第八章 磁场

第八章 磁场8-1一个静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场；一个线电流元是否也能够在它的周围空间任一点激起磁场？提示：不能。

由毕奥——沙伐尔定律可知在电流元所在的直线上各点电流元不激起磁场。

8-2在下面三种情况下，能否用安培环路定理求磁感强度B ？为什么？ （1）有限长载流直导线产生的磁场； （2）圆电流产生的磁场；（3）两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场。

提示： 安培环路定律只能适用于恒定电流所产生的磁场情况，即涉及到的载流导线必须是闭合的，否则不能使用。

所以：（1）和（2）不能安培环路定理求磁感强度B ，但（3）可以。

8-3在一载流螺线管外做一平面圆回路L ，且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。

则环路积分Ld ⋅⎰B l 等于多少？有人说，0Ld ⋅=⎰ B l ，有人根据安培环路定理认为0Ld I μ⋅=⎰ B l ，究竟哪种说法正确?提示：可分为两种情况： (1)密绕的无限长螺旋管，这是一个理想化的模型，可认为螺旋管是由一个个相同的圆电流彼此紧靠在一起组成，此时外部磁感应强度0B 外＝，管内磁场均匀，0B nI μ=内，此时，L0d =⎰ B l ；(2)实际上的长直螺旋管外部磁感应强度，0B≠外，此时应有0Ld I μ⋅=⎰ B l 。

8-4将空螺线管通以正弦交流电，由其空心螺线管的一端沿中心轴线射入一束电子流，如8-4题图所示。

则电子在空心螺线管内的运动情况是（ B ）A 、简谐运动；B 、匀速直线运动；C 、匀加速直线运动；D 、匀减速直线运动提示：由洛伦兹力判别q =⨯f B υ，磁力线与螺线管轴线平行。

8-5一电量为q 的粒子在均匀磁场中运动，下列哪些说法是正确的？(1)只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就一定相同；(2)速度相同，电量分别为+q 和-q 的两个粒子，它们受磁场力的方向相反，大小相等； (3)质量为m ，电量为q 的带电粒子，受洛伦兹力作用，其动能和动量都不变； (4)洛伦兹力总与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆。

提示：(1)不正确，因为q =⨯f B υ，故f 不仅与υ的大小有关，还与υ的方向有关。

(2)正确，因为q =⨯f B υ，所以()q =-⨯-f B υ。

即它所受的力反向，而大小则不变以。

(3)动能不变，而动量发生变化。

由dP q dt υ=⨯=d f B =m dt υ可知，只要0f ≠，则0dPdt≠。

即动量发生变化，若以粒子速度υ点乘等式两边，则有(dPq dt ⨯B)=υυυ，即0k dE dt=，这说明粒子的动能不变。

(4)不正确，只有当带电粒子初速度的方向与B 方向垂直时，带电粒子运动的轨迹才必定是圆。

8-6 如8-6题图所示，一个载流线圈绕组中通有电流I ＝3A 。

分别写出：1____L d ⋅=⎰H l ；2____L d ⋅=⎰ H l3____L d ⋅=⎰H l ；4____L d ⋅=⎰ H l提示：16L d A ⋅=-⎰H l ，212L d A ⋅=⎰ H l315L d A ⋅=⎰H l ，43L d A ⋅=-⎰ H l8-7试说明B 与H 的联系和区别。

提示：H 是矢量的环流，只和传导电流有关，因此在分布具有高度对称时，能够使我们比较方便地处理有介质存在时的磁场问题，而B 矢量的环流不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关。

联系：磁介质中任一点的磁感应强度B ，磁场强度H 和磁化强度M 之间有如下关系：00μμ=B H +M8-8安培定律d Id =⨯F l B 中有三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？ 提示：安培力始终与电流元Idl 和磁感应强正交；电流元Idl 与磁感应强度B 之间可以有任意角度。

8-9一有限长的载流直导线在均匀磁场中沿着磁感应线移动，磁力对它是否作功？什么情况下磁力作功？什么情况下磁力不作功？提示：有限长载流直导线在均匀磁场中受到的磁力Id =⨯F l B ，显然F 的方向与B 垂直，导线沿磁力线移动时，磁力不作功。

8-10两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I ＝10A ，方向相同，如8-10题图(左)所示。

求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向。

已知图中的00.020r m =。

解：因无限长直流载导线在距离a 处的磁感应强度为02IB aμπ=。

则由题可知，两长直导线在M 处产生的磁感强度大小均为01202IB B r μπ==，但方向相反；在N处产生的磁感强度均为：12B B ==方向如8-10题图(右)所示，由图可知，1B 和2B 合成的方向沿水平向左。

即：M 处的磁感强度为：001200022M I IB B B r r μμππ=-=-= N 处的磁感强度为： 4012120coscos()cos1.0104442N IB B B B B T r μππππ-=+=+==⨯ 方向沿水平向左。

8-11 如8-11题图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。

求环心O 的磁感强度。

解：设图中圆弧的半径为R 。

由题可知，ef 距o 点很远，故 0e f B =；o 点在eb 和fa 的延长线上故0eb fa B B ==；又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：000222224I I Ill B R R R Rμμμθπππ=== ，其中l 为圆弧长，故 1acb l =弧和 2adb l =弧在o 点产生的磁感强度分别为： 011124I l B R μπ=，022224I l B Rμπ= 又由于导线的电阻与导线的长度成正比，且圆弧 acb 和圆弧 adb构成并联电路，所以有： 1122I l I l =根据叠加原理可得o 点的磁感强度为：2011022122044ef eb fa I l I l B B B B B B R R μμππ=+++-=-= 8-12 如8-12题图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少?解：因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：000222224I Ill B RR R Rμμπππ=== ，无限长载流直导线在距离a 处的磁感应强度为02IB aμπ=，故由叠加原理可得： (a)图中，将流导线看作14圆电流和两段半无限长载流直导线，则：000+0+0=88IIB B B B RRμμ=++=圆弧长直导线长直导线；方向垂直纸面向外。

(b)图中，将载流导线看作圆电流和长直电流，则：00022IIB RRμμπ=-0B 的方向垂直纸面向里。

(C)图中，将载流导线看作12圆电流和两段半无限长直电流，则：00000044424I I I I IB R R R R Rμμμμμπππ=++=+0B 的方向垂直纸面向外。

8-13 如8-13题图(a)所示，一宽为b 的薄金属板，其电流为I 。

试求在薄板的平面上，距板的一边为r 的点P 的磁感强度。

解：建立8-13题图(b)所示的坐标系，将金属板分成无限多份宽度为dx 的载流长直导线。

现在距O 点x 处取一载流长直导线，其电流为IdxdI b =，在p 点处产生的磁感应强度为：02dI dB xμπ=，由叠加原理可知，载流薄板在p 点处产生的磁感应强度为：00ln 22r br brrI I r bB dB dx bx b rμμππ+++===⎰⎰方向垂直纸面向里。

8-14在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面轴线的夹角为α。

求通过该半球面的磁通量。

解：设有一半径为R 的圆面与半径为R 的半球面构成封闭曲面，则由磁场的高斯定理可知：+=0B ds B ds B ds ⋅=⋅⋅⎰⎰⎰圆面封闭曲面半球面S S S所以：2=-=-R Bcos B ds B ds a π⋅⋅⎰⎰圆面半球面S S 8-15电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线，试计算单位长度导线通过8-15题图中所示剖面的磁通量。

解：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B 大小相等，方向与电流成右手螺线关系。

围绕轴线取同心圆环路L ，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理0d I μ=∑⎰ B l 可求得导线内部距轴线r 处的磁感强度。

22000222L Ir I dl r I r R R μπμμππ====∑⎰ B B022Ir B Rμπ=； 如图所示，在距轴线r 处的剖面上取一宽度dr 很窄的面元ds ldr =，该面元上各点的B 相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为：8-15题图022Ird Bds ldr R μπΦ==故：002024RsIr Ild l R dr μμππΦ=Φ==⎰⎰单位长度的磁通量为：004Il μπΦΦ== 8-16 如8-16题图所示，两平行长直导线相距40cm ，每条通有电流I ＝200A 求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度；(2)通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。

已知r 1＝r 3=10cm ，r 2＝20cm ，l ＝25cm 。

解：(1)解：因长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为02IB aμπ=，由磁场的叠加原理可知两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度为：74000124102004.010220.2I I I B B B T a a a μμμπππππ--⨯⨯=+=+===⨯⨯方向垂直纸面向里。

(2)建立如图8—16(b)所示的坐标，穿过线圈的总磁通Φ总等于一条电流产生磁通Φ的两倍，即2Φ=Φ总。

方法一：在中距原点0为x 处取一很窄的面积元dS ldx =，穿过该面积的磁通量为：012Id B dS ldx xμπΦ==。

穿过线圈的总磁通为： 211502 2.2102r r r Ildx Wb xμπ+-Φ==⨯⎰方法二：设两电流相距为d ，则由两电流产生的磁感应强度为0022()I IB x d x μμππ=+- 故：121211500[] 2.21022()r r r rr r I I BdS ldx Wb x d x μμππ++-Φ==+=⨯-⎰⎰总 8-17已知102mm 裸铜线允许通过50A 电流而不会使导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。

求： (1)导线内、外磁感强度的分布； (2)导线表面的磁感强度。

解：(1)将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B 大小相等，方向与电流成右手螺线关系。

围绕轴线取同心圆环路L ，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理0ld I μ=∑⎰ B l 可知：2Ldl r I πμ==∑⎰ B B当r R <时，2222I Ir I r R Rππ==∑，所以： 8-16题图(b)022IrB R μπ=； 当r R >时，I I =∑，所以：02IB rμπ=(2)在导线表面，由题可知：50I A =，31.7810R m -==⨯，则由(1)问可得：30 5.6102IB T Rμπ-==⨯ 磁感强度的分布曲线如图8-17题图所示。