实变函数论课程教学改革的几点体会
探讨高等院校中实变函数课程的教学改革
探讨高等院校中实变函数课程的教学改革实变函数课程是高等院校数学本科专业重要的理论分析基础课之一，它为学生进一步学习其它课程如微分方程、泛函分析、概率论、复分析、算子理论与算子代数等提供了必不可少的基础知识。
由于其内容具有高度的抽象性、概括性、严谨性、构造性等特点，导致学生普遍感到学习该门课程很困难。
这里，作者结合自己的教学实践，参考其他教师的教学改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教学改革想法。
1 让学生认识到学习实变函数的意义在学习实变函数的过程中，如果学生仅仅是带着应付下考试的心理，那学习这门功课的意义就大打折扣了。
实际上，实变函数内容的抽象性恰能很好地锻炼我们分析问题和处理问题的逻辑思维能力，锤炼我们的细心、耐心、恒心和信心。
学习过程会是一个不断提升自身数学修养的过程。
在这一方面，实变函数课程里每一章都涉及到大量的定理和证明题，要想很好地解决每道题其实还是很困难的。
这时，学生们正确的学习态度和出色的推理能力将起着重要的作用。
在未来的工作岗位上，绝大部分的数学院系的学生将从事和数学有关的工作，探究实变函数的将在他们未来的工作道路上起到潜移默化的作用。
因此，教师在教学过程中应多挖掘行之有效的教学方法，让学生在实变函数的学习过程中领会到其极富创造力的新方法和新思想。
2 教师精讲与学生自学相结合实变函数课程里的内容非常多，如果教师上课时面面俱到，肯定没有时间留给学生去思考，学生就会在这种不间断的灌输中感到疲惫，逐渐产生厌学情绪，进而出现了逃课现象。
教师的作用不能是灌输，而是精选出在整个课程中承上启下、多处应用到的有关概念或定理，精讲典型例子以及常用方法、技巧和思想。
比如，可测函数列的收敛性问题要精讲，但可测函数的构造中的鲁津定理可以略讲，让学生自学，了解其意义。
再如函数的连续、收敛概念的教学，可以指导同学们对比数学分析中的连续、收敛进行自学，找出异同。
在教学过程中，教师应更好地引导学生思考，让他们用自己的方式来理解和记忆。
实变函数课程化难为易的教学探讨
实变函数课程化难为易的教学探讨
实变函数课程作为中学教学内容，极大地拓宽了学生们的数学视野，也弯曲了他们声称变
函数时的思维、改变了对抽象概念的处理方式。
然而，实变函数课程却是学生最“难”的课程，大部分中学生都感到非常困难。
值得庆幸的是，现在教师们结合自身的教学长处已经利用许多方法课程化实变函数，让它
变得更容易学习。
首先，老师要进行全面的诊断测试，以了解学生当前的学习水平，并给
出正确的学习导向。
其次，老师可以设置合理的学习任务，比如通过练习题帮助学生熟悉
实变函数中的概念，并进行适当的讲解，帮助学生加深理解。
最后，老师可以通过实际的
例子来帮助学生更好地理解实变函数的实质，而不是僵化地死记课本，以便将所学的知识
融会贯通。
还有许多有助于课程化实变函数的方法，但做到这一点还需要时间、耐心与技巧，而教师
可以通过不断汲取新知和技能，不断实践，不断尝试，最终达成这一目标。
因此，在当下，教师们要多多努力，尽心尽力做好每一堂课，帮助学生更好地理解和掌握实变函数课程，
实现实践转化，改变不久的将来。
2024年实变函数学习心得
2024年实变函数学习心得随着时代的发展，数学已经成为了一门非常重要的学科，而实变函数作为数学中的一部分，也成为了我们学习的内容之一。
在2024年，我对实变函数进行了深入学习，并且在实践中取得了一些心得和体会。
首先，我认识到实变函数的重要性。
实变函数是数学中的一个重要分支，它研究数学中的实数和实数函数的性质。
实变函数有许多重要的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都起着关键作用。
因此，深入了解和掌握实变函数的概念和性质，对于我未来的学习和发展都将起到很大的帮助。
其次，我学会了对实变函数进行分析和研究。
实变函数的研究需要具备一定的分析能力，我通过学习分析学等相关课程，提升了自己的分析思维和分析能力。
在实践中，我发现通过分析实变函数的导数、极限和连续性等性质，可以揭示实变函数的一些重要特征和规律。
因此，在学习实变函数的过程中，我注重培养自己的分析能力，并且在实践中不断加以应用。
另外，我还注意到实变函数的多样性。
实变函数涉及到了很多不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数都有其独特的性质和应用。
因此，在学习实变函数时，我注重对不同类型函数的理解和掌握。
通过学习和掌握这些不同类型函数的性质，我可以更好地理解实变函数的整体特点和规律，为解决实际问题提供更多的可能性。
此外，我还通过实践应用来巩固和深化对实变函数的理解。
实变函数作为一个理论性的学科，理解和应用都至关重要。
在学习实变函数的过程中，我经常通过解决一些实际问题，将所学的理论知识应用于实际情境中。
这样不仅能够巩固自己对实变函数的理解和掌握，并且能够提高自己的解决实际问题的能力。
最后，我发现培养良好的数学思维对于学习实变函数非常重要。
数学思维是一种抽象、逻辑和创造性思维，对于学习实变函数的深入理解和应用至关重要。
在学习实变函数的过程中，我通过解决一些复杂的数学问题，培养和提升了自己的数学思维能力。
这样不仅能够更好地理解和掌握实变函数的概念和性质，并且能够在解决实际问题中发挥更大的作用。
关于实变函数课程的教学改革
关于实变函数课程的教学改革实变函数在数学专业中的地位非常重要，是培养本科生数学素养不可缺少的一门课，根据实变函数的课程特点和学时有限的实际情况，从精选教学内容，教学方式改革，教师队伍建设，考核方式的改变，四个方面进行教学探索，以达到提高教学效率的目的。
实变函数教学改革数学实变函数在数学专业中的地位非常重要，是培养本科生数学素养不可缺少的一门课，但是在实际教学中，我院数学专业的高分比较低，文化基础知识“先天不足”，学生的接受能力差，教学内容较多，课时有限，结果学生认为实变函数难学，教师感觉难教，因此实变函数的教学改革势在必行，本文从精选教学内容，教学方式改革，教师队伍建设，考核方式的改变，四个方面进行了实变函数教学的探索。
一、教学内容的精选近几十年来，出现了很多实变函数的新教材，其内容，体系和风格截然不同，对于数学专业的学生只有一个学期的时间来学习这门课，面对实变函数知识体系庞大，内容抽象，难理解，学时有限的实际情况，不论选择哪一本书进行教学，都需教师对教学内容进行选择。
如果讲授的内容过多，有限的时间，学生掌握不了，如果讲授内容太少，会对学生继续求学深造造成不利的影响。
基于以上考虑，笔者通过对几种教材的比较，最后制定出了以下授课内容：（1）对等与基数，可数集，不可数集，集合的概念和运算，让学生利用自习时间自学。
（2）度量空间，聚点，内点，开集，闭集，完备集，直线上的开集，闭集，完备集的构造。
（3）外测度，可测集，可测集类，不可测集留给学生自学。
（4）可测函数的性质及构造，叶果洛夫定理，依测度收敛。
（5）勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，勒贝格积分的几何意义，一般可积函数，积分的极限定理，有界变差函数，单调函数的可微性。
二、教学方式的改革1、课堂上注重与学生互动，提高学生学习积极性2、改进课堂讲解方法3、合理安排教学时间，采用分层教学的方法，培养学生的数学能力。
由于学生的基础，智商，能力等各方面的差异，例如有些学生抽象思维能力较强，适宜从事理论研究，继续攻读学位。
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。
《实变函数》课程教学改革探索
《实变函数》课程教学改革探索实变函数课程是高等学校数学本科专业重要的专业基础课之一，通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握贝格测度和勒贝格积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为学生进一步学习现代数学理论打下基础。
实变函数中的数学思想与方法密集，是开展理论和应用研究必不可少的基础课程。
同时，它又是数学分析课程中许多重要概念的加深与拓广，融合在实变函数理论中的思想方法和数学语言对学生的数学素养与能力培养有着举足轻重的作用。
与数学分析、高等代数等课程相比，实变函数内容更抽象，理论更深刻，论述更精密，普遍认为是数学专业本科阶段最难学习的课程之一。
作为任教老师，应当认真研究这门课的教法，上好这门课，使学生能真正理解这门课的思想实质。
随着中国高校十多的快速发展，高等教育已从精英阶段迈入了大众化发展阶段。
新升本的地方院校学生来源分布广，生源质量与老牌本科院校的相比还是有一定差距。
目前，实变函数的课程体系、教学内容和教学方法都还是沿用精英教学时期的，就此，结合自己的教学经历，参考其他教师的教学改革研究成果 [1-8]，提出了一些教学改革探索。
一、着力做好基本概念和基本理论的教学注重实际应用背景知识及几何直观的解释，强调讲清楚概念与方法的来源，使抽象概念的引入具体生动，克服学生在数学上认知与理解的困难。
注重方法、技巧及思维的启发引导，强化习题训练，巩固深化基础知识和基本方法，指导学生解决实际应用问题。
（一）要善于运用类比方法，讲透基本概念实变函数课程的基本概念特别多，而且比较抽象，因此，在基本概念的教学过程中，要讲究一些教学方法，要思考怎样讲解才能使得学生更容易理解。
因为实变函数课程是数学分析课程的继续与深化，所以许多概念这两门课程之间都有很多相似之处。
从而在讲解一些概念时，可以把数学分析中相关的概念先复习一篇，然后通过类比的方法给出实变函数课程中的新概念。
比如，在讲解依测度收敛时，如果直接写出它的定义形式，学生一时是比较难接受的，我们可以通过类比的方法，先复习数学分析中的收敛的定义，然后给出依测度收敛的定义；在讲解可测函数的积分的概念时，老师可以先给出数学分析课程中闭区间上连续函数定积分的定义，然后讲清它们之间的联系和区别。
实变函数论课程教学改革的几点体会5页word文档
实变函数论课程教学改革的几点体会实变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，主要由法国数学家Lebesgue在l9世纪末20世纪初创立。
它是普通微积分学的继续，其目的是为了克服牛顿和莱布尼兹所建立的黎曼积分存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维和数学表达能力，加深对数学分析知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识。
课程主要内容是以点集为基础的集合论、Lebesgue测度论与可测函数以及Lebesgue积分论。
该课程是学习现代数学的基石，是连接近代数学与现代数学的桥梁。
该课程的特点是：概念性强、理论精密、内容抽象且严谨、应用广泛；该门课程几乎没有什么计算，其内容就是由概念、定理与推论所组成的一个理论体系，往往是介绍了某个概念之后，接着是一连串的定理、推论及晦涩、难懂的证明。
介绍的概念有较强的抽象性、突然性和高度的概括性，较难理解。
定理证明过程技巧性高、逻辑性强、难度大，课后的习题基本上是一些结论应用的证明题，有的甚至是某个结论的延伸，解题有较高的技巧性和难度，所以该门课程的特点可以概括为：抽象、枯燥、难懂。
为更好地促进该课程的教学，周其生在分析实变函数课程教学中容易产生的问题以及学生学习这门课程常见困难的基础上，对这门课程教改的做法提出了几点探讨。
许静波和张国芳在教学模式上进行了一些改革尝试。
兰尧尧探讨了有关实变函数教学的方法。
在本文，笔者结合自身的教学经验，给出了几点教学上的体会。
一教学体会1.精简传统内容，渗透现代教学观点遵循“少而精，宽而浅”的基本原则，采用逐步渗透现代数学观点、知识的方式。
具体对集合与基数的内容要精讲，半序的内容简述；重点介绍Lebesgue测度的基本内容，对一般测度论、复测度论知识不做具体要求；可测函数论中的鲁金函数论思想应重点介绍，可测函数列的收敛关系应展开讨论，Lebesgue积分与（R）积分的关系，重积分及微分理论宜要求泛而不精。
对高校实变函数教学的几点建议
实变函数作为高校数学专业的基础课 ， 具有十分重要 的现实 意义 ， 它严密而抽象 的方法与理论渗透 于许多应用性 十分广泛的
会课堂教学的主要 内容与核心内容。 ２ 在实变函数的教学过程 中， ３ 教师应注意在课堂上吸引学生的 注意力 ， 想方设法提高学生参与课堂学习的兴趣 例如有些概念 经常容易混淆 ， 教师 可以用设 问的方式 提出 ， 而不是 直接讲 给学生 ， 这样可 以激 发学 生的求知欲 ， 使学生 主观 能动性得到充分发挥 。教师还应鼓励学生进行大胆的思考创新 ， 这有助于教学质量与学生成绩 的提高 。需要注意的是 ， 在设置问 题时要始终坚持循序渐进的原则 ， 不能一蹴而就 。设置问题必须 难易适度 ， 不仅能够激发起学生 的学 习兴趣 ， 让学生在挑战 中获 得学 习实变 函数 的乐趣 ， 同时还要确保 问题不能过难 ， 以免学生 在长时间不能解决难题而失 去学 习实变函数的兴趣 。 ３ 在实变函数的教学过程 中运用比较法 实变 函数包括主要 包括 Ｌｂ ｓｕ 积分论 、ｅｅｇ ｅ ｅｅｇ ｅ Ｌ ｂｓｕ 测度论与
性质 以及一些重要定理时 ， 都可以先对 Ｒｅ ａｎ ｉ ｎ 积分理论 的相关 ｍ
内容进行 回忆 ， 然后说明异同点 ， 通过比较来讲解 ， 使学生更加深 刻地理解实变函数 的各种理论。
４ 教 师 应 注重 习题 课 及 基 本概 念 的 讲 解
密， 是一种思维艺术 ， 以通过 学习实变函数 可以使学生逻辑思 所
效率。本文通过 对实变函数的教 学方法进行粗浅的分析 ， 并发表一些浅见， 以供大家参考。
关键词 ： 高校 实 变函数 教 学 中图 分 类号 ： ６ ２ Ｇ ４ 文献 标 识 码 ： Ａ
１ 引 言
来 ， 过 采 用 设 问 、 问 以及 课 堂 讨 论 的方 式 ， 学 生 去 思 考 、 通 提 让 领
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会实变函数课程是一门理论性和应用性都很强的专业基础课。
学好它不仅对本专业学习和工作有重要意义，而且还对整个自然科学的发展和技术进步有重大影响。
从内容上看，实变函数内容包括了初等函数与数列极限、连续函数的概念及其性质、解析函数的概念及其性质、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的微分法、隐函数存在定理与泰勒公式、复合函数与反函数、洛必达法则、函数极值、最大（小）值原理、函数的单调性与极值、极坐标系与参数方程、特殊函数、广义积分、曲线积分与曲面积分等知识。
从教学内容的深度和广度来说，它要求学生掌握自变量的分布，求函数极限的方法，解析和隐函数存在定理的应用等重要知识点。
因此，学好这门课程是非常重要的，可以帮助我们解决许多实际问题，具有非常重要的现实意义。
但是，该课程也存在着许多的难点，给教师的教学带来了困难，如何让学生既学得轻松又学得扎实呢？这需要我们每位任课老师在今后的教学中不断探索、改革和创新。
根据多年的教学经验，我认为只要处理好以下几个关系，就能取得较好的教学效果：学好这门课程需要学生具有极强的抽象思维能力、观察事物的敏锐性和综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，这些能力的培养是贯穿于整个教学过程的始终。
在授课过程中，老师应注意结合大学数学知识和相关知识，不仅从定义的角度引出问题，同时应通过实例或习题来使抽象的概念形象化，加深学生对问题的理解。
在教学中，适当介绍一些研究实变函数的学者的背景资料，以激发学生的学习兴趣，提高他们的钻研精神，也可以适当地介绍一些数学史方面的知识，以激励学生继承前人的优良传统，鼓励学生勇于开拓。
教师还应注意将理论知识与生活实际联系起来，鼓励学生用所学知识去解释日常生活中的现象，进行开放式的讨论，增强学生的动手操作能力。
教学中，尽量避免过多地使用习题，更不应该把学生搞得太疲劳，应结合教学内容安排适当的课堂练习。
平时作业，除作业题外，最好由老师精心选择一些综合性比较强的题目，这样不仅可以促进学生对知识的融会贯通，加深对知识的理解，同时也可以训练学生的逻辑推理能力。
实变函数教学中的几点体会
实变函数教学中的几点体会高文华1，郭继东2（1.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046；2.伊犁师范学院 数学系，新疆 伊宁 835000）摘要：针对实变函数课程抽象、枯燥等特点，要善于将严谨的数学语言与通俗形象的教学语言相结合，善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣，适当加强学生的习题训练，注意实变函数中反例的作用，注意微观和宏观兼顾.关键词：实变函数；教学；反例；Lebesgue积分中图分类号：O174.1文献标识码：B1 引 言实变函数课程是我国高等学校数学与应用数学专业的重要专业课程，该课程是数学分析的一门后继课程[1-4]. 它一方面是数学分析理论的深化和继续，另一方面也是学生学习泛函分析、概率论、拓扑学、偏微分方程和调和分析等现代数学的基础，因此具有承上启下的作用. 实变函数课程不仅能够丰富学生现代分析的知识结构，而且可以大大提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题能力. 但是实变函数一向被认为是数学专业本科阶段最难学的课程之一. 许多数学本科学生都对这门课程不感兴趣，甚至望而生畏. 这不是因为学生不努力，而是因为该课程相对数学分析等基础课程，在概念和方法上都有较大飞跃，更加抽象和更加理论化，习题非常难做等特点. 学习不到一个月，不少学生就对学习这门课程丧失了信心，更谈不上什么兴趣了，结果后期学习情况就会非常糟糕. 如果一个教“实变函数”的教师多从学生角度出发，适当运用一些教学理论和技巧，尽量减少该课程特点对学生学习的负面影响，会使教学效果事半功倍. 首先要充分了解学生的原有知识结构和原有数学认知能力，只有在这个基础上才能够做到因材施教，才能够把握给学生讲解到如何细致的程度教学效果好. 在学生学习过程中，要让学生感觉你讲授的内容就像“树上垂下来的果子，需要跳一跳才能够得到”. 这样学生既有成就感，又需要一定的努力才学得懂，从而培养提高了数学能力. 关于实变函数的教学体会，杨钟玄[5]，周性伟[6]，徐西安[7]等人都在他们的文章中谈了自己的体会，我们很认同他们的体会和建议．本文结合我们的教学实践，针对实变函数课程的特点，对如何改善实变函数教学谈几点体会. 不妥之处请同行指正.2 要善于将严谨的数学语言与通俗形象的教学语言相结合语言的严谨性是数学语言的特点之一，在实变函数教学过程中要坚持概念和定理叙述的严谨性. 如果总是严谨而枯燥的数学语言势必会使学生容易产生厌倦感觉，从而使教学效果大打折扣. 因此在不失基本的严谨性基础之上，可以对比较难理解的概念、定理和证明过程用比较通俗而形象的语言进行解释.例如在讲述叶果洛夫定理时，定理板书后可以用如下通俗语言说明该定理：在有限测度集合上的几乎处处收敛函数列一定是“差不多”一致收敛. 又如在讲述鲁津定理时，可用如下通俗语言说明该定收稿日期：2007—04—04基金项目：新疆大学校院联合项目；新疆高校优秀青年学者奖励计划项目(XJEDU2005E06).作者简介：高文华(1974—), 男, 山东胶州人, 讲师，2005级博士生, 主要从事调和分析研究；郭继东(1965—)，男，山东郓城人，教授，硕士生导师，主要从事函数空间理论研究.第2期 高文华，郭继东：实变函数教学中的几点体会 59 理：几乎处处有限的可测函数其实“差不多”是连续函数.一个通俗的“差不多”就形象地解释了一串枯燥的数学语言“δ∀>0, 00,(),E E m E E δ∃⊂−< 使得命题P 在集合0E 上成立”，更加深了学生对定理的理解.在经典习题讲解中可以用通俗语言加强学习实变函数的意义. 比如在讲解习题“[a,b]上的实函数全体的势为2C ”和“[a,b]上的连续实函数全体的势为C ”后，可以通俗地讲：我们发现，经常见到的连续实函数在实函数中是“极少数的”，就像我们前面习题中反映的经常见到的代数数（包含很多、35无理数）在实数中是“极少数的”的一样. 实变函数就是要以占有“绝大多数”的连续性质不好的实函数作为研究对象，这样数学分析的许多定义和工具都“不好使了”，必须建立适用有“绝大多数”的连续性质不好的实函数的积分理论，这是我们这本书的主要任务.3 要善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣兴趣是学生主动学习的内部驱动力，是学习积极性中最现实、最活跃的刺激因素，也被认为是最好的老师. 教师是使学生产生兴趣的主要源泉，教师要善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣.3.1 通过类比构建的方法激发学生学习兴趣实变函数的Lebesgue 积分理论框架对学生来说比较晦涩难懂，直接平铺直叙令学生难以接受. 运用类比构建的方法可以联系学生熟悉的数学分析中Riemann 积分知识体系类比出Lebesgue 积分理论.例如，集合上连续函数的概念是区间上连续函数概念的推广. 由于区间只有内点和不是内点的聚点组成，而集合还可能有孤立点，甚至全部都是孤立点，因此它们有联系又有区别：函数f(x )在区间内一点0x 连续的定义:0,0,εδ∀>∃> 0(,)x U x δ∀∈, 有|f(x )−f(0x )|<ε (1) 这时由于0x 是区间内点，领域0(,)U x δ包含于区间内，因此要考察0(,)x U x δ∀∈.对于一般集合E ，0x E ∈，领域0(,)U x E δ⊂不一定成立，因此有：0,0,εδ∀>∃> 0(,)x U x E δ∀∈∩, 有|f(x )−f(0x )|<ε (2) (2)与(1)的差别仅仅是(2)中只需要求0(,)U x E δ∩中的x 就可以了. 但是，这个小小的改变，可以得到函数在孤立点上连续的结论. 因此数列是定义在自然数集上的连续函数，这给连续函数概念增添了新的内容. 很明显，如果直接写出(2)中领域形式的定义，学生一时是难以接受的.3.2 适当讲述一些定理在数学中的地位和作用，既可以激发学生学习兴趣，又可以加强学生对该定理的重视在讲述连续统假设时可以提出这是著名23问题中之一，并简单介绍1901年数学家大会希尔伯特所做的著名23问题报告以及其对现代数学的影响，这样可以充分激发学生学习该课程的兴趣. 以故事形式讲解理论的来龙去脉是激发学生学习兴趣的好方法．1854年，德国著名数学家Riemann 终于完成了积分理论，从理论、方法和应用都非常完整. 但是对一些和简单的函数，如Dirichlet 函数在Riemann 意义下就不可积. 为此很多数学家经过近半个世纪的探索，终于在1902年由当时年仅26岁的法国数学家Lebesgue 揭开了这个难题. 他是怎么做的呢？他本人用形象的一段话揭示了Lebesgue 积分的实质：偿还一笔钱，可以从口袋中摸出不同面值的钞票，还给债主，直到还清，这叫Riemann 积分. 也可以按照不同面值的钞票还给债主，这叫Lebesgue 积分.又如，在讲述Lebesgue 控制收敛定理时，指出这是Lebesgue 积分理论的最成功方面之一，正是因为该定理要求的条件很弱而且验证起来方便容易才使得Lebesgue 积分理论被大多数数学其他分支广泛应用．学生就会对该定理尤其重视，并积极领会其条件和结论，而且做相关题目时产生很大兴趣．3.3 运用图形进行直观解释也会激发学生学习兴趣例如，在前言中，回顾Riemann 积分定义从而引出Lebesgue 积分定义时，不必将 Riemann 积分定义完全板书出来，只要画出图形对Riemann 积分定义进行回忆，再对照图形把对x 轴进行分割建立和式变成对y 轴进行分割建立和式S(f )=11({()})ni i i i i m E c f x c ξ+=<≤∑，其中1i i i c c ξ+<≤.60 伊犁师范学院学报（自然科学版） 2007年 进而提出一般点集的“长度”如何定义？引出我们要去学习Lebesgue 测度论. 当f(x)满足什么条件时m(1{()}i i i E c f x c +<≤) 具有意义？进一步引出将要学习的Lebesgue 可测函数理论. 这种直观说明比起一大堆数学符号的推导更易使学生明白和感兴趣.又如在证明命题：任何无限集合A 并上一个有限或者可数集合B 都不会改变它的势和Bernstein 定理时，直接逻辑推理证明，学生会觉得云里雾里的，不知道为什么要这样去做，如果在分析证明思路时，运用集合图形的方法可以使学生更好地掌握证明思路.3.4 运用恰当的问题设置各种悬疑，是激发学生征服欲和兴趣的一个有效手段教师要科学地安排提问，提问要有启发性，经过引导，循序渐进，由浅入深，最终使学生通过思考、分析、推理得出结论和答案.例如在学习完有限个可数集的并仍是可数集，及时提出问题：有限多个可数集合的并还是可数集合，那么无限多个可数集之并是否还是可数集？一石激起千层浪，学生们积极思考，猜测. 有些学生回答：“还是可数集”；有些学生回答：“不一定是可数集了”；还有学生不知是什么答案. 这样就大大激发了他们的学习兴趣. 有个预习过的学生回答：“是可数集”. 这时可以进一步提出问题：“无限集合的势是不是就一种？”该学生立刻补充道：“不对！是可数个可数集合的并还是可数集合”. 根据学生的回答适时地引出下面的定理：可数个可数集合的并集仍是可数集合. 并指出该学生只回答对了一半，另一半我们在学习完后面的连续势以后就可以回答了.4 注意实变函数中反例的作用对事物要从多个角度和方面去认识才能够做到全面，数学中的概念和理论常需要从正反两方面才能够认识透彻. 实变函数中多是概念和理论的正面叙述，学生往往很难吃透概念和理论. 反例对学生全面理解概念和理论是非常重要的.数学中的反例就是用以否定错误命题而举的例子. 反例可分为三类：用来否定似是而非的命题的，用来说明命题和定理的条件和结论是不可更改的，用来纠正直观上可能产生的错觉的.有些反例是经典的，比较难的. 比如Lebesgue 不可测集合、依测度收敛而不几乎处处收敛的函数列、几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列、Fatou 引理中使得等号不成立的例子和当E 的测度不是有限时，叶果洛夫定理不成立的例子等，在教学中除了要讲清楚书中这些反例，还可以要求学生按照这些反例的构造思路模仿类似的反例. 这样可以大大提升学生对这些重要知识的理解深度.还有许多概念以及它们的联系更要知道一些反例才能理解透彻. 如测度为零的集合必是可数的集合，反例是Cantor 集合；有限个完备集的并还是完备集，可数个完备集的并集也是完备的，反例：P n =[11,1n n+]（n=1，2，…）都是完备集，但1nn P∞=∪=(0,1]不是完备集；无内点的集合测度是零，反例是[0,1]内的无理点集合；不可测函数：f(x)=1，[0,1]x E ∈−；f(x )=−1，x E ∉，E 是[0，1]中的一个L 不可测子集.5 适当加强学生的习题训练.实变函数的习题非常难做，有两方面的原因：一是习题都是证明题，它需要对新建立的概念和结论在一定程度的融会贯通后才能做；另一个原因是题目很少重复，基本上是一题一个类型，要不很长时间做不出，要不做出就短短几行. 实变函数习题的难度是阻碍学生继续有信心学习下去的一个重要方面，所以一定要加强学生习题训练. 习题课是一个重要的教学环节，教师一定要重视它. 首先要精心布置作业. 既不能布置很多学生都不会做的难题目，也不能全部是简单题目，要让学生努把力就可以做出大部分题. 这样既不打击学生学习积极性也要他们有所收获. 另外，布置作业时，对较难的题目要给出提示. 其次就是讲解习题方法要多样化. 一部分习题要详细讲解，并要求学生照葫芦画瓢做类似的题目. 另外一些习题可以和学生一起讨论思考，引导学生自己动手解决. 还可以对一些经典的题目要学生先在黑板上做，再进行适时分析和评论，提高学生的书面表达能力，以达到大部分学生都有收获的目标. 最后，为了保证一定的习题数量，需要进行一些课外辅导，把习题课没有时间处理的习题和疑问集中讲解.6 教学中注意微观和宏观兼顾有些学生在学习中对教材中很多的细节不容易搞懂，尤其是证明中的细节要花很多时间和精第2期高文华，郭继东：实变函数教学中的几点体会61力，他们往往把每个细节弄懂就以为自己都懂了. 可是他们对知识的结构、各种概念和定理的联系以及整个教材的脉络却不去考虑. 还有些学生对知识的结构、各种概念和定理的联系以及整个教材的脉络很感兴趣，也比较清楚，经常可以看到他们在同学们面前滔滔不绝，口若悬河. 可是他们对很多细节以及定理的证明马马乎乎，不去推敲，数学的分析能力、构造能力等都没有进步. 前者只是注意微观而忽视了宏观；后者注重宏观而忽视了微观. 这两种倾向都不可取. 其实客观和微观是相互制约，相辅相成的. 微观的细节是宏观把握的前提，没有把细节弄明白，宏观的把握就是空中楼阁；宏观的把握对细节的理解有指导作用，在宏观的把握指导下才会对细节的前因后果领会更加透彻. 所以在教学过程中要注意微观和宏观兼顾. 在介绍概念和定理前，要做知识联系的铺垫，讲清楚为什么要讲这个概念和定理；在详细讲清楚概念和定理证明后，可以经常性地总结概念之间的联系，定理的意义和联系，并对定理证明的思路作一步分析，加深理解.例如讲L可测集定义时，直接给出Caratheodory 条件就比较突然，学生往往不明白为什么. 之前要充分讲清楚外测度是不能作为集合“长度”（面积、体积）概念的推广，因为当外测度具有“长度”（面积、体积）所具有的可加性后，就具有可列可加性，从而导致例1[2](P33）的矛盾. 因此要设置适当条件作为“筛子”，滤去不具有可加性的集合，把剩下的集合的外测度称为L测度. 那么，给出什么样的“筛子”（条件），才是恰当的呢？首先应该对任何长方体I关于E所分开的集合具有可加性，再次证明这与对任何集合T关于E所分开的集合具有可加性是等价的. 有了这些铺垫，就自然地给出满足Caratheodory条件的集合是L可测集合的概念了. 之后要说明：1. L测度就是外测度，不是新定义的；2. 任何集合都有外测度；3. 不是任何集合都有测度，只有满足Caratheodory条件的集合的外测度才是测度；4. L可测集合具有所有外测度所具有的性质. 这些说明对学生理解L测度概念是有意义的. 参考文献：[1]周民强，编. 实变函数[M]. 北京：北京大学出版社，1985.[2]曹广福，编. 实变函数论与泛函分析(上册)[M]. 北京:高等教育出版社，2004.[3]程其骧，等编. 实变函数与泛函分析基础(上册)[M]. 北京:高等教育出版社，1983.[4]郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要(第一册)[M]. 北京:高等教育出版社，1989.[5]杨钟玄. 浅谈实变函数论教学中应当注意的几个问题[J]．天水师范学院学报，2004，24(2) ：71-73.[6]周性伟. 讲授实变函数课的点滴体会[J]．高等理科教育，2000 (1)：42-45.[7]徐西安. 改进实变函数教学的一些方法[J]．山东教育学院学报，2006(4)：103-105.[责任编辑：张建国]Some Experience in Teaching Real Variable FunctionGAO Wen-hua1, GUO Ji-dong2（1.College of Mathematics and System Sciences, XinJiang University, Urumqi 830046, Xinjiang ,China；2. Department of Mathematics, Ili Normal University, Yining 835000, Xingjiang, China）Abstract: Accordance with abstract, monotonous and other properties of real variable function course, authors put forward some suggestions on how to improve teaching effect of Real Variable Function.Key words: real variable function; inverse example; Lebesgue integral。
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实变函数论课程教学改革的几点体会
【摘要】本文针对实变函数论课堂的特点，结合笔者自身的教学经验，提出了该课程课堂教学改革的几点体会，以期对提高该课程的教学质量起到一定的促进和交流作用。
【关键词】实变函数论 lebesgue积分教学改革
【中图分类号】o174.1 【文献标识码】a 【文章编号】1674-4810（2013）08-0026-02
实变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，主要由法国数学家lebesgue在l9世纪末20世纪初创立。
它是普通微积分学的继续，其目的是为了克服牛顿和莱布尼兹所建立的黎曼积分存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维和数学表达能力，加深对数学分析知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识。
课程主要内容是以点集为基础的集合论、lebesgue测度论与可测函数以及lebesgue积分论。
该课程是学习现代数学的基石，是连接近代数学与现代数学的桥梁。
该课程的特点是：概念性强、理论精密、内容抽象且严谨、应用广泛；该门课程几乎没有什么计算，其内容就是由概念、定理与推论所组成的一个理论体系，往往是介绍了某个概念之后，接着是一连串的定理、推论及晦涩、难懂的证明。
介绍的概念有较强的抽象性、突然性和高度的概括性，较难理解。
定理证明过程技巧性高、逻辑性强、难度大，课后的习题基本上是一些结论应用的证明题，
有的甚至是某个结论的延伸，解题有较高的技巧性和难度，所以该门课程的特点可以概括为：抽象、枯燥、难懂。
为更好地促进该课程的教学，周其生在分析实变函数课程教学中容易产生的问题以及学生学习这门课程常见困难的基础上，对这门课程教改的做法提出了几点探讨。
许静波和张国芳在教学模式上进行了一些改革尝试。
兰尧尧探讨了有关实变函数教学的方法。
在本文，笔者结合自身的教学经验，给出了几点教学上的体会。
一教学体会
1.精简传统内容，渗透现代教学观点
遵循“少而精，宽而浅”的基本原则，采用逐步渗透现代数学观点、知识的方式。
具体对集合与基数的内容要精讲，半序的内容简述；重点介绍lebesgue测度的基本内容，对一般测度论、复测度论知识不做具体要求；可测函数论中的鲁金函数论思想应重点介绍，可测函数列的收敛关系应展开讨论，lebesgue积分与（r）积分的关系，重积分及微分理论宜要求泛而不精。
2.趣味性教学，改变传统教学方法
实变函数论课程给学生的印象就是：难懂、抽象、枯燥。
要高质量地完成该课程的教学，就需要教师从教学方法上下工夫，增加趣味性，减少枯燥性，激发学生的学习热情。
第一，趣味教学，激发学习热情。
授课过程中，通过列举一些与生活相关的实例来阐明一些抽象、含混晦涩的定理和定义。
例如：第一章第五节中“不可数集合中有一个定理”是为了说明
不可数集合中没有最大的基数，只有更大的基数。
那么在证明这个定理时，学生们存在两个难懂的问题：第一个，不理解集合的元素和集合的子集存在的对应关系，这时，可以采取一个苹果和一堆苹果进行比较学习。
第二个，不理解证明采用的悖论，可以给学生们举例：一位理发师声称他的工作是给本镇上所有不给自己刮脸的人刮脸；同时，他绝不给那些给自己刮脸的人刮脸。
忽然有一天早上，当他将要给自己刮脸时，想到一个问题：“我该不该给自己刮脸呢？”——理发师的悖论，它同这个证明的思想是完全一致的。
因为如果他给自己刮脸，则据他声称的前一半，他不应给自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，则据他声称的后一半，他又应给自己刮。
于是，理发师陷入矛盾之中，学生不仅被这个故事引得哄堂大笑，还从中领会了“矛盾律”的深刻内涵。
收到的效果远远超出对这个定理的抽象证明。
又如，为了帮助学生理解无限与有限的本质，在建立（a，b）于[a，b]之间的一一对应关系的时候，乍一看，这明显不能构成对等关系。
怎么办呢？这时引导学生们思考：把区间中的元素找出来。
此时，都会把区间中的有理数列出来，因为它是可数的；然后把开区间的有理数与（a，b）以及[a，b]中的有理数去配对，由于无限集合的特点，我们可以构成它们之间的对应的关系。
剩下就是（a，b）中的无理数与无理数对应了。
以lebesgue 本人的一个生动形象的描述：“我必须偿还一笔钱，如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债
主直到全部还清，这就是黎曼积分，不过我还有另外一种做法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”来介绍lebesgue积分与riemann
积分的区别时，这样学生们更容易理解，又容易掌握两种积分的区别。
第二，采用多种教学方法，讲与学相结合，多媒体辅助教学。
将现代教学手段应用于本课程的教学中，发挥多媒体的直观性和形象性，通过用特殊情况下的图形来帮助理解抽象的东西，如一般集合中的许多结论，先用区域或某些特殊图形来理解它，就可猜测出其结果，然后再去证明。
通过选取适当章节让学生自学，组织学生开展讨论，教师参与质疑，引导学生变被动为主动；开展开放式教学，拓宽教学形式。
第三，改变传统的作业模式，让学生自己成为作业的主人。
以往的教学中，都是教师每讲完一节或一章，布置一定数量的习题，让学生们课后完成。
然后老师批改，针对作业中存在的问题在课堂上予以讲解。
但现在学生们手中的习题资料很多，网络资源丰富。
抄袭作业的情况不时会出现，因此从作业中无法反映他们的学习情况。
此时，可以让学生自己当作业的主人，每章结束后抽取一定数量的有代表性的习题，让学生们先准备，然后由他们来讲解。
这样，既可以锻炼学生的胆量，又可检查学习的情况，同时能调动学生学习的积极性。
第四，培养学生们的创新意识，加强数学应用思维训练。
实变函
数中的lebesgue积分就是在黎曼积分的思想上，通过逆向思维得出的，在教学过程中，充分抓住这一核心，有意识地培养学生的创新意识。
在讲解完基数后，在基数a和c中是否还有别的基数，让学生们思考，有意识地加强数学思维。
二结束语
本文总结了实变函数论这一经典课程在课堂教学中的几点体会。
在教学实践中还会有许多新问题出现，需要根据不同的实践情况随时调整教学方法。
参考文献
[1]程其襄、张奠宙.实变函数与泛函分析基础（第三版）[m].北京：高等教育出版社，2003
[2]周其生.《实变函数》课程教学改革初探[j].安庆师范学院学报（自然科学版），2000（2）：44～46
〔责任编辑：庞远燕〕。