概率统计分布表(常用)
6.2数理统计中几种常用的分布.
性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
概率论-分布及其分位数
U—分布 正态总体样本均值的分布
设总体 X ~ N , 2 ， X1, X2,..., Xn 是 X 的一
个样本, 则样本均值服从正态分布X1 nFra bibliotekn i 1
Xi
~
N
,
2
n
U
X
1 n
n i1
Xi
~
N 0,1
n n
概率分布的分位数(分位点)
定义 对总体X和给定的 (0<<1)，若存在x，
f(y)
上分位数或上侧临界值，
其几何意义见图5-5所示.
其中f(y)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2(n) x
显然，在自由度n取定以后，2(n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
即 t(n)≈u ， n>45.
一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当 n>30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.
四、F分布
定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
与相互独立，则称随机变量
F
X Y
n1 n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，
记作 F～F(n1，n2).
02.1(9)≈查 14.684.
故
表
≈
14.684x
16 9
≈26.105
n2) F 2
图6-4
(n1,
n2)
x
例 设总体X～N( , 42)， X1，X2，…，X10是n=10简
单随机样本， S2为样本方差，已知P{S2>}=0.1,求
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数 ： ①、常规平均数：xx 1x 2x n②、加权平均数： xx 1 1 x 2 2x nnn12n3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。
4、方差： s 21[( x 1 x) 2 ( x 2 x )2( x nx )2 ]n二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数2、频率之和 ： f 1f 2f n 1 ；同时 S 1 S 2S n1 ；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差1、众数： 最高小矩形底边的中点。
2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f nx x 1 S 1 x 2 S 2x 3 S 3x n S n3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5 时 x 的值。
4、方差： s 2( x 1x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2( x n x) 2 f n四、线性回归直线方程 ： ? ? ?bxy an(x ix )( y iy )nx i y i nxy??其中： b i 1i 1,a?ybxnn( x i x )2x i 2nx 2i 1i11、线性回归直线方程必过样本中心( x , y ) ；??0 : 负相关。
2、 b 0 : 正相关； b?3、线性回归直线方程： y? ?bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析?i1、残差 ： ?iy i?i 越小越好；ey （残差 =真实值—预报值）。
分析：e2、残差平方和 ：n? )2(y i，i 1y in( y iy )2( y 1 y )2 ( yy )2( yy )2分析：①意义：越小越好；②计算：?i?12?2n?ni 1n ?i )23、拟合度（相关指数） ： R 21( yy ，分析：① . R 20,1②. 越大拟合度越高；i 1的常数；ny)2i ( y i1nn4、相关系数 ： ri ( x i x )( y i y)x i y i nx y1i 1nx)2 ny) 2 nx) 2 ny )2i 1( x i i ( y i( x i ( y i1i 1i 1分析：① . r[ 1,1]的常数；② . r 0: 正相关； r0: 负相关③. r[0,0.25] ；相关性很弱；r(0.25,0.75) ；相关性一般；r [0.75,1] ；相关性很强；六、独立性检验 x 1 x 21、2×2 列联表 ：合计2、独立性检验公式 bc)2y 1 a b a b ①． k 2(an( add )y 2cdc db)(c d )(a c)(b合计a cb dn②．犯错误上界 P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值n(ad bc) 2k ： k；(a b)(c d )(a c)(b d )②．查找临界值 k0：由犯错误概率P，根据上表查找临界值k0；③．下结论： k k0：即犯错误概率不超过P 的前提下认为：, 有 1-P 以上的把握认为：;k k0：即犯错误概率超过P 的前提认为：,没有 1-P 以上的把握认为：;【经典例题】题型 1 与茎叶图的应用例 1（ 2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50 位市民。
卡方分布分位表
卡方分布分位表1. 什么是卡方分布？卡方分布（chi-squared distribution ）是统计学中常用的概率分布之一，它是一种单参数分布。
卡方分布常用于分析成功与失败之间的关系，比如独立性检验、拟合优度检验等。
2. 卡方分布的概率密度函数卡方分布的概率密度函数（probability density function, PDF ）可以表示为：f (x;k )=12k 2Γ(k 2)x k 2−1e −x 2其中，k 是卡方分布的自由度参数，Γ 是伽马函数。
3. 卡方分布分位表的作用卡方分布分位表（chi-squared distribution quantile table ）是用于计算卡方分布的分位数的一种表格。
分位数是统计学中用于表示分布特征的关键指标之一。
通过查表可以快速找到给定分布和自由度下的分位数，从而帮助我们进行各种统计分析。
4. 卡方分布分位表的使用方法使用卡方分布分位表，首先需要确定自由度（degrees of freedom, df ）和置信水平（confidence level, α）。
然后在表格中找到对应自由度和置信水平的值，就可以得到相应的分位数。
以下是示例卡方分布分位表的一部分： 自由度 (k ) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 10.00004 0.00016 0.00393 0.01579 0.21072 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944自由度(k) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.0052 0.01003 0.020100.050640.103180.710724.605175.991467.377769.2103410.596623 0.07172 0.114830.215800.351851.441796.251397.814739.3484011.3448712.83816……………………………例如，如果自由度为3，置信水平为0.95，则对应的分位数为3.84146。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
常见的离散型随机变量的概率分布标准版文档
(II) 贝努里概型 和 二项分布 例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
男女
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X的概率分布是：
X可取值0,1,2,3,4.
X()=
1, = 1 0, = 2
例 5 200件产品中,有196件是正品,4
件是次品,今从中随机地抽取一件,若规
定
1, 取到合格品
X()=
0, 取到不合格品
则 P{X=1}=196/200=0.98, P{X=0}=4/200=0.02
故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X ∼ B(1,0.98).
注: 贝努里概型对试验结果没有等可能 的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P(A)1p； （3）各次试验相互独立.
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正 品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2. 随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡 中恰有3只是次品的概率.
X= X1+X2+ +Xn 其密度函数和分布函数常用 和
表示：
~N(0,1)
(IV)、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 (x)和(x)表示：
(x)
1
x2
e2,
x
2
(x) 1
概率分布与统计图表
心，左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为 钟形曲线。即正
对称。即态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。
2018/10/26
6
3. 正态分布有两个参数，即均数µ 和标准差σ。
µ 是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。常用
N(µ ,σ2)表示均数为μ ，标准差为σ的正态分布；用
（ 2）
2018/10/26
16
（ 3）
查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应
的Z值为-1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在
X 1.28S 区间内，即116.9cm~129.2cm
2018/10/26
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练习：
查附表，求标准正态分布曲线下的面积。 （-∞，-1.96），（ -∞ ，-2.58）， （-1.96，1.96），（-1，1），（ -∞ ，0.00）。
，
S=4.79 cm ，估计(1)该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁 男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩
总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？
先做标准化变化:
理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩 总数的7.21%。
2018/10/26 15
分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制
定双侧正常值范围。
该指标的95%医学参考值范围为
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例4 某地调查110名正常成年男子的第一秒肺通 气量，得均数为4.2 L，标准差为0.7 L ，试估计该地 正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。
分析：正常人的第一秒肺通气量近似正态分布，且只