第38讲 不定方程

第十九讲 不定方程
我们把未知数的个数多于方程的个数、 且未知数受到某些限制 （整数、 正整数）的方程（组）称之为不定方程（组） 。 通常不定方程（组）问题有三种类型： （1）判断不定方程（组）是否有解； （2）求不定方程（组）的解； （3）计算不定方程（组）的解的个数。 本讲主要学习二元一次不定方程（组） 、基本二次型不定方程的解法 和处理不定方程问题的一些常用知识和方法。
注意到 242－4×14×21=24(24－49)＜0，可知右边的二次多项式不能 分解因式，故尝试配方。 解 原式变形为：2(x－3y+1)2+3(2x－y)2=20，
故 3(2x－y)2≢20， 即平方数(2x－y)2≢4， 当 (2x－y)2=0，1 时，(x－3y+1)2=10 或 2(x－3y+1)2=17， 均不可能，故(2x－y)2=4，从而 (x－3y+1)2=4， 由此得方程有唯一整数解： （1，0） 。 说明 配成平方和的形式可以构造不等式，估计未知数的范围。
方程。另外建议用链接的方法先求出正整数解，而后再求正整数解。
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链接 解 n 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+…+ anxn=c 时，可先顺次 求出(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3， …(d n-1, an)=dn。 若 dn 若 dn | c，则方程有解，作方程组 a1x1+ a2x2=d2t2， d2t2+ a3x3=d3t3， …… dn-2t n-2+ a n-1x n-1=d n-1t n-1， d n-1t n-1+ a nx n=c。 求出最后一个方程的一切解， 然后把 t n-1 的每一个值代入倒数第 二个方程，求出它的一切解，再把 t n-2 的每一个值代入倒数第三个方 程，求出它的一切解，…，这样做下去即可得到方程的一切解。 c，则方程无解；
把方程 2x2+5y2=11(xy－11)中含有未知数的项移到等号的左边，常数 移到等号右边，分解因式。 解 移项并对方程右边进行因式分解得：
(2x－y) (x－5y)=－112。于是有：
, 2 x y 11, 2 x y 1, 2 x y 121 或 或 或 , x 5 y 11, x 5 y 121 x 5 y 1, , 2 x y 11, 2 x y 121 2 x y 1, 或 或 , x 5 y 11, x 5 y 1. x 5 y 121
B 类例题
例 6．方程 x2+y=x2y－1000 的正整数解为 分析 。 三次的不定方程，但也可以分解因式求解。另外注意到其中 y
是一次的，可以用 x 的分式表示 y。 解 1 原方程即 即 x2y－x2－y－1000=0， 。
(x2－1)(y－1)=1001，所以 (x－1)(x+1)(y－1)=7×11×13，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其整数解(x1，x2，…，xn)满足 F(x1，x2,…,xn)=0(modm)。利用这一必要条 件，可以探究不定方程整数解的存在性。 本题也可以考虑运用 Guass 定理： 一个正整数 n 可表示为两个数平方之和的充要条件是 n 的 4k+3 型素 因子（如果有的话）出现的幂次一定是偶数； 引理：设 p 是 4k+3 型的素数，则 x2+1≡0(modp)没有整数解。 例 8．求方程 x2+y2=z2 中 0<z<10 的所有互质的正整数解。 分析 勾股方程的正整数解是勾股数。
13x+13y=52,即 x+y=4. 观察得方程 x+y=4 的一个特解是 x0=0,y0=4.
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故其通解为：
x t, (t 是整数) y 4 t.
代入 5x+7y+2z=24 得 z=-2+t,
x t, 故原方程的通解为 y 4 t , (t 是整数)。 z 2 t
例 3．解不定方程组 分析
5 x 7 y 2 z 24, 3x y 4 z 4.
两个方程可以消去未知数 z，得到关于 x，y 的方程，解二元一
次不定方程，把解代入方程组中的一个，求出 z 的解即可。 解 由
5 x 7 y 2 z 24, 消去 z 得： 3x y 4 z 4.
x x0 bt, x x0 bt, ( t∈Z)。 或 y y 0 at, y y 0 at.
其中(x0，y0)是方程 ax+by=c 的一个特解，t 是任意整数。 (4) n 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+…+ anxn=c(a1,a2,…,an,c∈Z) 有解的充分必要条件是 (a1,a2,…,an) | c。
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例 2．求不定方程 2x+3y+5z=15 的正整数解。 分析 比例 1 的方程多一个未知数，可以判断方程有整数解，若求方
程的整数解，可以考虑令 w=2x+3y，先求不定方程 w+5z=15 的整数解，再 把 w 的每一个值代入 2x+3y = w 求解方程。一般情况可以参考链接。但这 里求的是方程的正整数解，x，y，z 的可取值范围较小，如 z 只能取 1、2 两个值，可先考虑范围后讨论求解。 解 因为(2,3,5)=1，所以方程有整数解。
分别求解，其中的正整数解只有一组(x，y) =(14，27)。
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链接
二次或高次不定方程的常见解法
1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分 解，然后对比两边，转为求解若干个方程组； 2．不等式估计法：构造不等式关系，确定不定方程中某些未知数 的范围，再分别处理； 3．无限递降法：若关于正整数 n 的命题 P(n)对某些正整数成立， 设 n0 是使 P(n)成立的最小正整数，可以推出：存在 n1∈N*，使得 n1 ＜n0 并且 P(n1)成立，适合证明不定方程无正整数解。 例 5．求不定方程 14x2－24 xy+21y2+4x－12y－18=0 的整数解。 分析 怎样对右边的多项式分解因式？
其中 a，b 可以取 0，1，4，9，16，6，17，11，7，5。 ∴ 当 a≠0 或 b≠0 时，x2+y2≡0(mod19)不成立， ∴ 设 a = b = 0，∴ x≡0(mod19)，y≡0(mod19)，
x= 19m，y= 19n，m，n∈Z，
则方程变为 19m2+19n2=192mn+1（*） ，等式的左边是 19 的倍数，右 边被 19 除余 1，方程（*）无整数解，则原方程也无整数解。 说明 如果不定方程 F(x1， x2， …,xn)=0 有整数解， 则对任意 m∈N*，
令 u=x+2z,得 2u+3y+z=15, 故 z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中 u,y 是任意整数，且 x>0,z>0, 即 5u+6y-30>0,………① 15-2u-3y>0,………② 由上述两式消去 u 得：-3y+15>0, 从而 0<y<5,即 y=1,2,3,4. 24 当 y=1 时，由①，②解得 ＜u＜6， 5 故 u=5,从而由 2u+3y+z=15，z=2，故 x=1。即有解 x=1，y=1，z=2。 当 y=2 时，同理得 u=4，x=2，z=1。即有解 x=2，y=2，z=1。 当 y=3 或 4 时，满足①，②的整数 u 不存在。 于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。 说明 请读者先讨论 z 的取值范围，分别在 z 取 1 或 2 时解二元不定
例 7．证明方程 x2+y2－19xy－19=0 无整数解。
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分析
方程可以变形为 x2+y2=19xy+19，左边是两个整数的平方和，
右边是 19 的倍数。 证明 方程变形为 x2+y2=19xy+19，
∵ x2+y2=19xy+19≡0(mod19)， 而 x2≡a(mod19)，y2≡b(mod19)，
∵15=11×1+4，11=4×2+3，4=3×1+1。 ∴ 11×(-4)+15×3=1,即 11×(-28)+15×21=7,
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故方程的解为：
x 28 15t , （t 为任意整数） 。 y 21 11t.
说明 求不定方程 ax+by=c 的整数解，先看(a，b) | c 是否成立，不 成立则方程无整数解，成立则可以先求方程的一组特解，然后写出方程的 通解。 链接 对于二元一次不定方程 ax+by=c, a，b，c∈Z，ab≠0
说明 对于 m 个 n 元一次不定方程组(m<n)成的方程组， 可以消去 m
－1 个未知数，从而也消去了 m－1 个不定方程式，将方程组转化为一个 n －m+1 元的一次不定方程。 例 4．求满足方程 2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 分析 二次不定方程，常考虑分解因式或配方。
要使正整数 x，y 满足方程，只能取 x=12，使 x－1=11，x+1=13。 故原不定方程的正整数解为 x=12，y=8，即（12，8） 。 7×11×13 x2+1000 1001 解 2 原方程变形为：y= 2 =1+ 2 =1+ 。 x －1 x －1 (x－1)(x+1) 因为 x，y 是正整数，所以(x－1)与(x+1)都是 1001 的约数，只能取 x －1=11，x+1=13 即 x=12。 故原不定方程的正整数解为 x=12，y=8，即（12，8） 。 说明 处理不定方程时要根据具体的情况分析，灵活运用方法。