初二数学等腰三角形题培优
八年级数学竞赛培优专题及答案17等腰三角形的判定.docx
专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结.1.等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等.2.证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB=7, AC=11,点M是BC的中点，AQ是/BAC的平分线，MF// AD,则CF 的长为.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点【例2】如图，在AABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的关系是（）A. AO2ABB. AC=2ABC. ACW2ABD. AC<2.AB（山东省竞赛试题）解题思路：如何条件ZB=2ZC,如何得到2AB,这是解本题的关键.【例3】两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BQ,取BQ中点M,连结ME, MC,试判断△EMC的形状，并说明理由.（山东省中考试题）解题思路：从AADE^ABA C出发，先确定/XADB的形状，为判断的形状奠定基础.【例4】如图，已知在ZkABC中，AQ是BC边上的中线，E是AQ上一点，且BE=AC,延长BE交AC 于求证：AF=EF.（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明ZFAE=ZAEF,利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.【例5】如图，在等腰△ ABC中，AB=AC, ZA=20°,在边AB 1.取点。
等腰三角形大题培优专练
2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5等腰三角形大题培优专练（提升篇）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一、解答题1．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：DE⊥CE．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度数．3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使得BD=AC，连接AD，再延长AB至E，使得BE=CD，连接DE．求证：△BED≌△CDA．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，(1)求证：△ADC≌△FDB；(1)如图1，求证：AD=AE；(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．(2)若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长；9．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）在正方形网格中，已知格点（即小正方形的顶点）A、B组成的线段AB，请分别按下列要求作图：(1)在图1中作一个面积为2的△ABC（点C在格点上），且有一个内角为钝角；(2)在图2中作一个等腰△ABC（点C在格点上）．10．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．(1)求∠A的度数；(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．11．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，B、C分别在AD、AE的垂直平分线上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：(1)△ABC的周长；(2)∠DAE的度数.12．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，则△ADE的周长为________．13．（2021秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分线交于点M，过M作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E．求证：AD+CE=DE．14．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）已知：如图，点②AB=AE，③AC=AD，④（只写一组）.15．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点∠ABD=∠DBC，AB=DB，(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．16．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考开学考试）如图，点AD=BC，∠ADE=∠BED．(1)尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；(2)证明：CF⊥DE．17．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，BA⊥AF于点A，ED⊥DC于点D，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．(1)求证：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求证：OP垂直平分EF．18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE=AD，连接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)试说明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度数．19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知：在△ABC中，AB=AC，点D、点E在边BC上，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当∠BAC=90°,∠DAE=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有顶角为45°的等腰三角形．20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC,E是BA延长线上的点．(1)过点A在射线BE右侧作AD∥BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=AC，求证：AD平分∠CAE．21．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）已知命题：“等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．”为了探究该命题是否正确，小明采用分类讨论思想，从直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三个角度进行思考，先对前两种情况画出了图形，写出了已知、求证并给出了证明在探究在钝角三角形中是否正确时遇到了困难，请你补全图形，写出已知、求证，并给出证明．22．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)．①如图②，当DE⊥BC时，x的值为___________；②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．23．（2021秋·福建莆田·八年级校考期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD=DE，连接AE．(1)若∠BAE=44°，求∠C的度数．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周长．24．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，点D是AB边上一点，且CD=CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD，垂足为点G．(1)求证：∠BCD=2∠ABF；(2)判断△BCF的形状，并说明理由．25．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC．(1)若AD=AE，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC．26．（2021春·上海松江·七年级校考期中）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．(1)说明BG与CF相等的理由；(2)说明∠BGD与∠DGE相等的理由．27．（江苏省泰州市部分农村学校在△ABC中，AB=AC=4(1)当∠BDA=110°时，∠DEC=(2)当DC为何值时，△ABD≌△(3)在点D的运动过程中，若△(1)在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP．求证：DP=DM；(2)若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积．29．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，AB=5．(1)求证：△ADE是等腰三角形；(2)求线段DE的长．30．（2022秋·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，∠ADC=70°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=CD，求∠ACD的大小．。
初中数学培优：等腰三角形(含答案)
等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
《等腰三角形》培优专题
等腰三角形【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。
ABCD例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
求证：DCB 2B AC ∠=∠。
C4、中考题型：1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC 2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE ＝AF 。
AE F BDC5、题形展示：例1. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。
求证：B C B D AD =+。
【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。
CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。
【试题答案】（实战模拟） 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：因为AB C ∆是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
八年级(上)培优专题六如何确定等腰三角形的个数
专题六：如何确定等腰三角形的个数解答•.•①若PA=AB则符合要求的点为：P i, P2,②若PB=AB则符合要求的点为：P3,③若PA=PB则符合要求的点为：P4.A这样的P点有4个.故答案为：4.2、如图，已知Rt△ ABC中，/ BCA = 90° Z A = 30° 在直线BC或AC上取一点P，使△ ABP是等腰三角形，则符合条件的点P有 ________ 6 ___ 个.【答案】分析：根据题意，点P在直线BC或直线AC上，使△ PAB是等腰三角形, 则三角形的两底角相等，两腰相等.解答：解：第1个点在AC上，取一点P,使Z PBA Z PAB第2个点在AC延长线上，取一点P,使PC二PA第3个点在CA延长线上，取一点P,使BA=AP第4个点取一点P,使AP二BA第5个点取一点P,使PB二BA第6个点取一点P,使AP=AB•••符合条件的点P有6个点.故选C.3、已知，点A的坐标是（2,2）,试在坐标轴上找一点p使厶APO是等腰三角形，则点p有几个？4、已知，直角三角形ABC中，/ C=900, / BAC=300,试在BC或AC所在的直线上找一点P使厶PAB是等腰三角形，则点p有------个5、已知，直角三角形ABC中，/ C=900, / BAC=300,试在BC或AC所在的直线上找一点P 使厶PAB是等腰三角形，则点p有------个6、已知在等边三角形ABC所在平面内求一点P使厶ABP △ ACP △ CBP均为等腰三角形问这样的P点有多少个？答：分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的•每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个7、在正方形ABCD所在的平面内找点P使三角形PAB三角形PBC三角形PCD、PAD均为等腰三角形，这样的点P有多少个？解答：共有9个，在AB的垂直平分线上有5个，在BC的垂直平分线上有5个,其中有1 点重合；8、点P在x轴上，A(4,1)，B( 1,4)，如果△ ABP是等腰三角形，求点P的坐标？解答：由题意可设p(x,o),因为△ ABP是等腰三角形所以当AP=BP, P( 0,0)当AB=PB 时,P (V 17+4 ,0)或(4-V 17,0)当AB=PA 时,P (1 + V2,0 )或P (1-V2,0)综上可得，点P的坐标为：(0,0) , (V 17+4 ,0) , (4-V 17,0) , (1 + V2,0 ) , ( 1-V2,0)(提示：用两点间的距离公式求x值)9、已知点A(-1,0)和点B (0,1),在坐标轴上的确定点P,使得三角形ABP为等腰三角形，则满足条件的P点共有几个？解答：共有 6 个满足这样的点(0,0) (- V2-1,0) (0,-1) (0, V2+1) (1,0) (0,1- V2)。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
八年级下证明二等腰三角形 - 培优
等腰三角形知识点等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
③等腰三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ）。
等边三角形（也叫正三角形）（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
典型例题等腰三角形例1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线变式练习：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形例2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm变式练习.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°变式练习．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°变式练习．如图所示，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°ECA F G例3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上中线BD 将这个三角形的周长分为16和8的两部分，求这个等腰三角形的腰长与底边长．变式练习：如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长是变式练习：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高；求：△ABC 的面积．变式练习：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．例4：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为 BC 的中点.（1）写出点D 到DABC 三个顶点 A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断△DMN 的形状，并证明你的结论NMDBA C变式练习：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．培优例5：（1）等腰三角形的内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为________(2)已知等腰三角形ABC 的三边长a,b,c 均为整数，且满足a+bc+b+ac=24,则这样的三角形共有__________个.例6.如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则BAC ∠的度数是_______例7.如图，在△ABC 中，AC=BC ，90ACB ∠= ，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =，求证：BD 是∠ABC 的角平分线例8．如图1，三角形ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC=BC ，三角形EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP 。
初二八下培优专题——等腰三角形
初二八下培优专题——等腰三角形
线___于F，连接AF，交DE于G，求证：DG=GF。
1. 在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，O为斜边AB的中点，DE分别在直角边AC、BC上，且DOE=90，DE交OC 于点P。
则结论有：（1）全等的三角形只有两对；（2）ABC 的面积等于四边形CDOE面积的2倍；（3）CD+CE=2OA；（4）AD+BE=2OD。
其中正确的结论有2个。
2. 在等边三角形ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是多少。
变式1：在等腰三角形BDC中，BC=4cm，面积为12cm，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长最短为多少。
变式2：在边长为2cm的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P 为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△PBG的周长的最小值是多少。
3. 在等腰三角形ABC和等腰三角形CDE中，AC=BC，CD=CE，AC>CD，ACB=DCE且点A、D、E在同一直线上，
连接BE。
（1）若ACB=60°，则∠AEB的度数为多少，线段AD、BE之间的数量关系是什么。
（2）若AC=2，BE=1，且ACB=DCE=90°，CM为△DCE中DE边上的高，求∠AEB的度数和CM的长。
八年级数学竞赛培优训练 等腰三角形 含解析
第4讲等腰三角形【思维入门】1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为() A．21B．20C．19D．182．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为() A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°图1－4－14．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－25．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是____．图1－4－36．如图1－4－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .求证：△DEB ≌△DFC .【思维拓展】7．如图1－4－5，已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且OM ∥AB ，ON ∥AC ，若CB ＝6，则△OMN 的周长是()图1－4－5A ．3B ．6C ．9D ．128．如图1－4－6，AB ＝AC ，AD ＝DE ＝EC ＝BC ，则∠ABC 的度数为 ( ) A ．30° B ．40° C ．45°D ．60°图1－4－69．如图1－4－7，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，D 是 AB 边上的一点，AD ＝BC ，连结CD ，则∠BDC ＝____． 10．如图1－4－8，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB ＝145°，则∠DBE 的度数是____．图1－4－4图1－4－7图1－4－811．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是____．12．如图1－4－10，△ABC 中，AB ＝AC .∠A ＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作(画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC )：(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是____度和____度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续以上操作发现：在△ABC 中画n 条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有____个黄金等腰三角形．图1－4－10 【思维升华】图1－4－913．三角形三边的长分别为a，b，c，且ab＋ac＝b＋cb＋c－a，则三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠P AC＝____．15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于____．图1－4－1216．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是____．图1－4－13第4讲等腰三角形【思维入门】1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为(A) A．21B．20C．19D．182．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(D) A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(C)A．45°B．54°C．40°D．50°图1－4－14．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为(B)A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－25．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是__30°__．图1－4－36．如图1－4－4，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：△DEB≌△DFC.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵BD＝CD，∴△DEB≌△DFC(AAS)．【思维拓展】7．如图1－4－5，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是(B)图1－4－4图1－4－5A．3 B．6C．9 D．12【解析】∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠MBO，又OM∥AB，∴∠ABO＝∠MOB，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM，同理ON＝CN，∵BC＝6，则△OMN的周长＝OM＋MN＋ON＝BM＋MN＋NC＝BC＝6.8．如图1－4－6，AB＝AC，AD＝DE＝EC＝BC，则∠ABC的度数为(B) A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－69．如图1－4－7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D是AB边上的一点，AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝__30°__．10．如图1－4－8，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB＝图1－4－7145°，则∠DBE 的度数是__85°__．图1－4－8第10题答图【解析】 如答图，∵等边△ABC 和等边△DCE ， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝∠ABC ＝60°， 在△ACE 与△BCD 中， ∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB －∠ECB ＝∠ECD －∠ECB ， ∴∠1＝∠2，而AC ＝BC ，EC ＝DC ， ∴△ACE ≌△BCD ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝60°＋∠3，∴∠AEB ＝360°－∠AEC －∠CED －∠BED ， 则360°－∠AEC －∠CED －∠BED ＝145°， 360°－(60°＋∠3)－60°－∠BED ＝145°， 360°－120°－(∠3＋∠BED )＝145°， 360°－120°－(180°－∠DBE )＝145°， 解得∠DBE ＝85°.11．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是__38__．【解析】 设正六边形的边长为2，那么边长为1的正三角形的个数有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形的个数有2个，共计38个．12．如图1－4－10，△ABC中，AB＝AC.∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作(画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)：(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是__108__度和__36__度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有__2n__个等腰三角形，其中有__n__个黄金等腰三角形．图1－4－10解：(1)如答图①所示；(2)如答图②所示．①②第12题答图【思维升华】13．三角形三边的长分别为a，b，c，且ab＋ac＝b＋cb＋c－a，则三角形是(C)A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形【解析】通分得acbc＋abbc＝b＋cb＋c－a，ac＋ab bc＝b＋cb＋c－a，a(b＋c)(b＋c－a)＝bc(b＋c)，a(b＋c－a)＝bc，ab＋ac－a2－bc＝0，a(b－a)＋c(a－b)＝0，(a－c)(b－a)＝0，a－c＝0或b－a＝0.即a＝c或b＝a.此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠P AC＝__48°__．【解析】由题意可得∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED.而∠PEA＋∠PEB＋∠AED＝180°.所以∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED＝60°.从而可得∠PCA＝30°.又∠BPC＝108°，所以∠PBE＝12°，从而∠ABD＝24°.所以∠BAD＝90°－24°＝66°.∠P AE＝12(∠BAD－∠CAE)＝12(66°－30°)＝18°，所以∠P AC＝∠P AE＋∠CAE＝18°＋30°＝48°.15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于__11__．图1－4－12【解析】延长a，7，8三条边(两边延长)就会得到一个正三角形，正三角形边长＝3＋7＋4＝14，b＝14－4－8＝2，a＝14－3－b＝9，a＋b＝11.16．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是__10°__．图1－4－13【解析】以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连结AE，∴BE＝CE＝BC，∠BEC＝∠BCE＝60°，∵AB＝AC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE，∴∠CEA＝∠BEA＝12×60°＝30°，∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACE＝∠BAC＝100°，∵AD＝CE，AC＝AC，∴△ACE≌△CAD，∴∠D＝∠CEA＝30°，在△ACD中，∠ACD＝180°－∠D－∠BAC＝50°，∴∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝10°.。
初二数学等腰等边三角形培优题1(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑等腰等边三角形培优题11．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BBB =25∘，则∠BBB =______．2．如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC ＝_____.3．如图，在△BBBBBB 中，BB BB =BBBB ，CD 是∠BBBBBB 的平分线，BB BB //BBBB ，交AC 于点E ．若∠BBBB =35∘，则∠BBB=.4．如图，等边△BBBBBB 中，AD 是中线，BBBB ⊥BBBB 于点E ，BBBB =3，则点D 到AB 的距离为：______．5．已知：在△ABC 中，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB +BH =CH ，∠ABH =70∘，则∠BAC =______ ∘.6．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是（第1题） （第2题） （第3题）（第4题） （第6题） （第7题）等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ． ①②③B ． ②③④C ． ①③④D ． ①②④7．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，….若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为( )A ． 702n ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭B ． 1702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭C ． 1702n -⎛⎫︒ ⎪⎝⎭D ． 2702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭8．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°， 在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的有 （填序号） 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 ．10．如图，已知△BBBBBB 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠BBBBBB ，BBBB =BBBB ，BBBB =7， 则 AE 的长度是 ． 11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD于点F ，连接CF .若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为 ．12．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上的定点(不同于端点B 、C )，过点D 作直线l 垂直线段AB ，若点P 是直线l 上的任意一点，连接PA 、PB ，则能使△PAB 成为等腰三角形的点P 一共有_______ 个．（填写确切的数字）（第11题） （第9题） （第10题）（第8题）（第12题） （第13题）13．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，l⊥BC于点C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q，当BP= 时，PA=PQ. 14．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE,EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为___________________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。
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G
F
E
D
C
B
A
等腰三角形练习卷
一、填空题
1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。
2、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为。
3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为
4、在等腰三角形中，设底角为0x，顶角为0y，用含x的代数式表示y，得
y= ；用含y的代数式表示x，则x= 。
5、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形．
6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF=
7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为
9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为
10、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60，且DE=1，则边BC的长为．
二、选择题（30分）
11、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。
A、有一腰和一角对应相等
B、有两边对应相等
C、有顶角和一个底角对应相等
D、有两角对应相等
12、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角
B、底角
C、顶角的一半
D、底角的一半
13、在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）
A 、100°
B 、75°
C 、150°
D 、75°或100°
14、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是……………………（ ）。
A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC
B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线
C 、如果A
D 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC
D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线
15、如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且QC ＝AP ＝AQ ＝BP ＝PQ ，则∠BAC ＝…（ ）
A 、1250
B 、1300
C 、900
D 、1200
16、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。
A 、4个
B 、6个
17、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280，则∠B 的度数是…………（ ）
A 、600
B 、700
C 、760
D 、450
18、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(2
2=-+-+-a c c b b a ，那么这个三 角形是
（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 C Q 15题图
16题图 17题图
A B C R P Q 19、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个
20、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上（端点A 、C 除外），设甲虫P 到
另外两边距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ）
A 、h d >
B 、h d <
C 、h d =
D 、无法确定
三、解答题（40分）
21、现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）
分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个 等腰三角形．动动脑筋呀！
22、如图，在△ABC 中， P 是的BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于
点Q ，交CA 的延长线于点R ， 若AQ=AR ，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由。
23、如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上， 且AD=CE ，
BE 和CD 相交于点P 。
（1）说明△AD ≌△CEB
（2）求：∠BPC 的度数.
24、已知△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC.
（1）（12分）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E.求证：BD=AE.
（2）（8分）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由.
25、如图1，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；。