概率与概率分布
第六章概率与概率分布
本章是推断统计的基础。主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
第一节基础概率
概率论起源于17 世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
例如17世纪中叶，贵族德?梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚掷24 次，出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1 623—1 662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1 667—1 754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814 年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松( 1 78 1 —1 840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
1 、随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。
人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件：
①它可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有结果事先已知；
③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。1样本点
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）2?样本空间
所有样本点的全体称作样本空间（Sample space）记作Q ［例］掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
随机事件：
简单事件：仅含样本空间中一个样本点的事件。
复合事件：含样本空间中一个样本点以上的的事件。
极端的随机事件:
不可能事件：从样本空间来看，不含任何基本事件，记作①。
必然事件：从样本空间来看，该事件事件是由其全部基本事件
所组成，记作S
［例］
事件：
对掷一颗骰子的试验，我们研究如下
①A为“点数是3”；②B为“出现奇数点”；③C为“出现点数不超过6”;
④D为“点数是7”。
［解］因为｛1，2，3, 4, 5, 6｝，所以
①A= ｛3｝，为简单事件；
②B= ｛1，3, 5｝，为复合事件；
③C= ｛1，2, 3, 4, 5, 6｝，为必然事件;
④
D = {7}，为不可能事件。
2. 事件之间的关系
(1) 事件和(qr
conjunctgn)
构成的事件C 称为A
事事互斥事件，且在一次试验中必有其一 发生，称A 与B 为对立B 件
(逆事件)
或记A
B
B
为相互独立事件，记作
A/ B 或B B / A
(2)事件积(As-wei
^B 事件C 称为A 与B 的事件积,
___ 事 * 与事件B 同时发生所构成的
(3)事
含A 记作
A B 或 B A
的包含与相等一一事件A 发生必然导致事件
B 发生，则称为B 包
如果
A B 同时 A B
则A=B
(4)互斥事件
或互不相容事件，记作
事件\A 和事件
B 不能同时发生，则称B 和A 是互斥事件,
(5)对立事件
A B 至少有一个事件发生所
A B 的事
co
两随机事件之间的关
#匸血2
IT 6. 1 两随机宰件之珂弱羌汞
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古典法和频率法。用古典法求出的概率由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率，故被称为先验概率。
条件：
（1）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等；
（2）该样本空间只有有限（n）个样本点。
这样对于含有m个样本点的事浄A，其出现的概率为：
用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情
况；②它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足
［例］掷两枚均匀的硬币，①求“两枚都朝上”的概率；②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率
4、经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A是否发生了。假如做了n 次试验，而记录到事件f A发生了m 次（即成功m次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A发生的频率°
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性
当试验或观察次数趋近于无穷寸相应频率趋于稳定1这个极限值就是用频率法所定义的概率------------------------- °-------------------------------------
频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显而说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频率学派。
比如:
法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次，正面的次数是2048，比例是
0.5069 。
1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次，正面的次数是12012,
比例是0.5005
南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次，正面的次数是5067,
比例是0.5067 。
再如：
保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明20-24岁的男性中
明年死亡的概率是0.0015,同龄的女性是0.0005,保险公司对男性的保费就多收一些
第二节概率的数学性质
1.非负性
图丘3概率(荫帛件相加)的几何图形表示法
［例］从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。
［例］在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张红桃或爱司的概率。
［例］根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的概率是0.07，静止不动的概率是0.6,求向上流动的概率是多少？
［例］为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30%，母亲具有大学文化程度的占20%，而双方都具有文化程度的占有10%，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文
化程度的概率是多少？
加法规则可推广到对对两个以上的事件，若事件A ) A , B p C B K 都互斥，那今 有
3乘法规则
“在B 已经发生条件发生的概率”■条件概率的意思是，
P ( A / B )
)或 P ( B / A ) P ( B )
关
系。换言之经发生时供发生的
概率可能有别于B 没有发生时A 发生的概率。 的概念，对于灵活运用概率的乘法规则很
概率达^计独立是
且
B) P(A) P( B)
若A 和B 在统计上相互独立(无关)，这时乘法规则可以简化为
［例1］假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这个总体中抽取一个 社区，得
到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率是多少
？
例2］假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得到一个中 等的而且犯
罪率低的社区的概率又是多少 ？
［例3］根据统计结果，男婴出生的概率是 22/43,女婴出生的概率是21/43, 某单位有
两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多 少？其中一男一女的概率是多少？
［例4］某居民楼共20户，其中核心家庭为2户，问访问两户都是核心家庭
的概率是多少？问访问第二户才是核心家庭的概率是多少?
冲P(B)+P(C)
+ P(K)A / B)
式中符号
代表条件概率。 应理解为,
A 发生的概率可能与 *重要。现在用条件
理解统计独立
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用
回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保
持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还
总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件概率的概念。
例1用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张A的概率。
例2:用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张A的概率。
例3:为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30%，母亲具有大学文化程度的占20%，而双方都具有文化程度的占有10%，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所述，所谓回置
抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的为每一次抽取后抽取到的单位都得
4 4 1
返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条
件概率的概念。
A的概率。
4、排列和样本点的计数
要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时考虑使用加法
规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求的排列方式并计算它们发生
的概率，然后再考虑还有没有其他同样符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同的概率^就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排
N !
列方式计算的概率相注意，后一步相当于使用了加法规则。
r1 ! r 2 ! r k !
所有N个元素都不相同的情况下，排排列方式数为
N!
N个元素中，若其中第一组中有r1个不能区分的元素，
第2组中有r2个不能区分的元素，…，第k组中有rk个不能区分的元素，且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为：：
［例］从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A
1/13 1/13(11 /13)
和一张K的概率是多少？
［解］按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：/ 13抽到1张A和1张K，另I张非A非K，用符号(AKO)表示(其中1 “O3表示其他御抽到1张A和2 张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号(AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。
次序为AKO的样本点实现的概率是
次序为AKK的样本点实现的概率是
次序为AAK的样本点实现的概率是
(AKO)含有3!= 6种排列方式
所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
［例］假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A 为该学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜
欢流行歌曲
①用数字证明P（A 且B）=P（A）P（B/A）=P（B）P（A/B）②得到一个
喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少？③随机地选取一个由3 个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少？
5. 运用概率方法进行统计推断的前提
（1）随机抽样
（2）样本容量相对于总体来说，是较小的
（3）总体中个体的组合具有被同等抽中的概率
（4）注意独立性问题
简单随机抽样要求每一个个体拥有相同的被选入样本的机会。严格来讲，由于我们实际上总是做不回置抽样，因此独立性的假定，是难以完全满足的。只有在样本非常大，可以忽略。
一个随机样本具有以下的性质：不仅要给每一个个体以相等的被抽中的机会，而且要给每一种个体的组合以相等的被抽中的机会。
在要概括社区或其他空间上限定区域的单位的情况时，也必须注意到缺乏独立性的问题。
第三节概率分布、期望值与变异数
随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率分布则要在满足完备性（穷举）和互不相容性（互斥）的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以及每种结果所伴随的概率是多少。
应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。
频率分布与概率分布的区别：
经验分布：频率分布是经资料整理而来; 频率分布随样本不同而不同; 频率分
布有对应的频数分布。
理论分布：概率 分布是先验的；概率分布是唯一的；概率分布无频率分布
所对应的频数分布。 1.离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对 X 的每个可能取值xi 计 !随机变量
的概率分布，即
算其实现的概率
_____ J ____ ■ ■
10 11 12 X
Pi ，我们便得到了离
1
丄
山
一丄
_ J ■-
3
4
5
6
7
离散型随机变量的概率分布也可以用表格和图形两种形式来表示。 由于离散
型随机变量的特点，表示离散型随机变量概率分布多为折线图。
（X
）
(x) lim
P(X x X x x)
X 0
2.连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的取值充满
（某一区间，因而取某一数值讨论其概率
是无意义的。为此，我们引进概率密度 的概念来表达连续型随机
变量的概率分布。 频率密度等 （概
密度为纵坐标，可以作出频率分布直 筌为纵坐标，可以作出概率密度曲线。所不
方图。类似地，以 同的是，概率密度由于对组距求了△ x -0的极限，其图形乃平滑曲线
x
{x1
P(X )
X x F (x)
有了分布函数，就可以很容易得到随机变量
，x2｝上的概率，即
X 取值在任意区间
这样一来，随机变量
X 取值在区间｛x1 , x2｝上的概率等于概率密度曲线
下面x1与x2两点之间面积，即
的概念，它被定义为
3. 分布
（离散变量）或 的关系，就像向上累计频率和频率的关系一样。 不同之处在于, 是概率。但使
用分布函数的好处是很明显的， 它不仅在数学上统一了对离散型随 机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点都固定为一
X,因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的概率，从而达到计算快 捷和应用广泛之
目的。
4. 数学期望
在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数（或频率）分布后，为了对变量有 系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中趋势。而对集中趋势和离中趋势量 度，我们分别得到了平均指标和变异指标， 其中最有代表性的是算术平均数和标 准差。很显然，现在当我们面对随机变量的理论分布时， 也要对随机变量的集中 趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出数学期望和变异数这两个概念。
记作 E(X)。
E ( X )
xP
（连续变量）
累计的 所谓数学期望，是反映随机变量 X 取值的集中趋势的理论均值（算术平均），
［例］
保单每年有 一家保险公司在投卿
［5°（万元人寿保险的保）单中必计每
1000 15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为
200元,
试求每一保单的保费。
解题意知，利润的期望值
E（X）= 200（元）
设x1表示保费，x2为理赔费［x2 = -（500000- x1）］，则可得
F (x)P(X X i)(x)
所以，x1 = 7700（元）。即每一保单每年的保费应定在7706元。）数学期望也常常记为卩，在推论统计中同总体均值的记号，而则在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均数。样本均值依据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，E（X），是“估计”。
数学期望的几个基本性质： (1)
常数c 的期望等于该常数，即 E(c) = c
(2) 常数c 与随机变量X 之积的期望等于X 的期望与c 的积，即E(cX) 二 cE(X) (3) 两个随机变量之和的期望等于它们的期望之和，即
E(Y)
(4 )两个独立随机变量乘积的期望等于它们的期望之积，即
E(X) ? E(Y)
5. 变异数
值分散程度的指标，其功能相当于描述统计中已讨论过的方差及标准差，记用
D(X)。
由于变异数的单位是随机变量单位的平方。为了使随机变量变异指标的单
位与其本身的单位相同，将 D(X)开方(取正值)称作随机变量X 的标准差c;同 时为了更明确的表示D(X)与标准差之间只是开方关系，索性把 D(X)写成c 2, 并直接称D(X)为随机变量X 的方差。于是有
当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常常同总体方差的记 号，即用c 2表示之。而S2则被作为样本方差的记号。变异数和总体方差一样, 都是唯一的，不过它是一个先验的理论值。样本方差S2依据统计数据计算而来, 但它具有随机性。
变异数的几个基本性质:
(1) 常数c 的方差等于0,即D(c) = 0
(2) 常数c 与随机变量X 之积的方差，等于随机变量 X 的方差c2倍，即
D(cX) = c2D(X)
(3) 随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即 D(X+c) = D(X) (4) 两个独立随机变量之和的方差等于它们的方差和，即
D(X+Y) = D(X)
+D(Y)
E (X+Y) = E(X)+
E(XY)=
数学期望反映了随机变量的集中趋势,仅知道集中趋势还不够,
............................ D 散程厂
道随机变量在
即离中趋势。
还应该知
映随机变量取
概率与概率分布
第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。 第一节基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
常用的概率分布类型其特征
常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一
个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 几种常见的具有可加性的分布 (1) 1.1 二项分布 (2) 1.2 泊松分布（Possion分布） (3) 1.3 正态分布 (4) 1.4 伽玛分布 (6) 1.5 柯西分布 (7) 1.6 卡方分布 (7) 2 具有可加性的概率分布间的关系 (8) 2.1 二项分布的泊松近似 (8) 2.2 二项分布的正态近似 (9) 2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3 小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13) 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数 Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.360docs.net/doc/7b1078825.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function 引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1 几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示 第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。 概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(< 几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数： (Y)np X E μ== 方差与标准差：2(1)X np P σ=- ;X σ=特例：（0-1）分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0 复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b) 在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ? 是常数， 则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=? 概率思考题 1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。 请问，该主持人的说法是否正确？ 2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？ 3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？ 4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？ 5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？ 6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？ 7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？ 8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？ 9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？ 练习题 1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。 3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。 试求这种零件的次品率。 4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。 5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？ 6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。 7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次品的概率为多少？ 8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出以一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少；（2）若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少？ 9．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 10．设M件产品中有件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值 概率论与数理统计常考知识点 20XX年10月10日15:35 来源：中国考研网 概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 随机事件和概率考查的主要内容有： (1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算； (2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率； (3)古典概型与几何概型； (4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率； (5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率； (6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。 要求考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。 随机变量及概率分布考查的主要内容有： (1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算； (2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算； (3)会求随机变量的函数的分布。 (4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。 要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。 随机变量的数字特征考查的主要内容有： (1)数学期望、方差的定义、性质和计算； (2)常用随机变量的数学期望和方差； (3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差； (4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算； 要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。 大数定律和中心限定理考查的主要内容有： (1)切比雪夫不等式； (2)大数定律； (3)中心极限定理。 要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。 数理统计的基本概念考查的主要内容有： (1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、性质及计算； (2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数； (3)推导某些统计量的（特别是正态总体的某些统计量）的分布及计算有关的概率。 要求考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算，会根据χ2分布、t分布和F 分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。 参数估计考查的主要内容有： (1)求参数的矩估计、极大似然估计； (2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性； (3)求正态总体参数的置信区间。 要求考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间。 假设检验考查的显著的主要内容有： (1)正态总体参数的显著性检验； (2)总体分布假设的χ2检验。 第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； 上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。 §3.1 二项分布的概率计算 一、二项分布的（累积）概率值计算 用Excel来计算二项分布的概率值P n(k)、累积概率F n(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为： BINOMDIST (number_s，trials, probability_s, cumulative) 其中 number_s：试验成功的次数k； trials：独立试验的总次数n； probability_s：一次试验中成功的概率p； cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值P n(k)；若取1 或TRUE时，则计算累积概率F n(k)，。 即对二项分布B(n,p)的概率值P n(k)和累积概率F n(k)，有 P n(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；F n(k)= BINOMDIST(k,n,p,1) 现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。 例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率： （1）一人负责15台机床的维修； （2）3人共同负责80台机床的维修。 原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。 设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布： X～B(15,0.01)， 而 P(X= k)= C15k(0.01)k(0.99)15-k，k = 0, 1, …, 15 故所求概率为 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14 =1-0.8600-0.1303=0.0097 （2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即 Y～B(80,0.01) 此时因为 n=80≥30, p=0.01≤0.2 所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中 =np） 常用的概率分布 一、正态分布 概率密度函数：22 2)(21)(σμπσ--=x e x f 正态分布曲线的特点：在μ=x 处最高，两个参数（σμ,），曲线下面积等于1。 正态分布的应用：确定正常值范围 二、二项分布 概念：服从伯努力试验序列的试验，在n 次实验中发生阳性结果的次数为x 次的概率为二项分布，x n x x n c x P --=) 1()(ππ。 二项分布的特点：图形的形态取决于n 和?。 阳性率：n x p =， 标准差 ：n p ) 1(ππσ-= 二项分布的应用：计算二项分布中出现阳性次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 三.Poisson 分布 概念：Poisson 分布看作二项分布的特例，单位空间、单位面积或单位时间内某稀有事件发生次数的概率分布. μμ-=e x x P x !)( Poisson 分布的特点：图形的形态取决于 ? , 总体均数 等于方差， 具有可加性。 注意： 凡个体间有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 应用：计算Poisson 分布中某稀有事件出现次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 ∑ ∑-+----=-+-222)2()2)(1(2)1())2()1((μμμμμμy y x x y x 案例分析： （一）观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm ，标准差为 4.12cm ，12 .400.13800.128-=u ，则9925.0)(1=-u φ，结论正确是_____________。 A ．理论上身高低于138.00cm 的12岁男孩占%。 B ．理论上身高高于138.00cm 的12岁男孩占% C ．理论上身高在128.00cm 和138.00cm 之间的12岁男孩占%。 D ．理论上身高高于128.00cm 的12岁男孩占% （二）研究人员为了解该地居民发汞（?mol/kg ）的基础水平，为汞污染的环境监测积累资料，调查了居住该市1年以上，无明显肝、肾疾病，无汞作业接触史的居民230人，数据如下： 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的 考试练习题常用概率 分布 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 第三章概率、概率分布与抽样分布 计算题： 1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？ 4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。 5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。 6. 某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？ 7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样 的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的回答；⑵对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之间的概率呢？ 解： a. 正态分布, 213, b. , , 教学内容、设计与时间安排： A.随堂测试（30分钟） 测试内容：统计数据的整理与显示 测试内容详见阶段测试二 答案及采分点详见阶段测试文件 B.课程导入（10分钟） 美国鱼类和野生动物管理局要求对任何一次捕捞，每只扇贝的平均重量至少为磅，该要求旨在保护小扇贝。 一只渔船抵达马萨诸塞州一个港口，船上装着11000袋扇贝，港口负责人随机挑选了100袋检查重量。港口员工从每一袋中取出一大勺扇贝，然后用着一大勺扇贝的重量除以扇贝的数量，以此估算出袋子中每只扇贝的平均重量。根据用这种方法所产生的100个样本统计量，港口负责人估算出该渔船的每只扇贝平均重量为磅。样本标准差为.联邦政府认为这是违反重量标准的确凿证据，立刻没收了该渔船95%的扇贝并随后将其进行拍卖。 渔船主对美国政府非常不满，船长宣城渔船完全遵守了重量标准，并对政府提出了诉讼。他聘请了波士顿一家律师事务所为代表，该律师事务所想请你来评定该渔船主是否有理由对联邦政府提出诉讼。你该怎么办 C.新课讲授（50分钟） 一、随机事件的几个基本概念（10分钟） 1、实验 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果 2、 事件 1. 事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 2. 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 3. 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用?表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 4. 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用?表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6 3、 事件与样本空间 1. 基本事件(elementary event) 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 例如：点数大于2，奇数点 2. 样本空间(eample Space) 一个试验中所有基本事件的集合，用?表示 例如：在掷枚骰子的试验中，??{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，??{正面，反面} 4、 事件的关系和运算 包含、并与和、交与积、互斥、对立、差 二、 事件的概率（10分钟） 1、 古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A 发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为 【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率 某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计 事件个数 样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数 事件n m A A P ＝事件个数样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数事件 )( 第六章概率与概率分布 第一节概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（机会均等）。 2．分布函数和或的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，累计的是（概率）。 3．如果A和B（互斥），总合有P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。 4．（大数定律）和（中心极限定理）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（无偏性）、（一致性）、（有效性）。 6．抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则）和（最少经济费用原则）。 7．在抽样中，遵守（随机原则）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（正比），与样本容量的平方根成（反比）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（增大到16倍）。 9．若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（互斥）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A） A、基本事件是有限个，并且是等可能的； B、基本事件是无限个，并且是等可能的； C、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D） A、基本事件； B、样本； C、全部事件； D、样本空间。 3、以等可能性为基础的概率是（A） A、古典概率； B、经验概率； C、试验概率； D、主观概率。 4、任一随机事件出现的概率为（D） A、在–1与1之间； B、小于0； C、不小于1； D、在0与1之间。 5、若P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则＝（D） A、0.8 B、0.08 C、0.12 D、0.24。 6、若A与B是任意的两个事件，且P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件A与B（C） A、等价 B、互不相容 C、相互独立 D、相互对立。 7、若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（X ＋Y）的标准差为（B） A、7 B、10 C、14 D、无法计算。 8、抽样调查中，无法消除的误差是（C） A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差 9．对于变异数D(X)，下面数学表达错误的是（）。 C．D(X)＝E(X2)―[E (X) ] 2 D．D(X)＝σ 10．如果在事件A和事件B存在包含关系AB的同时，又存在两事件的反向包含关系AB，则称事件A与事件B（）概率论中几种具有可加性的分布及其关系
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