()ˆ11Xt +为所得的累加的预测值,将预测值还原即为： ()()()ˆˆˆ()()-()01111Xt X t X t +=+ 注：若数据经过预处理,则还需经过相应变换才能得到实际预测值; 4、模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验; 1) 残差检验()()()ˆˆˆ()()-(-)0111Xt X t X t = ()()()()()()ˆ000t Xt X t ∆=- ()()()(),,,,()0012t t t n X t ε∆==分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值,计算出平均相对误差判断精度是否理想;2) 关联度检验i. 定义关联系数()t η()()()()()()()()min max ()max 0000t t t t t ρη∆+∆=∆+∆其中：①()()0t ∆为第t 个点()0X 与()ˆ0X的绝对误差； ②ρ称为分辨率,0<ρ<1,一般取ρ=；③对单位不一,初值不同的序列,在计算相关系数前应首先进行初始化,即将该序列所有数据分别除以第一个数据;ii. 定义关联度()11nt r t n η==∑,称为()()0X t 与()()ˆ0Xt 的关联度 根据上述方法算出()()ˆ0Xk 与原始序列()()0X k 的关联系数,然后计算出关联度,根据经验,当ρ=时,关联度大于便满足检验标准;3) 后验差检验计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:1S =,2S =计算方差比21S C S =,小误差概率()()(){}.00106745P P t S =∆-∆<,令()()()00t e t =∆-∆,.0106745S S =,则{}0t P P e S =<检验指标P 和C 与灰色预测精度检验等级标准如下表所示： XXX 表 C <<<≥四、残差模型修正若用原始经济时间序列()0X 建立的GM1,1模型检验不合格或精度不理想时,要对建立的GM1,1模型进行残差修正或提高模型的预测精度;修正的方法是建立GM1,1的残差模型;设))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n εεεε=其中,()()()0k x k ε=-()ˆ()1xk 为)1(X 的残差序列;若存在k 0,满足1.的符号一致；)(,)0(0k k k ε≥∀2.40≥-k n ,则称|))(||,...,)1(||,)((|)0(0)0(0)0(n k k εεε+为可建模残差尾段,仍记为))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=设))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=为可建模残差尾段,其一次累加序列))(),...,1(),(()1(0)1(0)1()1(n k k εεεε+=的GM1,1模型的时间响应式为0)]([0)0()1(,))(()1(ˆ0k k a be a b k k k k a ≥+-=+--εεεεεεε则残差尾段的模拟序列为))(ˆ),...,1(ˆ),(ˆ(ˆ)0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+= 其中0)]([0)0()0(,))()(()1(ˆ0k k e a bk a k k k a ≥--=+--εεεεεε➢ 若用)0(ˆε修正)1(ˆX 则称修正后的时间响应式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±+-<+-=+----0)]([0)0()0(0)0()1(,))(())1((,))1(()1(ˆ0k k ea b k a a b e a b x k k a b e a b x k x k k a ak ak εεεεε 为残差修正GM1,1模型,简称残差GM1,1;其中残差修正值)]([0)0()0(0))()(()1(ˆk k a e a bk a k ----=+εεεεεε的符号应与残差尾段)0(ε的符号保持一致;➢ 若)1()0()1()1()0())1()(1()1(ˆ)(ˆ)(ˆ----=--=k a a e abx e k x k x k x则相应的残差修正时间响应式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±--<--=+----0)]([0)0()0(0)0()0(,))(())1()(1(,))1()(1()1(ˆ0k k ea b k a e a b x e k k e a b x e k x k k a ak a ak a εεεεε 称为累减还原式的残差修正模型;取定k 后,按此模型,可对k>k0的模拟值进行休整,修正后的精度如下表：就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍;再用P 和C 检验预测效果;五、GM1,1模型的适用范围灰色GM1,1模型评价推广 1 灰色GM1,1模型优点灰色GM1,1预测模型在计算过程中主要以矩阵为主, 它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题. 由MATLAB 编制的灰色预测程序简单实用, 容易操作, 预测精度较高.2 灰色GM1,1模型的缺点该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法,因此它对历史数据有很强的依赖性, 而且GM 1,1的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大, 尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大, 脱离实际. 下面我们来讨论GM1,1模型的适用范围.GM1,1模型的白化微分方程：(1)(1)dX aX u dt+= 其中a 为发展系数,可以证明,当GM1,1的发展系数||2a ≥时,GM1,1模型无意义;因此,(,][,)22-∞-⋃+∞是GM1,1发展系数a 的禁区;在此区间,GM1,1模型失去意义;一般地,当||2a <时,GM1,1模型有意义;但是,随着a 的不同取值,预测效果也不同;通过数值分析,有如下结论：1当.03a -≤时,GM1,1的1步预测精度在98%以上,2步和5步预测精度都在97%以上,可用于中长期预测；2当..0305a <-≤时,GM1,1的1步和2步预测精度都在90%以上,10步预测精度也高于80%,可用于短期预测,中长期预测慎用； 3当..0508a <-≤时,GM1,1用作短期预测应十分慎重；4当.081a <-≤时,GM1,1的1步预测精度已低于70%,应采用残差修正模型； 5当1a ->时,不宜采用GM1,1模型;如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM 1, n 模型. GM 1, N 模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立, 而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度.论文小结处：与传统的数理统计模型相比,该模型在…预测方面具有明显优点：① 无需典型的概率分布；② 减少时间序列的随机性；③ 小样本即可计算；④ 计算简便;用灰色理论预测…理论可靠,方法较简单;对原始数据系列长度要求不高,即使在系列较短的情况下也能取得令人满意的预报结果,弥补了其他方法无法进行短期系列观测资料的…的预测;本文建立的模型经拟合精度检验P= ,C=,模型判为…,预测精度高,能达到预测要求;。
基于灰色gm(1,1)模型的民航飞行员需求预测
飞行员需求曲线是一条波浪式前进的曲线。由
于对中国民航飞行员需求产生影响的因素具有
灰色性，并且灰色系统在对民航飞行员需求进
行预测时，无需考虑影响民航飞行员需求的因
素，只需从民航飞行员需求自身的时间序列数
据中寻找有用信息和其内在的运行规律，因此
采用灰色系统理论预测更加符合民航飞行员需
求的客观状况。
1.1 数据生成
（2）
k
∑ ( ) 其= 中 x(1) (k)
= x k (0) (i)
1, 2,, n
。
i =1
1.2 用微分方程拟合数据序列得到预测的
累加值
建立一阶单变量的民航飞行员需求微分方 程预测模型 GM(1,1)，其具体形式为：
dx(1) + ax(1) = u dt
（3）
在公式（3）中 a、u 为待识别的灰色参数。
(1)
(k
))
1
（7）
由式 (5)~ 式 (7) 求得 a ，u ，得微分方程 (4) 的解。
1.3 预测值还原
灰色 GM(1,1) 的预测结果需要对预测累加
值进行还原处理，即对 (4) 式得到的模型计算
值进行如下的累减：
Ù
Ù
Ù
x(0) (k) = x(1) (k) - x(1) (k - 1)
（8）
公式 (3) 表示单变量 x 对时间 t 的一阶微分方
程是连续的。考虑民航飞行员需求的实际情况，
其离散形式为：
xˆ(1) (k ) = (x(0) (1) - u )e- a(k- 1) + u
a
a
（4）
∧
公式 (4) 中的 a 和 u 是由参数列 α 确定的
灰色预测GM（1-1）模型及其改进与适用范围新探
灰色预测GM（1-1）模型及其改进与适用范围新探发布时间：2021-11-18T03:25:06.725Z 来源：《中国科技人才》2021年第22期作者：季宇[导读] 本文主要介绍灰色系统的基本概念、灰色系统模型GM(1，1)和GM(1-1)灰色预测模型的改进，并且给出了适于应用GM(1，1)预测的原始序列范围的独到见解。
安徽省淮南技工学校摘要：本文主要介绍灰色系统的基本概念、灰色系统模型GM(1，1)和GM(1-1)灰色预测模型的改进，并且给出了适于应用GM(1，1)预测的原始序列范围的独到见解。
关键词：灰色系统理论；GM(1，1) 预测模型；白化微分方程一、灰色系统理论简介灰色系统理论(Grey System Theory)是我国控制论专家邓聚龙教授在1982年创立的，是研究少数据、贫信息不确定性问题的一种方法，以“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性系统为研究对象，对“部分”已知信息的生成，提取有价值的白信息，以对系统的规律进行探究，实现对系统运行规律的正确认知。
邓聚龙教授用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息已知，部分信息未知。
灰色模型GM(Gray Model)按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在规律，经过灰色差分方程与灰色微分方程之间的互换实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。
二、GM（1-1）模型设原始非负时间序列为使用优化权重系数的算法，经过试验发现，灰色预测模型经过适当的处理原始数据后，也能用于正项等差序列的预测。
如对于原始非负序列x0= {8002，8004， 8006， 8008}。
它的级比分别为1.000249937，1.000249875，1.000249813，非常接近于常数1，用灰色模型预测有很高的准确率。
使用式(3)中的权重系数的算法可以得到的参数是a =-2.4981e-04；b= 8.0010e+03； =0.5000;此时灰发展系数 2.4981e-04，虽然与0.3相比已经很小，但是如果长期预测，一样会造成较大误差。
应用改进的灰色模型预测民航管制员数量
ｓｏ ． ｌ ｅ ｓｏ ｉ ｌａ ｉ ｔ ｎ ｉｎ ｎ￣ ｒ ｆｃｖ ｖａｉ ． ｉ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｔｏ ｅ ｓ ｒｙ ｐ ｅ ｉｔ ｎ； Ｍａ ｋ ｖ ｅ ｍｎ ｉ ｒｖ ａ ｒｄ ｃｉｎ ｍ ｄ ｌ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ｎ ｒｌ ｒ ；ｇ ａ ｒｄ ｃｉ ｌ ｏ ｒ ｏ ｈ ； ｍｐ ｏ ｏ ｇ ｙ ｐ ｅ ｉｔ ｏ ｅ ｄ ｒ ｏ
Ｎｕ ｂ ｒ Ｐｒ ｄ ｃｉ ｎ ｍ ｅ ｅ ｉｔｏ
ＨＥ Ｘｉ ｎ， ＣＨＥＮ Ｙａ－ ｉｇ ｑｎ
（ ｉＴａ ｉ Ｍ ｎ ｇｍ ｎ Ｃ ｌｇ ，Ｃ ｉＡ ｉｉ ｇｔ ｎ ｅ ｉ Ｃ ｉ ，Ｇ ａｇａ ６８ ０ ， ｈ ａ Ａｒ ｒ ｃ ａ ａ ｅｔ ｏ ｅｅ ｉｌ ｖ ｔ ｎ ｈ Ｕ ｉ ｒｔ ｏ ｈ ａ ｕｎ ｎ １３７ Ｃ ｉ ） ｆ ｅ ｌ ｖ ａ ｏ Ｅｉ ｖ ｓｙ ｆ ｎ ｈ ｎ
基于灰色GM(1,1)模型的机场旅客吞吐量预测研究
基于灰色GM（1，1）模型的机场旅客吞吐量预测研究作者：刘晶晶来源：《西部论丛》2018年第07期摘要：我国民航业仍处在飞速发展阶段，机场旅客吞吐量持续增长。
文章以能够代表大型枢纽机场的广州白云机场为研究对象，以2008年至2017年的旅客吞吐量为基础数据，以灰色GM（1，1）预测模型进行预测并进行精度及误差分析，对广州白云机场未来年旅客吞吐量进行预测。
关键词：机场吞吐量预测灰色模型 GM（1，1）模型引言机场是航空运输的枢纽，是地面交通与空中交通转换的接口，是客货进入民航系统的通道，机场的规划、建设和发展对民航事业的发展具有重要的意义。
确定机场基础设施规模的主要依据是机场航空业务量规模，包括旅客吞吐量、货邮吞吐量及飞机起降架次等。
在机场规划建设前期的工作中，选址、立项、规划、设计等各阶段均以机场航空业务量预测指标作为确定机场主要设施规模、等级和项目投资的主要依据。
因此，航空业务量预测是机场规划建设前期工作的基础，预测的准确性对于机场规划的合理性和建设项目决策的科学性具有十分重要的作用。
[1]1.航空业务量预测应遵循的原则航空业务量预测是机场总体规划的基础，是确定机场各阶段建设规模和标准的依据。
在进行航空业务量预测过程中，需遵循以下原则：遵循民航机场发展规律；适应机场的定位和发展愿景；根据机场实际情况，具体问题具体分析；从机场自身和外界环境两个角度进行综合分析论证，做到客观公正。
2.灰色GM（1，1）预测模型结合广州白云机场2008年-2017年的旅客吞吐量，分别用计量经济法以及灰色预测模型中的GM（1，1）模型对广州白云机场旅客吞吐量进行预测并进行精度校核，然后分别对预测结果以及预测模型进行分析。
通过分析广州白云机场近年旅客吞吐量，可以将其短期波动看作是一个一定时空区域内变化的灰色过程；旅客吞吐量的原始序列，均大于零，且还存在等时空距性；虽然旅客吞吐量在短期内存在无规则的波动，但是这个波动序列其实是是一个潜在的有规律序列的表现。
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民航机场旅客吞吐量灰色预测的PGM(1,2)模型研究杜云郑顺文指导老师：杨丽安然（中国民用航空学院天津 300300）摘要：本文应用灰色GM(1,1)模型对民航机场旅客吞吐量进行了预测研究，得到了有价值的规律和结论。
同时，本文以灰色GM(1,2)模型为基础，提出了适用于灰色系统数列预测的PGM(1,2)模型，并将其应用于对民航机场旅客吞吐量进行预测研究，结果表明：PGM(1,2)预测模型曲线能反映民航机场旅客吞吐量的变化规律，预测精度很高。
为实现民航机场旅客吞吐量的短、中、长期的准确预测提供了科学的依据和方法。
关键词：灰色预测；PGM(1,2)模型；民航机场旅客吞吐量；1 引言随着我国经济的飞速发展，人民生活水平的显著提高，各行各业都显示出良好的发展势头，中国民航业也同样拥有着很大的发展机遇。
旅客运输是民航运输主要业务之一，对民航机场旅客吞吐量进行短、中、长期的准确预测的研究对民航建设有着重要的意义。
短期预测（指对未来1-2年的预测）可以指导民航机场近期运输业务的计划和运力安排，做好运输服务。
而中、长期预测（指对未来3-5年、5-15年的预测）则是机场规划、建设的依据，以决定机场分期建设的规模，控制机场的最终用地范围。
民航机场旅客吞吐量预测是一件复杂的工作，城市对航线格局下某机场业务量与该地区的社会、经济情况密切相关，地区经济发展的快慢、地区政策的变化都会直接影响航空业务量的变化。
目前航空运输预测的基本方法主要是定性预测法、平均预测法和回归分析法。
资料［１］显示这些方法对短期预测的结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）。
而对中、长期的预测则是非常困难的，只能通过对历史资料的分析、研究，参考、借鉴国外机场发展的过程做出预测，因此，准确度较差，有时甚至是失败的。
这将导致机场规划建设的决策失误。
例如：珠海机场、绵阳机场就是由于预测不准确造成所建航站楼规模过大，长期不能有效利用，从而造成资金的浪费。
灰色系统理论是邓聚龙教授于80年代初创建的。
灰色GM(1,1)模型进行数列预测曾被应用于许多领域，后来经过实际检验证明预测非常成功［２］、［３］。
但到目前为止，尚未见到将灰色预测理论应用于民航机场旅客吞吐量预测研究的报导。
本文对此进行了系统的研究。
本文首先应用灰色GM(1,1)模型对上海机场旅客吞吐量进行了预测研究，得到了有价值的规律和结论。
结果表明：1）灰色GM(1,1)模型短期预测结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）；2）中、长期预测值偏离实际值较大，灰色GM(1,1)模型不适用于对民航机场旅客吞吐量进行中、长期的预测。
为此，本文以灰色GM(1,1)模型和GM(1,2)模型为基础，提出了适用于灰色系统数列预测的PGM(1,2)模型，并将其应用于对上海机场旅客吞吐量进行预测研究，结果表明：PGM(1,2)预测模型曲线能反映民航机场旅客吞吐量的变化规律，考虑到民航运输发展的波浪性的特征，对预测值进行周期性修正，预测精度很高。
短、中、长期预测的相对误差均≤12%（预测修正值相对误差在1-12%范围内），为实现民航机场旅客吞吐量的短、中、长期的准确预测提供了切实可行的方法。
2灰色GM(1,1)模型的数列预测原理及其在民航机场旅客吞吐量预测的应用1).GM(1,1)模型的数列预测原理设某原始序列X)0(= (X)0((1), X)0((2), X)0((3),…, X)0((n))，对其进行一次累加生成，得到生成序列：X)1(=( X)1((1), X)1((2), X)1((3),…, X)1((n)),其中： X)1((k)=∑=ki i X1)0()( (k=1,2,3,…,n) ，则GM （1，1）模型的灰微分方程为：b k za k X =+)()()1()0( （1）其白化方程为一阶微分方程：b aX dtdX =+)1()1( （2） 式中a 为系统发展系数，b 为内生控制变量。
用最小二乘法拟合可得：n T T Y B B B b a a 1)(ˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=, 其中B=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-1)]()1([21......1)]3()2([211)]2()1([21)1()1()1()1()1()1(n X n X X X X X , ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)3()2()0()0()0(n X X X Yn 由微分方程（2）可得：ab e a b X t Xt a +-=--)1()0()1(])1([)(ˆ t= 1,2 ,… （3） 再进行累减还原，可得：)1()1(ˆ)1(ˆ)0()1()0(X X X== )1(ˆ)(ˆ)(ˆ)1()1()0(--=t X t X t Xt=2,3,… （4） 式（3）、（4）即为GM(1,1)模型进行灰色预测的基本计算公式。
残差是模型预测值与实际值之差。
当实际数列曲线在预测模型曲线两边上下摆动，呈现明显的周期性变化时，可以采用残差周期修正模型［４］来提高预测精度。
残差周期修正的方法是：用正弦曲线去拟合残差序列，即：Tt 2sin A )t (Eˆπ= （5） 式中T 为周期，A 为最大变幅，)t (Eˆ为t 时刻的残差修正值。
由式（5）可分别计算出各个时刻的残差修正值，然后分别叠加到同一时刻由PGM(1,2)模型得到的预测值上，即可得到预测修正值：)(ˆ)(ˆ)()0()0(t Et Xt X += =t 1，2，3，… 由于经过此修正方法得到的预测值有了波动性，使预测曲线更加逼近实际数列曲线，从而可达到提高预测精度的目的。
在用GM(1,1)模型进行预测时，还可以采用等维灰数递补动态预测方法［５］（也称GM(1,1)滚动模型）。
即：先用已知数列建立的GM(1，l)模型预测一个值，然后把这个预测值补加到已知数列中，同时去掉最早期的一个数据，保持数列等维。
接着再建立GM(1，l)模型，预测下一个数据，并把这个预测值补加到该模型的已知数列中，同时去掉该模型的已知数列中最早期的一个数据，保持数列等维。
……，直到完成预测目标为止。
2) 灰色GM(1,1)模型应用于民航机场旅客吞吐量预测的研究下面以上海机场为例进行预测研究。
表1是从1987年到2004年上海机场（包括埔东机场）旅客吞吐量。
在应用GM(1,1)模型对上海机场旅客吞吐量灰色预测的研究中，我们采用的方法是：（1）利用1989-1996年的数据分别建立不同维数子序列的GM(1,1)模型和GM(1,1)滚动模型进行预测；再利用1997-2002年的数据进行检验。
由此可寻找到最佳维数模型和规律。
（2）预测过程的全部计算均采用MA TLAB计算软件编程运算。
表2和表3是各不同维数子序列预测模型的预测结果。
表3 GM(1,1)滚动模型预测由表2、表3的预测结果可做出如下分析结论：（1）GM(1,1)模型及GM(1,1)滚动模型预测与民航机场旅客吞吐量的中、长期变化规律产生较大的偏离，不适合用做中、长期预测。
（2）对相同维数序列，GM(1,1)模型预测值较GM(1,1)滚动模型预测值增速稍快些。
（3）预测序列维数越大，中、长期预测值增加的越快。
（4）短序列GM(1,1)模型短期预测结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）； 表4是用短序列灰色GM(1,1)模型对上海机场2003-2004年旅客吞吐量进行的短期预测。
表5由于2003年的突发事件-------非典的影响，2003年的实际值是非正常值，应此，该数据既不能用于预测，也无法与预测值进行比较。
而2004年已经过去，该年度的运输数据尚在统计之中，上海机场网站新闻公布的估计数字是3600万人。
由此可以计算2004年的灰色GM(1,1)模型短期预测值的相对误差为3.7%（五维模型预测值）到4.5%（四维模型预测值）。
如果将2003年的数据加以修正，即用五维模型预测值（2919.63万人）代替实际值，显然是可以令人接受的。
这样可对上海机场2004－2005年旅客吞吐量进行短期预测，预测结果见表5。
计算可知2004年的预测值的相对误差为4.4%（五维模型预测值）到3.9%（四维模型预测值）。
2005年的预测值有待实践的检验。
3）.结论 （1）短序列GM(1,1) 模型对机场旅客吞吐量进行短期预测的相对误差在4-12%范围内； （2）中、长期预测值偏离实际值较大，灰色GM(1,1)模型不适用于对民航机场旅客吞吐量进行中、长期的预测。
3 PGM(1,2)模型的基本理论及其在民航机场旅客吞吐量预测的应用分析灰色GM(1,1) 模型不能用于对民航机场旅客吞吐量进行中、长期预测的原因，显然是由于该灰色系统地灰度太大，GM(1,1) 模型本身先天不足的缘故。
众所周知，中国的民运输业正处在朝阳期，中国民航运输业的发展是与经济的发展密切相关的，是随着经济的发展而发展的。
在系统的中、长期发展过程中起决定性作用的是未来经济的发展。
而GM(1,1) 模型是利用单一时间序列进行预测，是利用过去的一段吞吐量时间序列去预测。
显然，过去的一段吞吐量时间序列所能携带的未来较长时间内的经济发展信息是较少的，即预测系统的灰度太大，最终导致中、长期预测的失败。
若在预测模型中加入经济的发展信息，即增加预测系统的白信息量，则可减少预测系统的灰度。
显然，这就需要建立2个变量的灰色数列预测模型，我们称之为PGM(1,2)模型。
1）PGM(1,2)模型的建立及其数列预测原理设有2个 变量X 1，X 2组成原始序列： X 1)0(= (X 1)0((1), X 1)0((2), X 1)0((3),…, X 1)0((n))，及X 2)0(= (X 2)0((1), X 2)0((2), X 2)0((3),…, X)0((n))，其中X 1)0(为主序列，且X 1)0(与X 2)0(的关联度极高。
对原始序列进行一次累加生成，得到生成序列：X 1)1(=( X 1)1((1), X 1)1((2),X 1)1((3),…, X 1)1((n)),及X 2)1(=( X 2)1((1), X 2)1((2), X 2)1((3),…, X 2)1((n))，其中：∑==kt i ik X k X1)0()1()()( k=1,2,…,n i=1,2对比GM(1,2)模型的灰微分方程 ： )1(2)1(1)0(1)()(X b k z a k X =+ 及其白化方程：)1(2)1(1)1(1X b X a dtdX =+ 我们用ta e 2-代替上面两式中的X 2(1) ，建立PGM(1,2)模型的灰微分方程为：k a e b k z a k X 2)()()1(1)0(1-=+ （6）及PGM(1,2)模型的白化微分方程为：t a e b X a dtdX 2)1(1)1(1-=+ （7）式中a 为系统发展系数，ta eb 2-为内生控制变量。