第2章 被控对象的数学模型汇总
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第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第2讲被控对象
单容过程，是指只有一个储蓄容量的过程对象。 若被控过程由多个容积构成，则称为多容过程。
6
2.1 被控过程特性
2.1.2 单容和多容过程
常见自衡过程单容或多容数学模型：
W (s) K TS 1
W (s)
K
e s
(TS 1)
W (s)
K
W (s)
K
e s
(T1s 1)(T2 S 1)
3
第二讲 被控过程建模及分析
如能掌握过程动态特性 （即被控过程的数学模 型），将为取得良好的过 程控制性能打下基础。
被控过程的数学模型是指 被控过程在输入（控制量 或扰动量）作用下，其输 出（被控量）随输入变化 的定量数学函数关系。常 用传递函数表示。
4
2.1 被控过程特性
2.1.1 自衡过程与非自衡过程
曲线法和矩形脉冲响应曲线法。 需设计合理的试验，以获取最大的输入/输出信息
量； 但对不允许试验的工艺过程无能为力。
20
2. 测试法建模
(1) 基本概念
在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控 对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控 对象模型。
阶跃输入信号是首选的输入测试信号。 建模的任务？
29
(2) 阶跃响应曲线法
两点法确定二阶惯性加纯滞后环节的特征参数
T1
t1
e T1
T2
t1
e T2 0.6
T1 T2
T1 T2
T1
T1
T2
t2
e T1
T2
t2
e T2
T1 T2
0.2
1 T1 T2 2.16 (t1 t2 )
T1T2 (T1 T2 )2
6
2.1 被控过程特性
2.1.2 单容和多容过程
常见自衡过程单容或多容数学模型：
W (s) K TS 1
W (s)
K
e s
(TS 1)
W (s)
K
W (s)
K
e s
(T1s 1)(T2 S 1)
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第二讲 被控过程建模及分析
如能掌握过程动态特性 （即被控过程的数学模 型），将为取得良好的过 程控制性能打下基础。
被控过程的数学模型是指 被控过程在输入（控制量 或扰动量）作用下，其输 出（被控量）随输入变化 的定量数学函数关系。常 用传递函数表示。
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2.1 被控过程特性
2.1.1 自衡过程与非自衡过程
曲线法和矩形脉冲响应曲线法。 需设计合理的试验，以获取最大的输入/输出信息
量； 但对不允许试验的工艺过程无能为力。
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2. 测试法建模
(1) 基本概念
在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控 对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控 对象模型。
阶跃输入信号是首选的输入测试信号。 建模的任务？
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(2) 阶跃响应曲线法
两点法确定二阶惯性加纯滞后环节的特征参数
T1
t1
e T1
T2
t1
e T2 0.6
T1 T2
T1 T2
T1
T1
T2
t2
e T1
T2
t2
e T2
T1 T2
0.2
1 T1 T2 2.16 (t1 t2 )
T1T2 (T1 T2 )2
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
【VIP专享】第02章 被控对象的数学模型
由于工业对象往往都非常复杂，物理、化学过 程的机理一般不能被完全了解，而且线性的并不多， 一般很难完全掌握系统内部的精确关系式，故机理 建模仅适用于部分相对简单的系统，而且在机理建 模过程中，往往还需要引入恰当的简化、假设、近 似、非线性的线性化处理等。
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
4
2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
5
机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
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2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
5
机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
2章 被控对象的数学模型
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第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
5
2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
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2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
第2章 被控对象的数学模型CAI
2.2 对象数学模型的建立
假设两只贮槽的截面积都是A，则有： 假设两只贮槽的截面积都是 ，则有： (Q1−Q12)dt=Adh1 (Q12−Q2)dt=Adh2 改写式（ 改写式（2-18）和式（2-19） ）和式（ ）
dh1 1 = (Q1 − Q12 ) dt A
(2-18) (2-19)
由式（ 由式（2-21）解得 ）
d 2 h2 dh2 AR1 AR2 + ( AR1 + AR2 ) + h2 = R2 Q1 （2-25） 2 ） dt dt 改写成 d 2 h2 dh2 T1T2 + (T1 + T2 ) + h2 = KQ1 （2-26） ） dt dt 式中， 第一只贮槽的时间常数； 式中，T1=AR1—第一只贮槽的时间常数；T2=AR2—第二只 第一只贮槽的时间常数 第二只 贮槽的时间常数； 整个对象的放大系数。 贮槽的时间常数；K=R2—整个对象的放大系数。 整个对象的放大系数 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 被控对象的特点及其描述方法 2.2 对象数学模型的建立 2.3 描述对象的特性参数
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 对象的特点及其描述方法
1．数学模型 ．
♦自动控制系统由被控对象、测量变送装置、控 自动控制系统由被控对象、测量变送装置、 制器和执行器组成， 制器和执行器组成，系统的控制质量与组成系统的 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 对控制质量影响最大。 对控制质量影响最大。 ♦自动控制系统的设计过程： 自动控制系统的设计过程： 设计过程 了解对象特性及其内部规律 根据工艺对控制 质量的要求 设计合理的控制系统 选择合适的 被控变量和操纵变量 选用合适的测量元件及控 自动控制系统。 制器 自动控制系统。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第2章被控过程的数学模型
第2章 被控过程的数学模型
建立过程数学模型的基本方法
2．测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出实测数据进行某种数学处理后得到的模型。
施加阶跃扰动或脉冲扰动 激励
测绘输出响应曲线
工业过程
把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述
它的动态性质，不需要深入掌握其内部机理。
第2章 被控过程的数学模型源自数学模型的表达形式与要求1. 建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有 以下几种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制订大 型设备启动和停车的操作方案和设计工业过程运行人 员培训系统，等等都也需要被控过程的数学模型。
第2章 被控过程的数学模型
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
第2章 被控过程的数学模型 例如图中的单容水槽,其阶跃响应如右图所示。
单容过程的定义：只有一个储蓄容量的过程。
第2章 被控过程的数学模型 ②非自平衡：如下图的单容积分水槽，当进水调节阀
开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量 不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定 的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的 被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图所示。
对应上式的传递函数为：
H ( s) K G( s) e 0 s ( s) 1 Ts
第2章 被控过程的数学模型
纯滞后环节的存在使过程输 出在响应输入而发生变化的 开始时间在时间轴方向发生 了平移，但对过渡过程中输 出变化的速率和稳态值的大 小没有影响。
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控制通道
被控变量
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道。 对象输出：控制通道输出与各干扰通道输出之和。
数学模型：
静态数学模型—静态时输入量与输出量之间的关系。 动态数学模型—对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
数学模型的表示方法：非参量模型和参量模型
1.非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特 点 ： 形 象 、 清晰；缺乏数学方程的 解析性质 （必要时须进行数学处理获得参量模型）。
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
V Ah dV dh q q A q q i o i o dt dt
q0
由于出口流量可以近似地表示为： qo
h R
A
dh h dh T h K qi (T AR、K R) qi dt dt R
e0 ei总结）
典型的微分方程
典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
典型的阶跃响应曲线 qi a
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
第一节 化工对象的特点及其描述方法
对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)
即对象受到e后，y是如何变化的、变化量为多少…… 控制变量＋各种各样的干扰变量 被控对象输入量？？ 通 道：由对象的输入变量至输出变量的 信号联系。
干扰变量 控制变量
被控对象
干扰通道
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系。
常用的描述形式：阶跃反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等
2.参量模型：数学模型用数学方程式描述。 常用的描述形式：微分方程式(组)*、传递函数*、频率特性等
参量模型的微分方程的一般表达式：
an y( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1x(t ) b0 x(t )
一、对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
H
q0
qi
q0
左图：假设初始平衡状态qi=qo，液位保持不变。
出水阀阻力系数
当发生变化时(qi＞qo)，此时水位开始升高 根据流体力学原理，qo与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
因此，qi H qo，直至qi=qo 这种特性称为“自衡特性”。
（i）
dh0 0 dt
h h0 h 记 (h0、qi 0为平衡状态的值） 由于有 h0 K qi 0 q q q i0 i i
T
d h h K qi dt
（ii）
(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型。
L[ f ' (t )] sF (s)
第二章
★
x +
－
被控对象的数学模型
f
e
调节器 (控制器)
u
“1”
执行器
q
★
被控对象
y
z
测量变送环节 (传感器、变送器)
“1”
控制系统方块图
对象特性 设计控制系统 生产正常进行
本章主要内容
第一节 化工对象的描述方法
非参量模型 参量模型 第二节 对象数学模型的建立 机理建模
实验建模
混合建模 第三节 描述对象特性的参数
K Ka H ( s) Qi (s ) Ts 1 s(Ts 1)
a s
h(t ) L1[ H ( s)] L1[
1
Ka Ka KaT ] L1[ ] s(Ts 1) s Ts 1
a
1 T e T
t
a s
1 Ts 1
t 1 T Ka * L [( )] Ka (1 e T ) s Ts 1
南京航空航天大学材料学院
—化工仪表及自动化—
1.一阶线性对象
问题(2)：求右图所示的对象模型（RC电路）
解： 该对象的输入量为ei ，输出参数为eo
ei
R
C
eo
基尔霍夫定律：ei=iR+eo
i=C*deo/dt
(1) (2)
（T=RC）
de0 RC e0 ei dt de0 或T eo ei dt
y (t)表示输出量，x (t)表示输入量，通常n≥m。 通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
/
// /
可忽略输入量 的导数项
a2 y (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
第二节
对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模 机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程， 从理论上来推导建立数学模型。
由于工业对象往往非常复杂，很难完全掌握系统内部的精确关系式。需要引入恰当 的简化、假设等处理。因此机理建模仅适用于部分相对简单的系统。
实验建模——人为施加输入，用仪表记录表征对象特性的物理量随时 间变化的规律，得到实验数据或曲线，表示对象特性。
这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子。
混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。
对象视为一个灰箱子 混合建模=机理建模————————————〉实验建模 已知模型结构＋实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。
T
d h h K qi dt
（ii）
qi
A h
对上式作拉氏变换：
TsH (s) H (s) K Qi (s)
H (s) K Qi (s) Ts 1
q0
对象的传递函数：
这是最典型的一阶对象的传递函数
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃输入，则
Qi (s)
右图：如果出口由泵打出，不同：qi当发生变化时，qo不发生变化。
如果qi＞qo, 水位H将上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制
1.一阶线性对象
问题(1)：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
A h
解： 该对象的输入量为qi ，被控变量为液位h
被控变量
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道。 对象输出：控制通道输出与各干扰通道输出之和。
数学模型：
静态数学模型—静态时输入量与输出量之间的关系。 动态数学模型—对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
数学模型的表示方法：非参量模型和参量模型
1.非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特 点 ： 形 象 、 清晰；缺乏数学方程的 解析性质 （必要时须进行数学处理获得参量模型）。
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
V Ah dV dh q q A q q i o i o dt dt
q0
由于出口流量可以近似地表示为： qo
h R
A
dh h dh T h K qi (T AR、K R) qi dt dt R
e0 ei总结）
典型的微分方程
典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
典型的阶跃响应曲线 qi a
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
第一节 化工对象的特点及其描述方法
对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)
即对象受到e后，y是如何变化的、变化量为多少…… 控制变量＋各种各样的干扰变量 被控对象输入量？？ 通 道：由对象的输入变量至输出变量的 信号联系。
干扰变量 控制变量
被控对象
干扰通道
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系。
常用的描述形式：阶跃反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等
2.参量模型：数学模型用数学方程式描述。 常用的描述形式：微分方程式(组)*、传递函数*、频率特性等
参量模型的微分方程的一般表达式：
an y( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1x(t ) b0 x(t )
一、对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
H
q0
qi
q0
左图：假设初始平衡状态qi=qo，液位保持不变。
出水阀阻力系数
当发生变化时(qi＞qo)，此时水位开始升高 根据流体力学原理，qo与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
因此，qi H qo，直至qi=qo 这种特性称为“自衡特性”。
（i）
dh0 0 dt
h h0 h 记 (h0、qi 0为平衡状态的值） 由于有 h0 K qi 0 q q q i0 i i
T
d h h K qi dt
（ii）
(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型。
L[ f ' (t )] sF (s)
第二章
★
x +
－
被控对象的数学模型
f
e
调节器 (控制器)
u
“1”
执行器
q
★
被控对象
y
z
测量变送环节 (传感器、变送器)
“1”
控制系统方块图
对象特性 设计控制系统 生产正常进行
本章主要内容
第一节 化工对象的描述方法
非参量模型 参量模型 第二节 对象数学模型的建立 机理建模
实验建模
混合建模 第三节 描述对象特性的参数
K Ka H ( s) Qi (s ) Ts 1 s(Ts 1)
a s
h(t ) L1[ H ( s)] L1[
1
Ka Ka KaT ] L1[ ] s(Ts 1) s Ts 1
a
1 T e T
t
a s
1 Ts 1
t 1 T Ka * L [( )] Ka (1 e T ) s Ts 1
南京航空航天大学材料学院
—化工仪表及自动化—
1.一阶线性对象
问题(2)：求右图所示的对象模型（RC电路）
解： 该对象的输入量为ei ，输出参数为eo
ei
R
C
eo
基尔霍夫定律：ei=iR+eo
i=C*deo/dt
(1) (2)
（T=RC）
de0 RC e0 ei dt de0 或T eo ei dt
y (t)表示输出量，x (t)表示输入量，通常n≥m。 通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
/
// /
可忽略输入量 的导数项
a2 y (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
第二节
对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模 机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程， 从理论上来推导建立数学模型。
由于工业对象往往非常复杂，很难完全掌握系统内部的精确关系式。需要引入恰当 的简化、假设等处理。因此机理建模仅适用于部分相对简单的系统。
实验建模——人为施加输入，用仪表记录表征对象特性的物理量随时 间变化的规律，得到实验数据或曲线，表示对象特性。
这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子。
混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。
对象视为一个灰箱子 混合建模=机理建模————————————〉实验建模 已知模型结构＋实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。
T
d h h K qi dt
（ii）
qi
A h
对上式作拉氏变换：
TsH (s) H (s) K Qi (s)
H (s) K Qi (s) Ts 1
q0
对象的传递函数：
这是最典型的一阶对象的传递函数
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃输入，则
Qi (s)
右图：如果出口由泵打出，不同：qi当发生变化时，qo不发生变化。
如果qi＞qo, 水位H将上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制
1.一阶线性对象
问题(1)：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
A h
解： 该对象的输入量为qi ，被控变量为液位h