新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》课件_9
九年数学下册第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数解含方位角坡角的应用习题课件
3．【2021·天津】如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离 灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号，一艘救生船位于 灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方 向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求 AB的长(结果取整数，参考数据：， 取1.73)． 3
解：如图，过点 B 作 BH⊥AC，垂足为 H，
9．【2021·泸州】如图，A，B是海面上位于东西方向的两 个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此 时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于 观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的 距离为25 2海里．
(1)求观测点B与C点之间的距离；
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E， 根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25 2海里， ∴AE＝CE＝25海里． 易知∠CBE＝30°， ∴BC＝2CE＝50海里． 答：观测点B与C点之间的距离为50海里．
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用 第3课时 三角函数解含方位角、坡角
(坡度)的应用
提示：点击 进入习题
北(或南)；东(或 1 西)
2
3 见习题
4
坡度；h ；坡角； tan α l
5D
6A 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
答案显示
11 见习题
答案显示
1．方位角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正 南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角，方 位角一般表示为_北__(_或__南__)偏_东__(或__西__)_．
∴a＝6＋4 3，∴AB＝(6＋4 3)米．
答：大树 AB 的高度是(6＋4 3)米．
又∵CA＝CH＋AH，∴257＝tan3A4H0°＋AH， ∴AH＝t2a5n7×4t0a°n＋403°， ∴AB＝2t×a2n574×0°ta＋n 430°≈21×.7235＋7×00..8844＝168(海里)．
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
新北师大版九年级数学下册《三角函数的计算》优质ppt教学课件
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
初中数学北师大版九年级下册《第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》教材教案
课题：1.5三角函数的应用课型：新授课年级：九年级教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教法与学法指导：教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果. 教学准备：教师准备：多媒体课件。
学生准备：计算器。
教学过程：一、合作探究，导入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置.C在B的正东方，即C在B的右边.且在A南偏东25°处，即C在A的“下偏左”25°位置．在Rt△ABD中，∵tan55°＝BDAD，∴BD＝AD tan55°.在Rt△ACD中，∵tan25°＝CDAD，∴CD＝AD tan25°．设AD＝x，则BD＝tan55°x，CD＝tan25°x.∵BC＝BD－CD, ∴tan55°x－tan25°x＝20，解得，x＝20tan55tan25︒-︒≈20.79，即AD≈20.79海里．设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.二、分析探索, 新知学习活动内容1：回答下列问题.如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：（自主解决问题）（鼓励学生展示一下自己的过程）（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC＝30°，∠DBC=60°，AB＝50m．因为CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，所以，设CD=x，在Rt△ADC中，∵tan30°＝CDAC，∴AC＝tan30CD︒，即AC＝3x.法2:在Rt△BDC中，∵tan60°＝CDBC，∴BC＝tan60CD︒，即BC＝33x.又∵AB＝AC－BC＝50m，∴3x－33x＝50．解得，x＝253≈43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.在Rt△BDC中，∵sin60°＝CD BD，∴CD＝sin60°BD＝50×32＝253≈43m.即塔CD的高度约为43m．设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.三、拓展升华, 变式思考活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。
九年级数学下册 1.5 方向角问题(第1课时)课件 (新版)北师大版
外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的( D )
A．南偏东50° B．南偏东40°
C．北偏东50° D．北偏东40°
2．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得
有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°的500 m处，那么水塔所在的位
置到公路的距离AB是( A )
A．250 m B．250 3 m
4．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北 偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏 东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地 相距_2_0_0___m.
5．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和 B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则 AB＝__3__ km.
13．(2015·攀枝花)如图所示，港口B位于港口O正西方向120 km 处，小岛C位于港口O北偏西60°方向，一艘游船从港口O出发， 沿OA方向(北偏西30°)以νkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇 从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C， 在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送 去．
(2)在 Rt△PCA 中，PA＝sin3P6C.5°＝100 海里，在 Rt△PCB 中， PB＝sinP4C5°＝60 2海里，t 甲＝2.5(小时)，t 乙＝2 2(小时)，故救助船 A 先到达 P 处
12．如图所示，MN 表示引水工程一段设计路线，从 M 到 N 的 走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上，有一点 A，以 A 为 圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算，回答如果不 改变方向，输水路线是否穿过居民区？(参考数据： 3≈1.73)
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
北师大版九年级数学下册《直角三角形的边角关系——锐角三角函数》教学PPT课件(4篇)
同理， cos
A=
AC ，cos AB
A1
=
A1C A1 B1
.
B1 B
∵AB=A1B1，
AC AB
>
A1C ，即cos A1 B1
A > cos
A1，
A A1
C
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系， cos A的值越 小，梯子越陡.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
B1 B2 B3
A
C3 C2
C1
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
新课学习
直角三角形的边与角的关系：
（2）BA1CC11
和B2C2
AC2
有什么关系？
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
B1C1 = B2C2 AC1 AC2
新课学习
直角三角形的边与角的关系： （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
B2
斜边的比值、邻边与斜边的比值将怎
样变化？
C1 C2
A1
这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变.同时，如果给
定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值是唯一确定的.
讲授新课
斜边
B ∠A的对边
A
C
∠A的邻边
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那
∴ B1C1∥ B2C2，
C1 C2
A1
∴Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
讲授新课
想一想：如图.
（2）BA11CA11 和
A1C2 B2 A1
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的应用
离为 20 39 m
解：安全，理由如下：过点 C 作 CD 垂直 AB，交 AB 的延长线于点 D，由题意
可得，∠CA D＝90°－60°＝30°，∠CB D＝90°－45°＝45°，A B ＝30×1＝30(k m )，在
Rt△CBD 中，设 CD＝BD＝x km，则 AD＝(x＋30)km，在 Rt△ACD 中，tan 30°＝CADD ，
即x x＋30
＝
3 3
，解得 x＝15
3 ＋15≈40.98，∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方
向航行是安全的
知识点2：仰角、俯角在三角函数中的应用 3．(宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量 人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米， 且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 _1_2_0_0_(__3__－__1_)__ 米．(结果 保留根号)
BD ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与 A 港 tan 45° 口的距离约为 141 海里
9．(泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为 30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号 表示，不取近似值).
4．(2022·天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条 直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔 BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.