电磁场理论习地的题目

电磁场理论习题

一

1、求函数ϕ=xy+z-xyz 在点（1，1，2）处沿方向角π

α=

3，

4π

β=

，

3π

γ=

的方向的方

向导数.

解：由于 M

ϕ

∂∂x

=y －

M yz = -1

M

y ϕ∂∂=2xy －(1,1,2)

xz =0

M

z

ϕ∂∂=2z

(1,1,2)

xy -=3

1cos 2α=

，cos 2β=，1

cos 2γ=

所以

1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=

∂∂γϕβϕαϕϕ

z y x l

M

2、 求函数ϕ＝xyz 在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。

解：指定方向l 的方向矢量为

l ＝(9－5) e x +(4－1)e y +(19－2)e z ＝4e x +3e y +17e z

其单位矢量

z

y x z y x e e e e e e l 314

731433144cos cos cos +

+=

++=γβαο

5

,

10,

2)

2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂M

M

M

M

M

xy

z

xz

y

yz

x

ϕ

ϕϕ

所求方向导数

314123

cos cos cos =•∇=∂∂+∂∂+∂∂=

∂∂οl z y x l

M

ϕγϕβϕαϕϕ

3、 已知ϕ=x 2+2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。

解：由于ϕ∇=(2x+y+3) e x +(4y+x-2)e y +(6z-6)e z 所以，

(0,0,0)

ϕ∇=3e x -2e y -6e z

(1,1,1)

ϕ∇=6e x +3e y

4、运用散度定理计算下列积分：

2232

[()(2)]x y z s

xz e x y z e xy y z e ds +-++⎰⎰g ÒI=

S 是z=0 和 z=(a 2-x 2-y 2)1/2所围成的半球区域的外表面。 解：设：A=xz 2e x +(x 2y-z 3)e y +(2xy+y 2z)e z 则由散度定理Ω∇⎰⎰⎰⎰⎰g g Òs

A ds=Adv

可得

2I r dv

Ω

Ω

Ω

=∇==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰g 222Adv (z +x +y )dv

224

4

2

20

sin sin a

a

r drd d d d r dr π

π

π

π

θθϕϕθθ==⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰

525a π=

5、试求▽·A 和▽×A:

(1) A=xy 2z 3e x +x 3ze y +x 2y 2e z

(2)

22

(,,)cos sin z A z e e ρρφρφρφ=+ (3 ) 211

(,,)sin sin cos r A r r e e e r r θφ

θφθθθ=++

解：（1）▽·A=y 2z 3+0+0= y 2z 3

▽×A=23232(2)(23)x y

x y x e xy xy z e ∂∂∂

=---∂∂∂x

y z

23322

e e e x y z xy z x z x y

(2) ▽·A=()[()]z A A A z φρρρρρφ∂∂∂

++∂∂∂1 =33[(cos )(sin )]

ρφρφρρφ∂∂+∂∂1=3cos ρφ

▽×A=ρφ

ρ

φρρρφρ∂∂∂∂∂∂z z

e e e 1z A A A =

221

cos 0

ρ

φ

ρρρ

φρφρφ∂

∂∂∂∂∂z e e e z sin

=

cos 2sin sin z

e e e ρφρφρφρφ-+

(3) ▽·A=22

(sin )()1

[sin ]sin r A A r A r r r r φθθθθ

θφ∂∂∂++∂∂∂ =23

22sin cos ()()1(sin )[sin ]sin r r r r r r r θθ

θθθθφ∂∂∂++∂∂∂ =22

22

12[3sin 2sin cos ]3sin cos sin r r r θθθθθθ+=+

▽×A=

21sin r

r r r r

r θφ

θφ

θθθφθ∂∂∂∂∂∂e e rsin e A A rsin A =

21sin 1

sin sin cos r

r r r r θφ

θθ

θφθ

θ

θθ∂

∂∂∂∂∂e e rsin e rsin

=33

cos 2cos cos sin r e e e r r θφθθ

θθ+-

习题二

1、总量为q 的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。 解: 设球体的半径为a ，用高斯定理计算球内，外的电场。由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r 的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。

在球外，r>a ，取半径为r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：

q r E dS D r s

==•⎰2

04πε

2

04r q

E r πε=

对球内，r

'42

0q r E dS D r s

==•⎰

πε

3

3333343434'a q r a q r r q ===ππρπ

3

04a rq

E r πε=

2、半径分别为a,b(a>b),球心距为c （c