微分中值定理的推广
三大微分中值定理及其推广形式和应用
三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘 要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形 式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。 关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将 运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证 作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得
微分中值定理的推广
(a − a) = 0
b−a
由 f ( x) 在（a,b）可导，知 F ( x) 在（a,b）也可导，且 ， f (b − 0) − f (a + 0)
F (a + 0) = f (a + 0) − f (a + 0) − b−a
x = tgt ( − 2 <t < 2 )
则对由函数 f ( x) 与 x = tgt 组成的复合函数 g (t ) = f (tgt ) π , ) 内，满足定理条件，仿（1）讨论可 在有限区间 (− π 2 2 π , )使 知：至少存在一点 t ∈ (− π 2 2 2 g ′(t0 ) = f ′(ξ ) sec t0 = 0
f ′(ξ ) = f (b − 0) − f (a + 0) g ′(ξ ) . g (b − 0) − g (a + 0)
再由 g ′(ξ ) ≠ 0 有
f ′(ξ ) f (b − 0) − f ( a + 0) . = g ′(ξ ) g (b − 0) − g ( a + 0)
证明：（1）当 f (a + 0) = f (b − 0) 时，由定理 1 知，结 论成立。 （2）当 f (a + 0) ≠ f (b − 0) 时，作辅助函数。
F ′( x) = f ′( x) −
所以
f ′(ξ ) −
b−a f (b − 0) − f (a + 0) =0 b−a
f (b − 0) − f ( a + 0)
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
最新-微分中值定理的证明、推广以及应用 精品
微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理的证明及应用微分中值定理的证明及应用摘要：文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。
关键词：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。
在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。
笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。
1微分中值定理的证明11对中值定理[1]的简单证明分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的()?()故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为()使它满足罗尔定理的全部条件，为此设?()?()?则()?()?(?)即()??()?（1）由（1）可构造新函数()?()?,有题设可知()在[,]上连续，在（,）内可导，且()?(),因此()满足罗尔定理的全部条件。
所以函数()?()?,即我们要构造的函数。
证明：构造辅助函数()?()?,其中?()?()?根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道()在闭区间[,]上是连续的，在开区间（,）内是可导的，并且还有()?(),所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数()在(,)内至少存在一点?,使得?(?)??(?)??0即?(?)?()?()?,故证得()?()??(?)(?)12对中值定理[1]的简单证明分析：若用定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足定理的条件，不妨设?()?()()?(),可变形为()?()?()?()（2）由（2）可构造辅助函数()?()?(),有题设可知()在[,]上连续，(,)内可导且()?(),因而()满足定理的条件，即()?()?()为所要构造的函数。
微分中值定理及其推论和推广
第4章微分中值定理及其推论和推广内容摘要|微分中值泄理是微分学中最重要的一个立理。
在许多理论证明中都会用到它或它的推论或它的推广。
为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔泄理作为引理。
罗尔定理若函数f(x)在闭区间帀"1上连续,在开区间⑺小)内有导数，且= 则至少有一点ce(a,b),使广(c) = 0微分中值定理若函数/W在闭区间0上］上连续且在开区间(“小)内有导数，则至少有一点c e (。
,方)使广(C)_/(“)-/(")h-a或者写成f(b)-f(a) = f ［a + 0{b-a)］(b-a} (0<6><l)推论1若函数/(x)在区间(“上)内处处有导数，且f,(x) = O(a<x<b),则/(朗三常数(a<x< b)称函数F(x)为函数/(x)(在某区间上)的原函敷，若dF(x) = f(x)dx或F\x) = f(x)根据推论1，函数/(对在同一个区间上的两个原函数只能相差一个常数。
推论2设函数/(X)在闭区间［a,b］±连续且在开区间(d,b)内处处有导数。
⑴若f(x)>O(a<x<b)f则/(X)在区间［a.b］±是增函数；(2)若f(x)<O(a<x<b)t则/(x)在区间［d,b］上是减函数。
根据推论2,我们就得到如下结论(证不等式的方法)：设函数/(X)和g(x)在区间上连续且在(“上)内有导数。
若满足条件：(0 /(«) = gM; (ii) f f(x)>g f(x)(a<x<b)；则fM >g(x)(“ <x<b)(见下图1)类似地，设函数/(x)和g(JT)在区间(仏b］上连续且在@0)内有导数。
若满足条件：(0 f(b) = g(b)；(n) f\x) > g\x)(a <x<b)t则fM <g(x)(“ =v^>)(见下图2)柯西中值定理设函数/(x)和g(x)在闭区间［o,b］上连续，在开区间(“上)内有导数。
微分中值定理的证明与推广
微分中值定理的证明与推广孙红娟 01211018（徐州师范大学 数学系 徐州 221116）摘 要 本文分别用两种方法证明了柯西中值定理及拉格朗日中值定理，并对微分中值定理加以推广.关键词 发现法；行列式型辅助函数；推广0. 引言在数学分析中, 微分中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多命题和不等式的证明都以它为依据, 在证明有关中值问题中具有极其重要的作用.可以讲,学好微分中值定理, 能为进一步学好微积分理论打下坚实的理论基础.但我们在学习时却感到比较困难, 本文分别用两种方法证明柯西中值定理和拉格朗日中值定理, 并对微分中值定理加以推广.1．中值定理的证明微分中值定理关于柯西中值定理的证明中, 文献[1]介绍了一种可精简教学过程和教学时间, 而且对培养学生创造性思维能力十分有益的“发现法”. 从中我们可以得到两个推论.罗尔定理（定理1）：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可导, 且),()(b f a f =则在.0)(),(='ξξf b a ，使得内至少存在一点推论1：[]()内可导，上连续，在开区间在闭区间b a b a x f ,,)(且).()(,0)(b f a f x f ≠≠'则 证：假设)()(b f a f =，根据罗尔定理，),(0)(b a f <<≠'ξξ这与条件在),(b a 内，0)(≠'x f 矛盾，故).()(b f a f ≠推论 2：若函数)(),(x g x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()[]b g a g k a f b f -=-)()(，其中k 为常数，则在()b a ,内存在一点ξ，使()()ξξg k f '='证 由于()()[]b g a g k a f b f -=-)()(，故)()()()(a kg a f b kg b f -=-构造函数),()()(x kg x f x F -=满足条件()()b F a F =，于是满足罗尔定理的全部条件，因而()()()0='-'='ξξξg k f F .又因推论(1)中),(b a 内的条件0)(≠'x g ,知:)(0)(b a g <<≠'ξξ.所以()()k g f =''ξξ即()()ξξg k f '='.柯西中值定理(定理2):.若（1）函数g f 与都在闭区间[]b a ,上连续, （2）g f 与都在开区间()b a ,内可导， （3）内不同时为零在与),(b a g f '', （4）()()b g a g ≠ 则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得:()().)()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 证法一 由推论1和推论2 直接可得到柯西中值定理.证法二 ([2])1．预备定理:设函数()x f 在点0x 处可导,若这导数()()(),0000<'>'x f x f 则当x 取右方充分接近于0x 的数值时,就有()()()()()00x f x f x f x f <>.而当x 取左方接近于0x 的数值时,就有()()()()().00x f x f x f x f ><2．达布定理:若函数f 在闭区间[]b a ,上可导,且()()b f a f '≠'，k 为介于()a f '及()b f '之间的任一实数，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()k f ='ξ证明柯西中值定理: 设()()()()[]()()()[]a g b g x f a f b f x g x G ---=由于()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导，可知()x G 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，且容易得出()()b G a G =.下证：一定有()b a ,∈ξ，使得()0='x G ，因若不然，假定在()b a ,内，(),0≠'x G 则依达布定理,()x G '在()b a ,内不能异号，因此()0>'x G 或()0>'-x G ，而由预备定理，在两种情况下都有()()0≠-b G a G这与()()b G a G =相矛盾，因此必有()b a ,∈ξ，使得()0='x G ，即()()()[]()()()[]a f b f g a g b g f -'=-'ξξ （1）如果()0='ξg ，则由()()a g b g ≠，推出()0='ξf ，这与假设()()x g f '',ξ不同时为零相矛盾，因此()0≠'ξg .（1）式两端同除以()()()[]a g b g g -'ξ，则得：()().)()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ拉格朗日中值定理（定理3）：设函数f 满足条件（1）f 在闭区间[]b a ,上连续， （2）f 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得：()()()a b a f b f f --='ξ证法一 根据“发现”法可证：设()()k ab a f b f =--，则()()()a b k a f b f -=-，即()()kb b f ka a f -=-.造函数()()kx x f x F -=满足条件()()b F a F =，于是()x F 满足罗尔定理的全部条件.而有：()()0=-'='k x f x F ，即()k f ='ξ，故()()()ab a f b f f --='ξ根据文献[3]中习题11的思考，我们还可以构造行列式型辅助函数来证明定理3.证法二 设()()()()111x f xb f ba f ax =φ 因()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，所以()x φ在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，且()()0==b a φφ，故由罗尔定理知，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()()()()()()()001010111='--='='x f a f b f a b a f af b f ba f aξξφ所以()()()ab a f b f f --='ξ2．微分中值定理的推广定理4：设函数()()()x h x g x f ,,在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得：()()()()()()()()()0='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f 证 作辅助函数 ()()()()()()()()()()x h x g x f b h b g b f a h a g a f x =φ 则()x φ在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，且()()0==b a φφ，故由罗尔定理知，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0='ξφ，即()()()()()()()()()0='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f 当()1=x h 时，就可得到柯西中值定理；当()()x x g x h ==,1，又可得到拉格朗日中值定理.故定理4可以看作是中值定理的一般形式.假如我们把罗尔中值定理也作为一般定理的特殊情形，定理4又可以这样证明另证：因为()x φ在[]b a ,上连续，则()x φ在[]b a ,上必有最大最小值.因为()()b a φφ=， 所以最大最小值至少有一个在()b a ,内的某一点ξ处取得，因为()x φ在()b a ,内每一点可导，所以()x φ在ξ处可导.因为()ξφ是最大值（最小值也一样），所以()ξφ也是极大值.由于()x φ在ξ处可导，由极限存在的必要条件知()0='ξφ，即()()()()()()()()()0='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f我们试着把三个函数推广到四个函数，则有：定理5：设函数()()()()x k x h x g x f ,,,均在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,则 ()b a c ,∈∀，至少存在一点()b a ,∈ξ,使得：()()()()()()()()()()()()()()()()0=''''''''ξξξξk h g f c k c h c g c f b k b h b g b f a k a h a g a f证:()b a c ,∈∀,设()()()()()()()()()()()()()()()()()x k x h x g x f c k c h c g c f b k b h b g b f a k a h a g a f x H =显然，()x H 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导，且()()()c H b H a H == 由罗尔定理知，()()b c c a ,,,21∈∃∈∃ξξ,使()()0,021='='ξξH H ， 再由罗尔定理知：()21,ξξξ∈∃，使(),0=''ξH 即()()()()()()()()()()()()()()()()0=''''''''ξξξξk h g f c k c h c g c f b k b h b g b f a k a h a g a f我们还可以把这个推论推广到n 个函数的情形：定理6：设函数()()()()3,,,21≥n x f x f x f n 均在[]b a ,上连续,在()b a ,内2-n 阶可导,则对b a a a a a n n =<<<<=--1221 ，至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()()()()()()()022221112112222111211=------ξξξn nn n n n n n n n f f f a f a f a f a f a f a f a f a f a f证：对b a a a a a n n =<<<<=--1221 ，设()()()()()()()()()()()()()x f x f x f a f a f a f a f a f a f a f a f a f x H n n n n n n n21112112222111211---= 显然，()x H 在[]b a ,上连续,在()b a ,内2-n 阶可导,且()()()121-===n a H a H a H ，由罗尔定理知, ()()2,2,1,1-=∈∃+n i a a i i iξ,使得()0='i H ξ,再3-n 次运用罗尔定理, ()b a ,∈∃ξ,使得()()02=-ξn H ,即:()()()()()()()()()()()()()()()022221112112222111211=------ξξξn nn n n n n n n n f f f a f a f a f a f a f a f a f a f a f通过上面的分析与证明的过程中，不仅解决了微分中值定理的证明问题，而且推广了微分中值定理.同时，让我们看到教材上的结论并不终极，提高了我们的发散思维能力和创新能力.参考文献:[1]张弘.微分中值定理的又一证明方法[J].重庆交通学院学报.2004,(23):129-130. [2] 刘永志.柯西中指定理的一个证法[J].数学通报.1990(1):42.[3] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2000. [4] 侯谦民.中值定理的推广[J].武汉职业技术学院学报.2003,6：81-82.[5] 胡付高.微分中值定理的推广及应用.孝感学院报（自然科学版）.2000，11：16-18.[6] 宋基华， 彭鑫根.微分中值定理的一种证明方法.北京石油化工学院学报.1995，6：26-28. [7] 童子双，杨志芳. Lagrange 微分中值定理的分析证明法.金华职业技术学院学报.2003：56-57.Proving and Spreading of the Differential Mean Value TheoremSun Hong Juan(Department of Mathematics , Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116)Abstract The paper has given two methods to prove Cauchy’s & Lagrange’s mean value theorems and the spreading of the differential mean value .Key words“Finding” method; Detem inant of auxiliary function; generalization。
微分中值定理研究报告和推广
渤海大学毕业论文<设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主修专业数学与应用数学所在院系数学系入学年度 2002年9月完成日期 2006年5月25日指导教师张玉斌目录引言 (1)一、中值定理浅析 (1)1、中值定理中的 (1)2、中值定理中条件的分析 (2)二、微分中值定理的推广 (4)1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4)2、中值定理矢量形式的推广 (7)3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9)4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12)5、高阶微分中值定理 (15)结束语 (19)参考文献 (19)微分中值定理的研究和推广张士龙<渤海大学数学系锦州 121000 中国）摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。
本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。
后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。
从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。
关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。
The Research and Popularization of The Differential MeanValue TheoremShilong Zhang(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem.Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。
Cauchy微分中值定理的推广的一个简单证明
其中 x ∈ [ a, b ] , 则易知 ∀ ( x ) 在[ a , b] 上连续, 在 ( a, b ) 内 n 次可导 , 由( 6) 及行列式性质知 ∀ ( x 0 ) = ∀ ( x 1 ) = … = ∀ ( x n- 1 ) = ∀ ( x n) = 0, 故由 Rolle 定理知, 存在
- 1 xn n- 1 2
g( x 1 )
g ( x n- 1)
1 x1 x1 … x
0 n- 1 1 2
= [ f ( n) ( x ) - ! g ( n) ( x ) ] n- 1 # i> j 又 立.
n- 1
( xi - xj) f ( n) ( ) 从而 ( 1) 成 g ( n) ( )
收稿日期 : 2005-08-23
7期
程海来 : Cauchy 微分中值定理的推广的 一个简单证明
163
1 x0 x x
2 0
1 x1 x x
2 1
… … … … … 1 x0 x
2 0
1 xn x2 n = … xn n 1 x1 x
2 1 n
∏
i. > j
( xi - xj) ≠ 0
0
( 4)
1 x n- 1
2 n- 1
1 x x2 … x n- 1 g( x )
…
n- 1 0
…
n- 1 1
…
n- 1 n- 1
…
n- 1
- !
…
n- 1 0
…
n- 1 1
…
n- 1 n- 1
f ( x 0)
f ( x 1)
f ( x n- 1 )
f ( x)
g ( x 0)
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微分中值定理的简单推广刘威 20101101904数学科学学院 数学与应用数 10级汉一班指导教师 苏雅拉图摘要：微分中值定理是数学分析中的基本定理，包括罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理。
在本文所做的推广是改变或减弱原定理的条件，得到与原定理类似的结论。
关键词：连续;可导;可微;区间一 微分中值定理1.1罗尔中值定理若函数)(x f 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 内可导;)(III )()(b f a f =,则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .1.2拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ使a b a f b f f --=)()()('ζ.1.3柯西中值定理若函数)(x f 与)(x g 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 内可导，并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,则在),(b a 内至少存在一点ξ使)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ.二 微分中值定理的推广2.1罗尔中值定理的推广定理1 若函数)(x f 满足:)(I 在区间),(b a 内连续;)(II 在区间),(b a 上可导;)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0x f b x -→存在且相等,则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .证明. 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∈=bx b f a x a f b a x x f x F )0()0(),()()()(x F 满足罗尔定理条件∴ ),(b a ∈∃ξ t s . 0)('=ξF 即0)('=ξf定理2 若函数)(x f 满足:)(I 在区间),[+∞a 上连续;)(II 在区间),(+∞a 上可导;)(III )()(lim a f x f x =+∞→ ,则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .证明.令11+-=a x t ， ),(+∞∈a x , )1,0(∈t ,则 )(11t a t x ψ=-+= ， )1,0(∈t ，),()(+∞∈ψa t 。
于是)())(()(t g t f x f =ψ=，)1())1(()()(lim ))((lim )(lim )00(00g f a f x f t f t g g x t t=ψ===ψ==++∞→→→++. 因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,∴)1,0(∈∃η ,使 0)('=ηg .)('))((')('ηψηψη⋅=f g ,01)'11()('2≠-=-+=ηηηψa ,∴0))(('=ηψf ,记ξηψ=)(,则0)('=ζf .定理3 若函数)(x f 满足)(I 在区间),[+∞a 上连续)(II 在区间),(+∞a 上可导)(III M x f x =+∞→)(lim则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使2)1()()('a a f M f -+-=ξξ.证明. 令11+-=a x t ),(+∞∈a x )1,0(∈t ,则 )(11t a t x ψ=-+=，)1,0(∈t ， ),()(+∞∈ψa t .于是)())(()(t g t f x f =ψ=，M x f t f t g x t t ===+∞→→→)(lim ))((lim )(lim 00ψ.因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,∴)1,0(∈∃τ, 使01)(01)0()1()('--=--=Ma f g g g τ，即 M a f g -=)()('τ.)('))((')('τψτψτ⋅=f g , 21)'11()('t a t t -=-+=ψ, ∴2)1()()('a a f M f -+-=ξξ.定理4 若函数)(x f 满足:)(I 在区间),(+∞-∞上连续;)(II 在区间),(+∞-∞内可导;)(III A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim , 则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .证明.令t x tan =, )2,2(ππ-∈t , 则 )()(tan )(t g t f x f ==.由定理1知,在)2,2(ππ-内存在一点η,使0)('=ηg , 即 0sec )(tan ')('2=⋅=ηηηf g .在)2,2(ππ-内0sec 2≠η, ∴ 0)(tan '=ηf .记ξη=tan ,则0)('=ζf .定理5 若函数)(x f 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 上可导;)(III -∞=+→)(lim x f a x ，-∞==→)(lim x f bx , 则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .证明.取)(21b a c +=. 若0)(>c f ,由连续函数的介值定理知,∃),(c a d ∈,使0)(=d f ,∃),(b c e ∈,使0)(=e f . 因函数)(x f 在],[(e d 上满足罗尔定理的条件,∴),(e d ∈∃ξ,使0)('=ζf .若0)(≤c f ,令 1)()()(+-=c f x f x F ,于是有01)(>=c F .由连续函数的介值定理知,∃),(c a m ∈,使0)(=m F ，∃),(b c n ∈，使0)(=n F .函数)(x F 在区间],[n m 上满足罗尔定理的条件,∴),(e d ∈∃ξ,使0)('=ζF .2.2拉格朗日中值定理的推广定理6 若函数)(x f 满足:)(I 在区间),(b a 内连续;)(II 在区间),(b a 内可导;)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0x f b x -→存在, 则在),(b a 内至少存在一点ξ使ab a f b f f -+--=)0()0()('ξ. 证明.做辅助函数 )()0()0()0()()(a x ab a f b f a f x f x F -⋅-+---+-=, 则0)0()0(=-=+b F a F .由定理1知,),(b a ∈∃ξ,使0)('=ζF . ab a f b f x f x F -+---=)0()0()(')(', ∴ab a f b f f -+--=)0()0()('ξ. 2.3柯西中值定理的推广 定理7 若函数)(x f 与)(x g 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 上可导;)(III 并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,并且)0(+a f ，)0(-b f ，)0(+a g ，)0(-b g 均存在,则在),(b a 内至少存在一点ξ使)0()0()0()0()(')('+--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 证明.),(b a ∈∃α,使)0()0())(('+--=-a g b g a b g α.0)('≠αg ,∴0)0()0(≠+--a g b g .令)0()0()0()0())0()(()0()()(=--+--⋅+--+-=a g b g a f b f a g x g a f x f x F , 则0)0()0(=-=+b F a F .由定理1知,),(b a ∈∃ξ使0)('=ξF . a b a f b f x g x f x F -+---=)0()0()(')(')(', ∴)0()0()0()0()(')('=--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 定理8 若函数)(x f 与)(x g 满足:)(I 在区间],[b a 上连续;)(II 在区间),(b a 上可导;（Ⅲ）在区间),(b a 内)('x f 与)('x g 不同时为0且)()(b g a g ≠,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 证明.首先证明若)(x f ，)(x g 在区间],[b a 上连续,在),(b a 内上可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ，使00)(')('1)()(1)()(=ξξg f b g b f a g a f .做辅助函数=)(x F 1)(')('1)()(1)()(x g x f b g b f a g a f则0)()(==b F a F .由罗尔定理知,),(b a ∈∃ξ,使0)('=ξF ,即00)(')('1)()(1)()(=ξξg f b g b f a g a f , 即0)]()()[(')]()()[('=---b f a f g b g a g f ξξ.因)()(b g a g ≠,∴)()()()()(')('a g b g a f b f g f --⋅=ξξ. )('x f 与)('x g 不同时为0假设0)('≠x g , ∴)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 以上是对微分中值定理简单推广后所得到的定理及其证明.微分中值定理还可以推广到行列式函数、向量函数、抽象函数等多个方面,对这部分内容我会在以后的学习中继续研究.参考文献：[1]欧阳光中,朱学炎 .数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2010.[2]刘玉琏. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2010.。