概率论与数理统计03-第三章作业及答案

习题3-1

而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.

解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =⋅==

≠, 所以

X 1和X 2不独立.

2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为

(,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨

⎩

其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞

-∞

=⎰

⎰

, 得

24

2

422

2

2

04

2

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰

, 所以 1

8

k =

. (2) 3120

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--⎰⎰

⎰⎰

1

3

220

1

1(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5

{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

-∞

<==⎰⎰

⎰

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=

⎰

⎰

1.5

4

22

01

1(6)d 82y x x y =

--⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦⎰ 421633

()d 882y y =-⎰ 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}

P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =⎰⎰4420

1

d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰

44

220

1

1(6)d 82x

y x x y -=--⎡

⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 4

2211

[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----⎰ 42211

[2(4)(4)]d 82

y y y =-+-⎰ 4

2

3

211

(4)(4)86y y =----⎡

⎤⎢⎥⎣⎦23

=. 图3-8 第4题积分区域

3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2(,),1,01,

0,

f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.

试确定k , 并求2

{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解 由211

14

01(,)d d d (1)d 26

x

k k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞

-∞

====

-⎰⎰

⎰⎰⎰,解得6=k .

因而 211

240

1

{(,)}d 6d 3()d 4

x x

P X Y G x xy y x x x x ∈=

=-=

⎰

⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为

4.8(2),01,0,

(,)0,

.y x x y x f x y -=⎧⎨

⎩≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.

解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有

24.8(2)d ,01,

()(,)d 0,

2.4(2),01,0,

x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞

-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨

⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,

()(,)d 0,2.4(34),01,0,

y

Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞

-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨

⎩⎰⎰其它.其它.

5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,

1,U X U --=>-⎧⎨

⎩若≤若 1,

1,

1, 1.

U Y U -=>⎧⎨

⎩若≤若

试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.

解 (1) 见本章第三节三(4).

(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13

144

=-

=. 习题3-2

1. 设(X , Y )的分布律为

求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分

布律;