概率统计分布表常用
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
标准正态分布表表含义
标准正态分布表表含义
标准正态分布表是用于计算标准正态分布的累积概率的工具。
标准正态分布表通常由两列数据组成：
第一列是标准正态分布的Z值，即随机变量在标准正态分布
下的标准差单位数。
这些数值可以从-3.9到3.9，以0.1为间隔。
第二列是累积概率，即随机变量小于或等于特定Z值的概率。
这些概率值是标准正态分布曲线下的面积，可以在表中查找。
通过查找Z值，可以在标准正态分布表中找到对应的累积概率。
这对于计算统计学中的各种问题非常有用，比如计算随机变量的概率、计算置信区间等。
例如，如果要计算标准正态分布的随机变量小于等于Z=1.5的
概率，可以在表中查找1.5对应的累积概率，得到0.9332。
这
意味着约有93.32%的随机变量小于或等于1.5。
注意，标准正态分布表通常只包含正值的Z值和累积概率，
因为标准正态分布是对称的。
如果需要计算负值的Z值对应
的累积概率，可以使用对称性质进行推导。
标准正态分布表是统计学中常用的工具，可以方便地查找标准正态分布的累积概率，进而进行各种相关计算。
8个常见分布期望和方差
8个常见分布期望和方差概率分布的期望和方差为了理解和预测复杂的概率分布，其中最重要的两个因素是期望和方差。
概率分布的期望是由可能的结果的各种频率的平均值。
它是一个数字，可以确定概率变量的未来值的变化，用来表明对分布结果的期望：方差是描述随机变量变化程度的数字，它表示数据离期望值多大程度。
期望和方差是描述统计定律的基本量，它们是用于理解和预测随机变量的行为的最重要的两个概念。
此外，方差也是可以利用的重要的统计概念，用来表明总体变化的大小，以及在给定范围内期望出现变化的可能性。
尽管，有很多不同的概率分布存在，但是在概率领域，最常用的概率分布可以分为三类：正态分布，二项分布和卡方分布。
下文将分别介绍这三类分布的期望和方差。
正态分布是指概率分布中，观测值的分布曲线呈现出钟形状，中心对称型的曲线。
正态分布的期望可以表示为：E（x）=μ，即随机变量的期望值就是均值。
正态分布的方差可以表示为：V（x）=σ2，其中σ2是样本数据的方差，表示数据的变化程度。
二项分布研究的是独立重复试验，其中均有概率p成功，概率q失败，这里p+q=1。
对二项分布，其期望值E(X)=np，即期望值取决于p值和重复次数n；其中变异系数V(x)=npq，表示数据变异的程度。
卡方分布也被称为卡方正态或卡方分位数分布，它描述的是数据来源于独立正态分布的累积分布，通常用于统计检验中的卡方检验。
对卡方分布，其期望值E(X)=n；变异系数V(x)=2n,表示数据变异的程度。
总的来说，概率分布的期望和方差是理解和预测复杂概率分布的基础，它们提供了一种可以用来确定观测值的有效值并预测观测结果的方法。
通过期望和方差，我们可以很容易地推断三类常见分布的理论值，进一步推断复杂概率分布的变化趋势，从而帮助更好地。
2.2离散型随机变量及其分布
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
t分布的概念及表和查表方法
t分布介绍在概率论和统计学中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
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概率统计分布表常用
公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
标准正态表
x
n\p
1
2
3
4
5
6
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8
9
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11
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41
42
43
44
45
T分布
n\p
1
2
3
4
5
6
7
8
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71
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76
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79
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81
82
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85
86
87
88
89
90
100
120
F分布
P=
n\m 1 2 3 5 6 7 8 10 15 20 30
1
2
3
4
5
6
7
8
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24
26
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P=
n\m 1 2 3 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20
1
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30
Excel公式
1.正态分布函数
Excel计算正态分布时，使用NORMDIST函数，其格式如下：
NORMDIST（a，μ，σ，累积）
其中，“累积”：若为TRUE，则输出分布函数值，即P{X≤a}；
若为FALSE，则为概率密度函数值．
示例：已知X服从正态分布，μ＝600，σ＝100，求P{X≤500}．
输入公式
NORMDIST(500, 600, 100, TRUE)
得到的结果为，即P{X≤500}=．
2、 正态分布函数的反函数
Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数，
格式如下： NORMINV（p， μ ， σ ），此公式计算a，使P{X ≤a}=p
3标准正态分布反函数=NORMSINV
3、 t分布
Excel计算t分布的值,采用TDIST函数，
格式如下： TDIST（a，自由度，侧数）
其中，“侧数”：指明分布为单侧或双侧：
若为1，为单侧；此命令输出P{ T >a }
若为2，为双侧．此命令输出P{ |T| >a}
示例：设T服从自由度为24的t分布 ，求P(T>．
已知t＝，df=24，采用单侧，则T分布的值：
TDIST,24,1)
得到，即P(T > =．
4. t分布的反函数
Excel使用TINV函数得到t分布的反函数，
格式如下： TINV（α，自由度）
输出 T 分布的 α / 2 分位点： t_α/2_(n)
若求临界值tα(n)，则使用公式＝TINV(2*α, n)
5.返回F分布的函数是FDIST
FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
函数 FDIST 的计算公式为 FDIST=P( F>x )，
分布的反函数
FINV(probability,deg_freedom1,deg_freedom2)
已知 probability=P( F>x )，求x