概率论常用统计分布
概率论与数理统计：c6_2 常用统计分布
n
n
E(2 )
E
(
X
2 i
)
D( X i ) n,
i 1
i 1
2021/3/5
6
数理统计常用分布
n
D(χ2 )
D(
X
2 i
)
i 1
n
{E(
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2 }
2n.
i 1
性质2(可加性)设Y1、Y2相互独立,且Y1～2(n1) , Y1～2(n2)，则 Y1+Y2 ～ 2(n1+ n2) .
2
n
Xi2
~
2(n)
i 1
即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.
例 统计量的分布 (之一)
2021/3/5
5
数理统计常用分布
2分布的三条性质： 性质1.(数字特征) 设 2 ~ 2(n) ，则有
E( 2 ) = n ， D( 2 ) = 2n
证明:
2
n
X
2 i
i 1
且 X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，
的样本, X , S 2分别是样本均值和样本方差，
则
(1)X与S 2相互独立;
(2) X ~ N (0,1); n
n1
(3) 2
S2
~
2(n
1);
(4) X ~ t(n 1)
Sn
2021/3/5
18
数理统计常用分布
证明(4) : 由(2) U X ~ N (0,1) n
由(3)
V
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
概率论与数理统计各种分布总结
概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。
下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。
它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。
它通常用于模拟稀有事件的发生情况。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。
它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。
许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。
它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。
7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。
与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。
8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。
它经常用于方差分析和回归分析中。
这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。
概率论与统计分布公式总结【已整理 可直接打印】
概率论与统计分布公式总结【已整理可直接打印】概率论与统计分布公式总结概率论和统计分布是数学中重要的分支。
本文将总结一些常见的概率论和统计分布公式，以便帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、概率论公式1. 概率计算公式- 条件概率公式：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)- 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)- 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)- 全概率公式：P(A) = ΣP(A|B) * P(B)2. 期望值和方差- 期望值公式：E(X) = Σx * P(X = x)- 方差公式：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)二、统计分布公式1. 正态分布- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2)) - 累积分布函数：F(x) = (1 / 2) * (1 + erf((x - μ) / (σ * √2)))2. 泊松分布- 概率质量函数：P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!3. 指数分布- 概率密度函数：f(x) = λ * e^(-λx)4. 二项分布- 概率质量函数：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)5. t分布- 概率密度函数：f(x) = (Γ((v + 1) / 2) / (√(v * π) * Γ(v / 2))) * (1 + (x^2 / v))^(-(v + 1) / 2)以上是一些常见的概率论和统计分布公式。
希望本文能对您对概率论和统计分布的研究和应用有所帮助。
如需更深入了解，请参考相关教材或咨询专业人士。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论与数理统计常用的统计分布
n(
)2
X
)2
概率论与数理统计i 1
抽样分布定理 最重要的总体： X ~ N (, 2 )
如何由样本 X1, X2,...X n 推断 ， 2 ？
分析：
对 ， 2 的推断是通过构造统计量实现的
（1）如何构造“好”的统计量 (X1, X2,...Xn ) （2） g(X1, X2,...Xn ) 服从什么分布？
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
❖要求由样本构造一个以较大的概率包含真 实参数的一个范围或区间，这种带有概率 的区间称为置信区间，通过构造一个置信 区间对未知参数进行估计的方法
称为区间估计。
概率论与数理统计
设总体X的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体X的一个样 本来估计总体未知参数的问题称为点估计问 题.
Review
F
设 U ~ 2 (n1), V ~ 2 (n2 ) ,且 U ,V 相互独立,令
F
U /n1 V /n2
称 F 服从自由度为 (n1, n2) 的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2).
F(n1, n2 )的上侧分位点记为F (n1, n2 )
O
F (n1 , n2)
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统
在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数.
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量取值的概率分布情况。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布函数，如正态分布、均匀分布、泊松分布等。
本文将针对这些常见的概率分布函数进行介绍和解释。
一、正态分布（Normal Distribution）正态分布是自然界中最常见的分布之一。
它以钟形曲线形式展现，其分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率密度。
正态分布的特点是对称且呈现出标准差的影响，标准差越大，曲线越平缓。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学等领域，用于描述各种现象的分布情况。
二、均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的概率分布之一，它描述了随机变量在一定范围内各个取值出现的概率是相等的。
均匀分布的分布函数是一个常数函数，其特点是在一定范围内的取值概率是相等的。
均匀分布常用于模拟随机事件或生成随机数，广泛应用于数值计算和概率统计等领域。
三、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的分布函数可以表示在一段时间或空间内发生某种事件的次数的概率。
泊松分布的特点是具有独立性和稀有性，适用于描述稀有事件的发生情况，如电话交换机接听电话的次数、汽车在某路段通过的次数等。
四、指数分布（Exponential Distribution）指数分布是一种连续概率分布函数，描述了随机事件发生的时间间隔的概率分布。
指数分布的分布函数具有单峰性，随着时间的推移，事件发生的概率逐渐减小。
指数分布常用于描述随机事件的间隔时间，如人们等待公交车的时间、网络传输数据包到达的时间等。
五、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述在一次试验中成功次数的概率分布函数。
二项分布的分布函数描述了在一定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布情况。
二项分布的特点是具有两个参数，成功概率和试验次数，常用于描述二元随机事件的发生情况，如硬币正反面的次数、投篮命中的次数等。
概率论八大分布
概率论八大分布概率论是统计学的一个重要分支，它探究随机变量及其关联性，研究不同的现象的结果和概率分布之间的关系，提供量化的度量工具以确保实际应用的准确性。
概率论八大分布是概率论中应用最为广泛的几个分布，它们提供了研究各种随机现象的基础，影响了大量的现实问题的解决方案，其实质是根据大量试验获得的数据来拟合出不同类型的概率分布。
首先，概率论八大分布中首先涉及的是正态分布。
是一种最常见的概率分布，也称作高斯分布。
正态分布的图形可以表示为一个双峰的曲线，其特点是只有两个参数：均值μ和标准差σ，它可以用来描述平均值的概率密度分布情况，即随机变量的取值可能会靠近均值μ。
其次，另一个重要的概率分布是均匀分布。
均匀分布是一种两个参数（下限a和上限b）的概率分布，这两个参数分别代表了随机变量可能取值的范围，即该变量只能在a和b之间取值，其中每一个结果都有相同的概率。
第三，指数分布是另一种广泛使用的分布，它具有唯一的参数λ，该参数代表了随机变量的变化率。
指数分布的特性是，它可以用来衡量发生某种事件的时间间隔，以及研究受试者遭受某种不利影响的持续时间。
接下来，椭圆分布（又称偏态分布）是一种广泛应用的概率分布，它可以用来描述数据集中对称性差异。
椭圆分布有三个参数：均值μ、标准差σ和偏度γ，其中偏度γ决定了数据集中偏斜程度。
接着，卡方分布是一种常常用来拟合实验数据的分布，它用一个参数k来描述数据的分布形状。
卡方分布是一种双峰分布，它的参数k决定了其双峰形状陡峭程度。
此外，t-分布是一种密度比较大的分布，它是一种卡方分布的变种，但具有更大的连续性。
t-分布有两个参数，即自由度ν和不同的中心值μ，它主要用于检验两个样本之间的差异和单样本的参数估计。
接着，F-分布是t-分布的多变量拓展，如果两个样本是来自不同的总体，那么可以使用F-分布来检验这两个样本的差异。
F-分布的参数为两个自由度，即自由度1和自由度2，它最常用于在两个样本之间检验方差的差异。
概率论与数理统计期末复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
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n1 y n2
2
,
y0
0,
其它
(3) F分布有以下性质
1) 若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2,
n1 ).
2) E(F ) n2 , n2 2
(n2 2),
D(
F
)
2n22(n1 n2 2) n1(n2 2)2(n2 4)
本，则称统计量χn2
X12
X
2 2
L
Xn2服从
自由度为n的 2分布.
自由度：
指
n2
X12
X
2 2
X
2 n
中右端包含独立
变量的个数.
(2) χn2分布的概率分布
定理5.4
2 n
分布的概率密度:
p(
x)
n 22
1 (
n
)
x
n 1
2e
x 2
2
x0
0
服从自由度为(n1, n2 )的F分布，记为
F ~ F (n1, n2 ).
(2) F (n1, n2 )分布的概率密度为
p(
y)
n1
2
n2
n1 n2
n1
2
n1 1
y2
n1 n2
n1 2
n2 2
1
增大而接近正态分布,
但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6 个，在其中他发现实际数据的分布情况与
正态分布有着较大的差异.
y
Cosset样本曲线
正态曲线
O
x
于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的 其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线， 并在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，
E( Xi2) D( Xi ) [E( Xi )]2 1,
E( Xi4 )
x4
1
x2
e 2 d x
2
2
2
x
3
de
x2 2
0
2
[
x3e
x2 2
3
x2
e
x2 2
d
x]
3
2
0
0
D( Xi2) E( Xi4) [E( Xi2 )]2
1α α O tα(n) x
t0.05(10) 1.8125, t0.025(15) 2.1315.
(2) X的分布密度无对称性的情形
1) 2 (n) : 对于给定的正数 , 0 1, 称满足
P{ 2 2 (n)}
2 (n) p( y)dy
N (n,2n).
例1 设X ~ N (0,4),Y ~ 2(2)，且X ,Y相互独立，
试求解 X 2 Y 的概率分布. 4
解 因为X ~ N (0,4)且 X ,Y 相互独立，所以
X ~ N (0,1)
且
X
2
2 与Y相互独立
4
又因为 X 2 ~ χ 2(1)，由可加性得
4
得
X 2 Y ~ χ2(3).
于是由t 的定义有
X
1
9
i
9 1
Yi
2
9
Xi
即
T i1 ~ t(9).
9
Yi 2
i 1
9X ~ t(9)
9
Yi 2
i 1
3. F分布
(1) 定义
定义5.8 设X ~ 2(n1),Y ~ 2(n2 ),且X ,Y相互独立，
则称随机变量 F X / n1 Y / n2
求统计量T的分布，其中
9
9
T Xi / Yi2 .
i 1
i 1
解 从抽样分布知X ~ N (0,1)
而 Yi ~ N (0,9),故Yi / 3 ~ N (0,1)，
从而
(Yi )2 ~ 2(1), i 1,2, ,9.
3
由可加性知
9 (Yi )2 ~ 2(9)
i1 3
1. 2 分布
正态分布是自然界中最常见的一类概率 分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身
高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题 是关于这些正态随机变量的平方以及平方和 的概率分布问题.
例如在统计物理中，若气体分子速度是随 机向量 V ( X ,Y , Z ) 各分量相互独立，且均服 从 N (0,1.5), 要求该分子运动动能
第二节 常用统计分布
一、常见分布
二、概率分布 的分位数
回
停 下
一、常见分布
在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有 关随机变量的函数的概率分布.
例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号 是一个随机变量X ，若我们把 这个信号通过平方示波器，则 输出的信号为
Y X2
通常需要求出Y的概率分布. 本节介绍一些最常见的统计分布.
其它
证
因为
2 (1)
分布即为
1 2
,
1 2
分布,
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i
~
1 2
,
1 2
,
i 1, 2, L , n.
因为X1, X2, , Xn相互独立,
所以
X12 ,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
由F分布的性质知
所以得
X 1 ~ F (m,n)
EX 1 n , n2
DX
1
n2(2m 2n m(n 2)2(n
4) 4)
.
二、概率分布的分位数
1. 定义 定义5.9 对于总体X和给定的(0 1),
若存在x ,使
P{ X x }
则称x为X的分布的上侧分位数.
则
Y2
X3
X4
X5 4
X6
~
N (0,1)
又
Y1
X1 X2 与 2
Y2
X3
X4 X5 4
X6
相互独立.
所以 ( X1 X2 )2 ( X3 X4 X5 X6 )2
2
4
Y12 Y22 ~ 2(2)
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
可以通过查表求
得上分位点的值.
y y h( x)
由分布的对称性知 t1 (n) t (n).
当n 45时, t (n) u .
的点 2 (n) 为 2(n) 分布的上侧分位数.
y y p( x)
α
O
χ α2 ( n)
x
当n 60时，可查表4 (表4只详列到 n=60 为止).
2 0.025
(8)
设 Yi ~ 2(ni ), 并且 Yi (i 1, 2, , m) 相互
m
独立, 则 Yi ~ 2(n1 n2 nm ).
i 1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若
2 n
~
2(n),
则
E
(
2 n
)
n,
D(
2 n
)
2n.
证 因为 Xi ~ N(0, 1), 所以
1
t2
e 2,
n
2π
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
(3) T的数字特征
E(T ) 0, D(T ) n
n2
(n 2).
例3 设总体X和Y相互独立,且都服从N（0,9）
X1, X 2 , , X9和Y1,Y2 , ,Y9来自总体X ,Y的样本，
,
(n2 4)
3) 设F ~ F (n1, n2 ),则当n2 4时,对任意x有
lim P{F E(F ) x} x
1
e
t2 2
dt
n1
D(F )
2π
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例4 已知 T ~ t(n),试证 T 2 ~ F (1,n).
证 因为 T ~ t(n), 由定义5.7有 T X Yn
3 1 2, (i 1, 2, , n)
故
E
(
2 n
)
E
n i 1
Xi2
n
E( Xi2 ) n,
i 1
( E(Xi2) 1 )
D(
2 n
)
D
n
Xi2
n
D( Xi2 ) 2n.
i 1 i1
性质3
4
例2 设X1, X2, , X6为来自正态总体N(0,1)的一组