高二数学新教材选择性必修第一册3.2.1 双曲线(第一课时)(精练)(原卷版)
人教A版高中数学选择性必修第一册第3章 3.2.1 双曲线及其标准方程课时练习题
§3.2 双曲线3．2.1双曲线及其标准方程1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是() A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案D解析由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫62，0C.⎝⎛⎭⎫52，0D ．(3，0) 答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于() A.32B ．5C ．7D.12答案D 解析根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12. 4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为()A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7答案A解析连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|， ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3. 5．(多选)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是()A ．2B ．－1C.4D ．－3答案AB解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0， ∴－52<m <72，且m ≠12，∴AB 满足条件． 6．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 答案(2，＋∞)解析由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.7．以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程为______________．答案y 25－x 24＝1 解析由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1. 8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P的值等于________． 答案45解析由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45. 9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解已知双曲线x 216－y 29＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0， 不合题意，舍去，∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 10．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1—→·MF 2—→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.11．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案A解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．12．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.13．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为________.答案32解析因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 14．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则|PQ |＝________，△PF 1Q 的周长为________．答案2331633解析∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴F 2(2,0)．又点P 的横坐标为2，∴PQ ⊥x 轴．由223－y 2＝1，得y ＝±33，故|PF 2|＝33. ∴|PQ |＝233. 又P ，Q 在双曲线的右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝23，|QF 1|－|QF 2|＝2 3.∴|PF 1|＝|QF 1|＝2a ＋|PQ |2＝733， ∴△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝1633.15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C ′：x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．答案2k (a －m )解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，|BF 2|＝2m ＋|BF 1|，|BF 1|＋|BA |＋|AF 1|＝|BF 2|－2m ＋|BA |＋|AF 1|＝|AF 2|＋|AF 1|－2m ＝2a －2m ，所以光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k (a －m )．16．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ， 即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的两个交点)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．。
3.2.1双曲线及其标准方程 高二数学同步精品课件(新人教A版2019选择性必修第一册)
A.\37+4
B.137—4
C.\37—25
D.37+25
解 析 ：(1)因为API+|AF₂I=|API+|AF₁I-2 √5, 所以要求|AP|+ AF₂ l的最小值，只需求|AP|+|AF₁ I的最小值.如图，连接 F₁P 交双 曲线的右支于点Ao.当点A 位于点A₀ 处时， |AP|+|AF₁ | 最小，最小 值为IPF₁I= √ [3-(-3)²]+1²= √37. 故API+AF₂l 的最小值为 √37—
坐标代入，得b²=9. 故所求双曲线的标准方程
题型一求双曲线的标准方程 例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(2)与双曲线
有相同的焦点，且经过点(32,2);
解析：(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为 ∴c²=16+4=20, 即 a²+b²=20.① ∵双曲线经过点(32,2),
曲线(除F₁,F₂ 两点外),方程
当
当 k=—1 时，轨迹为圆(除 F₁,F₂ 两点外),方程为x²+y²= a²(x≠±a).
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“ √ ”,错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离) 的点的轨迹是双曲线. ( × ) (2)双曲线标准方程中的两个参数a 和b 确定了双曲线的形状和 大小，是双曲线的定形条件. ( √ ) (3)双曲线的焦点 F₁,F₂ 的位置是双曲线的定位条件，它决定 了双曲线标准方程的类型. ( √ ) (4)点P 到两定点F₁(一2,0),F₂(2,0) 的距离之差为6,则点P 的 轨迹为双曲线的一支. ( × )
C=2sin
人教版高中数学选择性必修第一册3.2.2第一课时双曲线的简单几何性质
c，求双曲线的离心率 e 的取值范围．
分析：
写出直线l 的方程
―→
写出点1，0到 直线l的距离
―→
写出点－1，0到 直线l的距离
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
人A数学选择性必修1
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
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2．双曲线x42－y32＝1 的离心率为( C )
73 A. 3
3 B. 2
7
27
C. 2 D. 7
解析：a＝2，b＝ 3，c2＝a2＋b2＝7，
离心率 e＝ac＝ 27.
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3．双曲线y2－4x2＝4的焦点坐标为___(0_，___5_)_和__(_0_，__－___5_)______．
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___． 解析：法一：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y＝±bax，依题意得ba
人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1第一课时双曲线及其标准方程
A．m>0，n<0
B．m<0，n>0
C．m＜n<0
D．m>n>0
解析：xm2＋yn2＝1 表示双曲线，则 mn<0，又焦点在 x 轴上，故 m>0， n<0.
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3．已知双曲线的焦点在x轴上，a＝4，b＝3，则其标准方程为 __1x_62_－__y9_2＝__1___． 解析：双曲线焦点在 x 轴上，其标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
(3)设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
又过 P3，145，Q－136，5，
则9m＋21265n＝1， 2956m＋25n＝1，
解得m＝－116， n＝91，
所以双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
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(4)方程xm2＋m＋y2 1＝1 表示双曲线，有 m(m＋1)<0，解得－1<m<0， 所以 m 的取值范围为(－1,0)．
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(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可 得标准方程．
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2.(1)已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5,0)，F2(5,0)， 双曲线上一点 P 与 F1，F2 的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准 方程； (2)以椭圆x82＋y52＝1 长轴的端点为焦点，且经过点(3， 10)的双曲线的 标准方程；
3.2.1+双曲线及其标准方程第1课时+课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(1)焦点在x轴上,a=2 5,经过点A(-5,2);
(2)经过两点A(-7,-6 2),B(2 7,3).
2
2
解 (1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0),
图形
a，b，c的关系
c2＝_______
a2＋b2
典例精析
题型一：双曲线的标准方程
例1
2
2
(1)已知方程 －
＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是
−5
−2
A．k>5
B．k>5或－2<k<2
C．k>2或k<－2
D．－2<k<2
解 ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
定义和标准方程.
新知探索
双曲线的定义
在直线l上取两个定点A，B，
P是直线l上的动点.
在平面内，取定点F1，F2，
以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，
再以F2 为圆心、线段PB为半径作圆.
当点P在线段AB上运动时，
如果|F1F2|<AB，那么两圆相交，
其交点M的轨迹是椭圆；
如果|F1F2|>AB，两圆不相交，
此时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分为两支，
称为双曲线.
新知探索
双曲线的定义
文字语言
符号语言
差的绝对值
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零
常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
F1，F2
定点__________
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.2.1 双曲线及其标准方程(精讲)考点一 双曲线的定义及运用【例1】2．(2021·全国高二课时练习)动点P 到点(1,0)M 及点(5,0)N 的距离之差为2a ，则当1a =和2a =时，点P 的轨迹分别是( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线(2)(2021·全国高二课时练习)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为( ) A ．9B ．5C ．8D ．4(3)(2021·全国)设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F P 是双曲线C 上一点，且1260F PF ∠=︒.若12F PF △的面积为a =( )A ．1B ．2C ．4D (4)．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，()0,2M ，则PFM △的周长的最小值为( )A ．2+B ．4+C ．D ．3【答案】(1)C(2)A(3)D(4)A【解析】(1)由题意，知4MN =，当1a =时，||||224PM PN a -==<，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当2a =时，||||24||PM PN a MN -===， 点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．故选：C.(2)设右焦点为F '，则(4,0)F '，依题意，有||4PF PF '=+，||||||44549PF PA PF PA AF ''∴+=++≥+=+=，(当P 在线段AF '上时，取等号)．故||||PF PA +的最小值为9. 故选：A.(3)设2PF m =，1PF n =.由1260F PF ∠=︒，12F PF △的面积为可得222242cos601sin 602n m a c m n mn mn ⎧⎪-=⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，∴()2224416c n m mn a =-+=+①ca=a =故选：D.(4)设双曲线C 的左焦点为1F ，则12PF PF a -=．由题可知1a =，2c =， ∴12PF PF =+，()12,0F -，()2,0F ，∴MF =PFM △的周长为12MF MP PF MP PF ++=++． ∵当M ，P ，1F 三点共线时，1MP PF +最小，最小值为1MF = ∴PFM △的周长的最小值为2+ 故选：A 【一隅三反】1．(2021·河北定兴第三中学)已知双曲线221916x y -=的左右焦点1F ，2F ，P 是双曲线上一点，17PF =，则2PF =( ) A ．1或13 B ．1C ．13D ．9【答案】C【解析】根据双曲线定义可得1226PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =或213PF =， 又22225c a b =+=，解得5c =，即12210F F c ==， 又121210PF PF F F +≥=， 所以213PF =. 故选：C2．(2021·鹤山市第二中学)P 是双曲线x 2－y 2＝16左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝( ) A ．4 B ．-4C ．8D ．－8【答案】D【解析】因为双曲线方程为x 2－y 2＝16，化为标准方程得2211616x y -=，即4a =，所以2128PF F a P -==，而点P 在双曲线左支上，于是12PF PF <， 所以218PF PF -=-． 故选：D ．3(2021·全国)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选：B考点二 求曲线的轨迹方程【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)已知动点(),P x y 2，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支(2)(2021·全国高二课时练习)已知1F ，2F 为平面内两个定点，P 为动点，若12-=PF PF a (a 为大于零的常数)，则动点P 的轨迹为( ) A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】(1)D(2)D【解析】2=表示：动点(),P x y 到两定点()12,0F -，()22,0F 的距离之差等于2， 而1224F F <=，由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线的右支． 故选：D (2)两个定点的距离为12F F ，当12a F F <，即1212PF PF F F -<时，点P 的轨迹为双曲线的一支； 当12a F F =，即1212PF PF F F -=时，点P 的轨迹为射线； 不存在1212PF PF F F ->的情况．综上所述，动点P 的轨迹为双曲线的一支或射线． 故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·浙江丽水·高二期中)已知点Q 是圆22:16O x y +=(O 为坐标原点)上一动点，点)(5,0P ，若线段PQ 的垂直平分线交直线OQ 于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】依题意，||4,||5OQ OP ==，因线段PQ 的垂直平分线交直线OQ 于点M ，于是得||||MP MQ =， 当点M 在线段QO 的延长线上时，||||||||||4MP MO MQ MO QO -=-==，如图，当点M 在线段OQ 的延长线上时，||||||||||4MO MP MO MQ QO -=-==，如图，从而得||||||45||MP MO OP -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线. 故选：D2．(2021·全国高二课时练习)已知圆1C ：()2231x y ++=和圆2C ：()2239x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为______．【答案】()22118y x x -=≤-【解析】如图所示，设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的条件，得11MC AC MA -=，22MC BC MB -=． 因为MA MB =，所以1122MC AC MC BC -=-， 即21212MC MC BC AC -=-=，所以点M 到两定点2C ，1C 的距离的差是常数且小于126C C =．根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支，其中1a =，3c =，则28b =．故点M 的轨迹方程为()22118y x x -=≤-．故答案为：()22118y x x -=≤-.考点三 双曲线的标准方程【例3】(1)．(2021·全国高二课时练习)等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则其标准方程为( )A ．22199x y -=B ．22199y x -=C ．2211818y x -=D ．2211818x y -=(2)(2021·全国高二课时练习)已知双曲线过点1⎛- ⎝⎭P和2⎫⎪⎪⎝⎭P ，则双曲线的标准方程为( ) A ．221916x y -= B ．221916y x -=C ．221169x y -=D ．221169y x -=(3)(2021·全国高二课时练习)中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F -，∴6c =，且a=b ，又222c a b =+，∴2236a =，即218a =，∴双曲线的标准方程为2211818x y -=．故选：D(2)因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为()2210mx ny mn +=<．因为1⎛- ⎝⎭P，2⎫⎪⎪⎝⎭P 两点在双曲线上， 所以454141121619m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11619m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是所求双曲线的标准方程为221916y x -=.故选：B ．(3)设等轴双曲线的方程为2222x y a b-，且22a b =，令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选：A. 【一隅三反】1．(2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末(文))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到顶点的距离为1，且双曲线的一条渐近线与直线430x y +=垂直，则双曲线C 的方程为( )A ．22132x y -=B ．221169x y -=C ．22198x y -=D ．22123x y -= 【答案】B【解析】由题意得222134c a b a a b c-=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选：B ．2．(2021·全国)已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝( ) A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝9 C ．x 2－y 2＝16 D ．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝a ＝3，故选B.3．(2021·全国高二课前预习)已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )A ．2212525x y -=B ．22199x y -=C ．2211616y x -=D ．2211616x y -=【答案】D【解析】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x 2-y 2=16，即-=1.4．(2021·全国高二专题练习)已知双曲线22x a －22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为线的标准方程为( )A．24x－216y＝1 B．x2－24y＝1C．22x－23y＝1 D．x2－26y＝1【答案】A【解析】因为双曲线22xa－22yb＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，cac＝b4，则双曲线的标准方程为24x－216y ＝1.故选：A5．(2021·云南丽江第一高级中学高二月考(理))与椭圆C：2211612y x+=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为( )A．2212yx-=B．2221y x-=C．22122y x-=D．2212yx-=【答案】C【解析】因为椭圆C：2211612y x+=的焦点为()()0,2,0,2-；所以设双曲线的标准方程为()222210,0y xa ba b-=>>，则有22224311a ba b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得222a b==，所以方程为22122y x-=.故选：C.6．(2021·云南昆明·高二期末(理))双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分C的方程为( )A．221123yx-=B．22143x y-=C．221312x y-=D．221412x y-=【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点,()0F c±到渐近线0bx ay±=b==顶点(,0)A a±到渐近线0bx ay±=bac==由222b bac c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得224,12a b == 所以双曲线的方程为221412x y -=．故选：D。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《3 双曲线及其标准方程》同步练习(含解析)
人教A 版（2019）选择性必修第一册《3.2.1 双曲线及其标准方程》同步练习一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）若方程x 2m+1+y 22−m =1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (−1,12)∪(12,2)2.（5分）焦点坐标为(−4,0)，(4,0)且实轴长为4的双曲线的标准方程为( )A.x 26−y 212=1 B.x 26−y 214=1C. x 24−y 212=1D. x 24−y 216=13.（5分）若方程x 2k−2+y 25−k =1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A. 2<k <5B. k >5 ；C. k <2或k >5；D. 以上答案均不对4.（5分）若方程x 29−k+y 2k−1=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A. k <1或k >9B. k >9C. 1<k <9且k ≠5D. 5<k <9 5.（5分）若方程表示双曲线，则的取值范围是 ( )A. B.C.D.6.（5分）方程x 2k−2−y 2k+3=1(k ∈R )表示双曲线的充要条件是( )A. k >2或k <−3B. k <−3C. k >2D. −3<k <27.（5分） 若椭圆x 225+y 216=1和双曲线x 24−y 25=1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|⋅|PF 2|的值为( )A. 212B. 84C. 3D. 218.（5分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线9.（5分）双曲线x 24−y 212=1的焦距为( )A. 4B. 8C. 2√2D. 2√310.（5分）已知F1、F2是双曲线C1：与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是()A. B.C. D.（5分）11.已知双曲线的一个焦点F1(5,0)，且过点(3,0)，则该双曲线的标准方程为()A. x29−y216=1 B. y216−x29=1C. x29−y225=1 D. y225−x29=112.（5分）与椭圆x2132+y2122=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线方程为()A. x242−y232=1 B. x2132−y252=1C. x232−y242=1 D. x2132−y2122=113.（5分）若双曲线E:x225−y2144=1的左､右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=16，则|PF2|等于()A. 26或6B. 26C. 6D. 28二、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a＞0,6＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为_______.15.（5分）设中心在原点的双曲线与椭圆x22+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________.16.（5分）若经过点(4,√3)的双曲线的渐近线方程为y=12x，则双曲线的标准方程为______ ．17.（5分）在相距1000m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s，已知声速340ms.以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为______．18.（5分）与椭圆x249+y224=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线的方程______．三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)与双曲线x2−4y2=4有共同的渐近线，且经过点(2,2)；(2)经过点P(−3,2√7)和Q(−6√2,−7).20.（12分）(1)求一个焦点为F(2,0)，且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知双曲线的焦点在x轴，渐近线方程为y=±12x，且过点(3,12)，求双曲线的标准方程．21.（12分）(1)求经过两点(32,52)，(√3,√5)的椭圆的标准方程；(2)与双曲线x2−y24=1有相同的渐近线且经过点(1,√3)的双曲线方程.22.（12分）求符合下列条件的曲线的标准方程：(1)求焦点在x轴，且过点(3,0)，离心率e=√63的椭圆的标准方程。
3.2.1双曲线及其标准方程第一课时课件+高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
问题引入
平面内与两个定点1，2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什
么？
如果 < 1 2 < + ||
当 在线段 外运动时
如两圆相交，交点为 ，′ ．
| 1 | = | | ，| 2 | = | |，
22 −
− |
11 | ==| |
3.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习回顾
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲
线（hyperbola）．
双曲线的标准方程：
焦点点在y轴上： 2
−
−
2
2
2
2
其中 2 = 2 + 2 .
（2） 2
2
−
3
=1
2
（3）
20
2
−
16
=1
课堂小结
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
图象
F1
o
x
x
F2
F1
2
2
方程
x
y
2 1
2
a
b
y2 x2
2 1
2
a
b
焦点
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
a.b.c 的关系
c a b
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2(c，0)的
双曲线.
2 = 2 + 2 .
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.2.1 双曲线及其标准方程
|2 | = 36 ，
∴ |1 |2 + |2 |2 = 36 + 2|1 | ⋅ |2 | = 36 + 2 × 32 = 100 .
在 △ 1 2 中，由余弦定理得
cos∠1 2 =
=
100−100
2|1 |⋅|2 |
∴ △1 2 =
|1 |2 +|2 |2 −|1 2 |2
____________________.
m＜2或 m＞3}
2 − ＜0,
2 − ＞0,
[解析] 依题意有 ቊ
或ቊ
∣ ∣ −3＞0,
∣ ∣ −3＜0
解得 −3＜＜2 或 ＞3 ，所以 的取值范围是 {m|-3＜m＜2或 m＞3} .
探究点三 双曲线的定义及应用
例
2
如图，若 1 , 2 是双曲线
2
7 .因为双曲线的焦点在 轴上，所以所求双曲线的标准方程为
9
32
=
2
7
= 1.
−
（2） 焦点为(0,-6)， (0,6) ，经过点 (−5,6) ；
[答案] 由已知得 = 6 ，且焦点在 轴上.
因为点 (−5,6) 在双曲线上，
所以 2 = | (−5 − 0)2 + (6 + 6)2 − (−5 − 0)2 + (6 − 6)2 | = |13 − 5| = 8 ，
2|1 |⋅|2 |
= 0 ， ∴ ∠1 2 = 90∘ ，
1
|1 |
2
1
2
⋅ |2 | = × 32 = 16 .
解题感悟
双曲线定义的应用：（1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，根据
高中数学人教A版选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程 课时分层练习题含答案解析
3.2.1双曲线及其标准方程基础练习一、单选题1．在一个平面上，设1F 、2F 是两个定点，P 是一个动点，且满足P 到1F 的距离与P 到2F 的距离差为12F F ，即1212PF PF F F -=，则动点P 的轨迹是（ ）． A ．一条线段 B ．一条射线C ．一个椭圆D ．双曲线的一支2．已知双曲线的两个焦点分别为(10,5F -，20,5F ，双曲线上一点P 与1，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221916y x -=D ．221169y x -=3．设1F ，2F 是双曲线1412x y -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1235PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．C ．D ．304．P 是双曲线2:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1||||PF PQ +的最小值为A ．1B ．25+C ．45+D ．15．若方程122x y m m -=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m -<<B ．2m >-C ．0m ≥D ．2m ≥．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且、两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．221972x y -=B ．221972y x -=C ．2211681x y -=D ．2218116y x -=【答案】B【分析】利用圆的方程解出,A B 两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可. 【详解】将0x =代入22490x y x +--=解得,A B 点坐标分别为(0,3),(0,3)-， 因为,A B 两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，．若动圆与圆和圆8120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为（）A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线A ．2217525y x -=B ．2212575y x -=C ．2212575x y -=D ．2217525x y -=9．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 为双曲线，则3t >或1t <C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【答案】BC【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可【详解】若C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，13t ∴<<且2t ≠ ，故A 错误若C 为双曲线，则(3)(1)0t t --< ，31t t ∴><或 ，故B 正确 若C 为圆，则31t t -=- ，2t ∴= ，故C 正确若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则301013t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，23t ∴<< ，故D 错误10．对任意的θ，方程()223cos 1x y θ+=所表示的曲线可能为（ ）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆11．已知椭圆1259x y +=的右焦点是双曲线219x y a -=的右顶点，点P 是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．16a =B ．双曲线的渐近线方程为34y x =?C ．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点D ．若椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，则直线1PF ，2PF 的斜率之积为定值 【答案】BCD12．若P 是双曲线2221x y -=上一点，则P 到两个焦点的距离之差为______.是___________.14．如果双曲线16436y x -=上的一点P 到焦点1F 的距离等于16，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是______．15．双曲线219x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若122PF PF =，则2PF =______．双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为__________．17．设P 是双曲线1916x y -=上一点，M ，N 分别是两圆：()2254x y -+=和()2251x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为_____．18．若方程141y x m -=-表示双曲线，则实数m 的取值范围是___________.【答案】1m >【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可. 【详解】由题意知：10m ->，解得1m >.19．若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线()222:10xC y a a -=>上，则=a ___________.20．设双曲线1916x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，若1232PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=______． ，进而可求出12PF PF ⋅.22632PFPF == ，则120PF PF ⋅=．21．已知曲线C ：()22212x y m m m+=∈+R ，则下列命题中正确的是______.①若0m <，则曲线C 表示双曲线；②曲线C 可能表示一个圆；③若曲线C 是椭圆，则其长轴长为【答案】①【分析】根据双曲线，圆以及椭圆方程的特征即可逐一求解.【详解】由题意，若0m <，而220m +>,根据双曲线的定义可知曲线C 表示双曲线，故①正。
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3.2.1 双曲线
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．射线
C ．线段
D ．双曲线的一支或射线
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143
y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离
之差为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13)
C ．x ＝0(|y|≥13)
D ．以上都不对
4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
5．（2020·渝中）若双曲线22
:1916
x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，
则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9
C ．6
D ．5
6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值
为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线22
1259
x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M
到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28
C ．12
D ．8或28
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
A ．(–1,3)
B ．
C ．(0,3)
D ．)
3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22
153
x y m m -=-+表示双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22
111x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A ．11k -<<
B ．0k >
C ．0k ≥
D ．1k >或1k <-
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是
（ ） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3
6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()22
2126x y k k k
-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）
A ．当8k
时，曲线C 为椭圆，其焦距为
415+
B ．当2k =时，曲线
C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线
D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2
249x y -+=相切
7.（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25
−
y 24
=1的两个焦点，
P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________．
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线2214
x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足
∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的
标准方程为（ ）
A ．22
124x y -=
B ．22
148
x y -=
C ．2
2
18
y x -=
D ．22
128
x y -=
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线C ：22
221x y a b -=的左焦点F 的直线，恰好与圆
222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（ ）
A ．2
213
y x -=
B ．2
213x y -=
C ．2
214
y x -=
D ．2
214
x y -=
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交
于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．2
213
x y -=
B ．2
213
y x -=
C ．22
1124x y -=
D ．22
1412
x y -=
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．2214x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．2
2
14
y x -=
D ．2
2
14
x y -=
5．（2020·湖南）已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为（）
A ．22142
-=x y
B ．22
1714x y -=
C ．22
124x y -=
D ．22
1147
y x -=
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22
142
-=y x ，则其渐近线方程为( )
A ．y =
B ．2
y x =±
C ．12
y x =±
D ．2y x =±
2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（ ）
A ．y =
B ．2y x =±
C ．2
y x =±
D ．12
y x =±
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．1
2
y x =±
B ．2y x =±
C ．4y x =±
D ．y x =±
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若点P 为
双曲线左支上的一点，且直线1PA 、2PA 的斜率分别为1-，1
3
-，则双曲线的渐近线方程为______________.
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线22
143
y x -=,则焦点到渐近线的距离
为 。
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为
_________。