高二数学双曲线课件
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| x | a, y R
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
F1（0,பைடு நூலகம் )，F2（ o, c)
a 2 b 2 c 2一个Rt
| y | a, x R
性 质
焦距
范围
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
r2 PF2 ey a
r1 PF1 (ex a ) r2 PF2 (ex a )
P在左支上，
r1 PF1 (ey a ) r2 PF2 (ey a )
PF min c a
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
第二定义：平面内与一个定点和一条定直线
的距离的比是常数 (e 1) 的动点的轨迹。 即点集
PF1 PF2 e 1 P | e 1 P | d1 d2
一个比产生整条双曲线。
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 图 形
焦点 F1(- c,0) ，F2( c,0) | F1F2|=2c
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图
形
顶点 （-a，0） （a，0）
a2 x c
（0，-a）（0，a）
性 质
轴 准线
实轴长2a，虚轴长2b
a2 y c x y b x y a 0 y x 0 y x a b a b a b 2 2 x y y2 x2 共渐近线的 2 k k (k 0) 2 2 2 双曲线系方程 a a b b
一、基本知识概要：
1、双曲线的定义： 第一定义：平面内与两个定点 F , F 距离的差
1 2
的绝对值等于 2a(2a | F1F2 |) 的点的轨迹，即点 集 P | PF1 PF2 2a
① 2a F1F2 时为两射线；
② 2a F1F2 时无轨迹。
③无外面的绝对值则为双曲线一支)
2 y 2 x 1 3
2
y
B1 F1 P Q F2 x
； http://proclouds.cn/ 上海网站建设
vid72wlw
这家伙的爪子。接着出来了另一个爪子，两爪子一使力就见一个黑色的小毛球从蛋壳被破开的小缝隙里挤出来，就那么漂浮在空中，屁股对着 夜北冥，抱着比它大一倍的蛋壳咔嚓咔嚓的吃了起来，夜北冥就站在那里静静的看着小家伙进食完毕。等小家伙吃完，这才转身看着夜北冥， 一人一未知生物就这么大眼对小眼看了半响，夜北冥也才看清这小家伙的真实样子，整个身体就跟婴儿的拳头差不多大，全身的毛发非常的黑， 因为刚从蛋里出来的原因所以有些毛发还是湿的，粘在身体上，头的部位就一双睁的贼大的黑水晶似的眼睛，鼻子和嘴巴在哪里就看不出来， 现在它把四个爪子收进腹下，浑身圆圆的，配上它那双占了身体三分之一的大眼睛，给夜北冥的感觉就是说不出的可爱。看着小东西就那么直 直的盯着她看，一动也不动，夜北冥试探的问道：“你是谁？”这小东西立刻就冲进夜北冥的怀里，蠕动了一下，然后才抬头继续用那双萌萌 哒的大眼睛盯着夜北冥。夜北冥没听到它说话，就继续说道：“既然你已经跟我签订了本命契约，那我就给你起个名字吧！”小家伙立刻在夜 北冥的怀里欢快的跳了几下，嘴里啾啾啾地喊着，特别的清脆，让人一听就感觉神清气爽。确定怀里的小家伙能听懂自己说话，于是夜北冥用 手摸着小家伙头上黑色的毛，稍微想了一下就说：“你是我的第一个兽宠，而且你的毛又这么黑，眼睛又这么大，我就叫你小黑怎么样？”小 家伙听完，立马啾啾啾的叫着，然后又漂浮起来，向着最深处飘去，飘了一会见夜北冥没有跟上来，就朝着夜北冥啾啾啾的喊着，让夜北冥跟 上来，然后继续向前飘，夜北冥看着周围还没有采摘完的药材，想着等会再来采吧，于是就提起玄力向着小家伙飘去的方向飞快追去。看着小 家伙在又一处山洞门前停下，夜北冥也加快玄力到了小家伙跟前，小家伙看夜北冥来了，就又飘到夜北冥怀里让夜北冥用手托着，然后向着夜 北冥啾啾啾的叫着叫完就转身对着山洞门前上方的两个大字，上面写着——焱洞。夜北冥看着那两个字，低头对怀里的正用大眼睛盯着她的小 家伙,笑着说道：“你的意思是你觉得小黑不好听，这个焱好听是吗?”小家伙立马啾啾啾的喊道，大眼睛里写满了渴望，“那就叫你焱，你看 如何？”果然，小家伙对这个名字很满意，从夜北冥的怀里飞起来绕着夜北冥转了好几圈，嘴里一直啾啾啾的叫着，看样子很开心。就这样， 夜北冥得到了她的第一个兽宠，也是她的本命幻兽——焱。回到家的时候，让夜家家主，也就是夜北冥的母上夜弑天帮忙看了一下，查阅了祖 上留下来的上古幻兽典籍才知道了这小家伙是上古时期的混沌兽，是上古最为神秘也是最为强大的幻兽，因为混沌幻兽是天地所育，世间独一 无二，所以能记载到的记录
4、说明
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数
不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和
有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不
同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不 一定相切。
（４）求双曲线标准方程常用的方法是待定系数 法或轨迹方程法。
4、说明
2 2 x y （５）利用共渐近线的双曲线系 2 2 k a b 2 2 或 y x k ( k 0) 方程解题，常使解法简 2 a b2
(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和 求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线 的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 a , b, c , e , p 与坐标系无关， 只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与 坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需 要三个条件：两个定形条件 a , b ，一个定位条 件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
P
x y 1
2 2
B
A H
x
【思维点拨】设方程求解。
二、典例剖析
例7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 3 ，
它的两个焦点分别为F1，F2，直线 l 过F2且与直线
F1F2的夹角为 ，且 tan 21 ，l 与线段F1F2的 垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点 为Q，且 | PQ | :| QF2 | = 2:1，建立适当的坐标系， 求双曲线的方程。
捷。
（６）等轴双曲线及其性质：
e 2
渐近线相互垂直
（７）共轭双曲线及其性质： 有相同的渐近线 1 1 2 1 2 e1 e2 四焦点共圆
二、典例剖析
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
2 2 x y (1) 与双曲线 1有共同渐近线，且过 9 16 2 2 点 (3,2 3) ； x y 1 9 16 4 x2 y2 (2) 与双曲线 1有公共焦点，且过 16 4 2 2 x y 点 (3 2 ,2) 。 1 12 8
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题
简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
二、典例剖析
2 2 x y 例2：在双曲线 1上求一点P，使它到 16 9
左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
5 5
48 3 【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。 ( , 119 )
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1， 0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距 离之比为2，求m的取值范围。 5 5
在双曲线的左支上找到一点P，使得 | PF1 | 是P到
l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。
符合条件的点P不存在
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取 值是关键。
二、典例剖析
例5．已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B(1,0) ，P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。 y
渐 近 线
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图
形
P在右支上， P在上支上，
P在下支上，
r1 PF1 ex a
r1 PF1 ey a
焦半径
r2 PF2 ex a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图 形 平面几何 性质 离心率
c e (e 1) ， e 大开口大 a
a2 2a 2 , 焦渐距= b 。 焦准距 p , 准线间距= c c
3、图解双曲线的几何性质
Ｍ
F1 A1
B2
Ｎ A2
Ｐ
F2
o l1
B1
l2
4、说明
5 5 【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等 ( ,0 ) ( 0 , )
基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问
题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
二、典例剖析
x2 y2 例4：已知双曲线 2 2 1的离心 e 1 2 ， a b 左、右焦点分别的为 F1 , F2 ，左准线为 l1 ，能否
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
F1（0,பைடு நூலகம் )，F2（ o, c)
a 2 b 2 c 2一个Rt
| y | a, x R
性 质
焦距
范围
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
r2 PF2 ey a
r1 PF1 (ex a ) r2 PF2 (ex a )
P在左支上，
r1 PF1 (ey a ) r2 PF2 (ey a )
PF min c a
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
第二定义：平面内与一个定点和一条定直线
的距离的比是常数 (e 1) 的动点的轨迹。 即点集
PF1 PF2 e 1 P | e 1 P | d1 d2
一个比产生整条双曲线。
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 图 形
焦点 F1(- c,0) ，F2( c,0) | F1F2|=2c
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图
形
顶点 （-a，0） （a，0）
a2 x c
（0，-a）（0，a）
性 质
轴 准线
实轴长2a，虚轴长2b
a2 y c x y b x y a 0 y x 0 y x a b a b a b 2 2 x y y2 x2 共渐近线的 2 k k (k 0) 2 2 2 双曲线系方程 a a b b
一、基本知识概要：
1、双曲线的定义： 第一定义：平面内与两个定点 F , F 距离的差
1 2
的绝对值等于 2a(2a | F1F2 |) 的点的轨迹，即点 集 P | PF1 PF2 2a
① 2a F1F2 时为两射线；
② 2a F1F2 时无轨迹。
③无外面的绝对值则为双曲线一支)
2 y 2 x 1 3
2
y
B1 F1 P Q F2 x
； http://proclouds.cn/ 上海网站建设
vid72wlw
这家伙的爪子。接着出来了另一个爪子，两爪子一使力就见一个黑色的小毛球从蛋壳被破开的小缝隙里挤出来，就那么漂浮在空中，屁股对着 夜北冥，抱着比它大一倍的蛋壳咔嚓咔嚓的吃了起来，夜北冥就站在那里静静的看着小家伙进食完毕。等小家伙吃完，这才转身看着夜北冥， 一人一未知生物就这么大眼对小眼看了半响，夜北冥也才看清这小家伙的真实样子，整个身体就跟婴儿的拳头差不多大，全身的毛发非常的黑， 因为刚从蛋里出来的原因所以有些毛发还是湿的，粘在身体上，头的部位就一双睁的贼大的黑水晶似的眼睛，鼻子和嘴巴在哪里就看不出来， 现在它把四个爪子收进腹下，浑身圆圆的，配上它那双占了身体三分之一的大眼睛，给夜北冥的感觉就是说不出的可爱。看着小东西就那么直 直的盯着她看，一动也不动，夜北冥试探的问道：“你是谁？”这小东西立刻就冲进夜北冥的怀里，蠕动了一下，然后才抬头继续用那双萌萌 哒的大眼睛盯着夜北冥。夜北冥没听到它说话，就继续说道：“既然你已经跟我签订了本命契约，那我就给你起个名字吧！”小家伙立刻在夜 北冥的怀里欢快的跳了几下，嘴里啾啾啾地喊着，特别的清脆，让人一听就感觉神清气爽。确定怀里的小家伙能听懂自己说话，于是夜北冥用 手摸着小家伙头上黑色的毛，稍微想了一下就说：“你是我的第一个兽宠，而且你的毛又这么黑，眼睛又这么大，我就叫你小黑怎么样？”小 家伙听完，立马啾啾啾的叫着，然后又漂浮起来，向着最深处飘去，飘了一会见夜北冥没有跟上来，就朝着夜北冥啾啾啾的喊着，让夜北冥跟 上来，然后继续向前飘，夜北冥看着周围还没有采摘完的药材，想着等会再来采吧，于是就提起玄力向着小家伙飘去的方向飞快追去。看着小 家伙在又一处山洞门前停下，夜北冥也加快玄力到了小家伙跟前，小家伙看夜北冥来了，就又飘到夜北冥怀里让夜北冥用手托着，然后向着夜 北冥啾啾啾的叫着叫完就转身对着山洞门前上方的两个大字，上面写着——焱洞。夜北冥看着那两个字，低头对怀里的正用大眼睛盯着她的小 家伙,笑着说道：“你的意思是你觉得小黑不好听，这个焱好听是吗?”小家伙立马啾啾啾的喊道，大眼睛里写满了渴望，“那就叫你焱，你看 如何？”果然，小家伙对这个名字很满意，从夜北冥的怀里飞起来绕着夜北冥转了好几圈，嘴里一直啾啾啾的叫着，看样子很开心。就这样， 夜北冥得到了她的第一个兽宠，也是她的本命幻兽——焱。回到家的时候，让夜家家主，也就是夜北冥的母上夜弑天帮忙看了一下，查阅了祖 上留下来的上古幻兽典籍才知道了这小家伙是上古时期的混沌兽，是上古最为神秘也是最为强大的幻兽，因为混沌幻兽是天地所育，世间独一 无二，所以能记载到的记录
4、说明
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数
不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和
有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不
同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不 一定相切。
（４）求双曲线标准方程常用的方法是待定系数 法或轨迹方程法。
4、说明
2 2 x y （５）利用共渐近线的双曲线系 2 2 k a b 2 2 或 y x k ( k 0) 方程解题，常使解法简 2 a b2
(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和 求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线 的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 a , b, c , e , p 与坐标系无关， 只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与 坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需 要三个条件：两个定形条件 a , b ，一个定位条 件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
P
x y 1
2 2
B
A H
x
【思维点拨】设方程求解。
二、典例剖析
例7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 3 ，
它的两个焦点分别为F1，F2，直线 l 过F2且与直线
F1F2的夹角为 ，且 tan 21 ，l 与线段F1F2的 垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点 为Q，且 | PQ | :| QF2 | = 2:1，建立适当的坐标系， 求双曲线的方程。
捷。
（６）等轴双曲线及其性质：
e 2
渐近线相互垂直
（７）共轭双曲线及其性质： 有相同的渐近线 1 1 2 1 2 e1 e2 四焦点共圆
二、典例剖析
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
2 2 x y (1) 与双曲线 1有共同渐近线，且过 9 16 2 2 点 (3,2 3) ； x y 1 9 16 4 x2 y2 (2) 与双曲线 1有公共焦点，且过 16 4 2 2 x y 点 (3 2 ,2) 。 1 12 8
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题
简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
二、典例剖析
2 2 x y 例2：在双曲线 1上求一点P，使它到 16 9
左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
5 5
48 3 【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。 ( , 119 )
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1， 0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距 离之比为2，求m的取值范围。 5 5
在双曲线的左支上找到一点P，使得 | PF1 | 是P到
l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。
符合条件的点P不存在
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取 值是关键。
二、典例剖析
例5．已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B(1,0) ，P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。 y
渐 近 线
标准方程
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图
形
P在右支上， P在上支上，
P在下支上，
r1 PF1 ex a
r1 PF1 ey a
焦半径
r2 PF2 ex a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图 形 平面几何 性质 离心率
c e (e 1) ， e 大开口大 a
a2 2a 2 , 焦渐距= b 。 焦准距 p , 准线间距= c c
3、图解双曲线的几何性质
Ｍ
F1 A1
B2
Ｎ A2
Ｐ
F2
o l1
B1
l2
4、说明
5 5 【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等 ( ,0 ) ( 0 , )
基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问
题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
二、典例剖析
x2 y2 例4：已知双曲线 2 2 1的离心 e 1 2 ， a b 左、右焦点分别的为 F1 , F2 ，左准线为 l1 ，能否