数字图像处理课件11

在实际应用中，为了使小波变换的计算更加有效，通常 构造的小波函数都具有正交性，即
ψ m , n ,ψ
j ,k
=
∫
+∞
−∞
ψ m , n ( t )ψ
j ,k
( t )dt = δ m , j δ n , k
11.2.2 多分辨分析及Mallat算法
§ 一维正交多分辨分析及Mallat算法
多分辨分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这 一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个 函数集，而非侧重处理作为个体的函数。MRA形成 了构造正交小波基的一个框架，常用的B-样条正交 小波基和Daubechies紧支撑正交小波基都可看作是 该框架下的产物。
第1 1 章
小波变换
武汉理工大学
信息学院
11.1 引言 11.1 引言 11.2 离散小波变换 11.2 离散小波变换 11.3 小波在图像处理中的应用 11.3小波在图像处理中的应用
11.1.1 加窗傅里叶变换
§ 加窗傅里叶变换
– 经典傅里叶变换是以全时域作为整体进行分析的，信
号的时变特性得不到体现，为了分析非平衡信号，或 信号的局域特性，人们发展了信号的时频分析法，加 窗傅里叶变换（也称短时傅氏变换）就是其中的一 种，它把非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的叠 加，而短时性则是通过时域上的加窗来获得.
~
,φ
和对偶小波函
及
~ = ( − 1) n h g n 1− n n ~ g n = ( − 1) h1− n
∑ k ∑ k ∑ k
~ h k h k + 2 n = δ 0 ,n h2k = ~ h2k =
∑h
k
2 k +1
= 1/
2 2
∑
k
~ h 2 k +1 = 1 /
∫ ∫ | F (w,t )| dwdt
jwx
∞
2
(11.2)
1 f ( x) = 2π
∞ ∞
(3) 加窗傅里叶变换是一信号的冗余表示，而且是稳定完备的。
− ∞− ∞
∫ ∫ F (w, t ) g (t − x) e
dwdt
(11.3)
(4) 如果对所有( w, t ) ∈ R 2 均匀采样，离散加窗傅里叶 变换可定义为 ∀(n, m) ∈ Z 2 ,且 DF (m, n) = DF (mw0 , nt0 ) = ∫e (11.4) −∞ 采样间隔 t 0 和 w0 的选择必须覆盖整个相空间，由采 样集合 {DF (m, n)}(n, m) ∈ Z 2 ,重构的条件是算子D： L2 (R) → I 2 (Z 2 ) 有界可逆，且有 jmw0 t = DF ( m.n ) =< f ( x )， e g ( x − nt 0 ) > (11.5)
c k ;n ,m d d
1 k ;n ,m 2 k ;n ,m
↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2
h ⊕
g
↑ 2
h ⊕ c k + 1; n , m
h ⊕ ↑ 2 g
g
d k3; n , m
b）二维小波重构
1.2.3 紧支撑双正交小波基的构造
§ 双正交滤波器的约束条件
~
~ ，使得尺度函数 φ 有限滤波器 h, h , g , g ~ ,ψ 存在的必要条件为 数ψ
相应的离散小波变换为
(W ψ f )( a , b ) = f ,ψ
a ,b
= a0
−m / 2
特殊的，取 a0 = 2 , b0 = 1 ，可以得到二进小波：
ψ
−m /2 −m ( t ) = 2 ψ ( 2 t − n) , m , n ∈ Z m ,n
∫
+∞
−∞
−m f ( t )ψ ( a 0 t − nb 0 )dt
}
k
对于二元函数 f ( x, y ) ，引入记号
f k ; j ,l ( x , y ) = 2 k f ( 2 k x − j , 2 k y − l )
1 2 记 φ ( x, y ) = φ ( x)φ ( y ) φ k ; j , l ( x, y ) : j , l ∈ Z } 则{ 是 V k 的基底。这样 {Vk }就形成 L2 ( R 2 )中的一个多分辨 φ ( x, y ) 就是相应的尺度函数。 分析，
ha ,b ( x) = a
1/ 2
x −b h( ) a
(11.6)
§ 连续小波变换
函数 f ( x ) ∈ L2 ( R ) 的连续小波变换定义为
w ab =
∞
写成内积形式即有
−∞
∫h
a ,b
( x ) f ( x ) dx
(11.7)
wa,b =< f ( x), ha,b ( x) >
(11.8)
b）小波重构过程
~ h (h * )
*
↓2
c j −1
↑2
h ⊕ cj
cj
~* ) g * (g
↓2
d j −1
↑2
g
图 一维信号小波分解与重构的二通道滤波器组表示
§ 二维张量积多分辨分析及Mallat算法 V } 和{ Vk2 } 设{ 是由尺度函数 φ 1 ( x)和 φ 2 ( y ) 生成的两个多分辨分析。则可以得
1 k
到 Vk1 和 Vk2 的张量积空间，
1 k/2 1 k Vk2 的基底为 {2 k / 2 φ 2 (2 k y − l )}，所以 由于 Vk 的基底为 2 φ (2 x − j ) ， V 的基底为 {2 k φ 1 (2 k x − j )φ 2 (2 k y − l )}。
{
V k = V k1 ⊗ V k2
j
ˆ(ω ) h
(11.12) 其中为 系数序列 的傅立叶变换。假设 是数 字滤波器的脉冲响应，则该式将离散滤波器和多尺 度分析联系起来。
{hk }k∈Z
{hk }k∈Z
φ (t ) ∈ L ( R ) ，则 {φ (t − n)}n∈Z 是标准（规范）正交系，等价于 若 恒等式
2
k = −∞
∑
+∞
2 j j∈ Z L (R )
2
j
j∈ Z
φ (t − k )}k ∈Z 构成 V 0 5) Riesz基存在性：存在函数 ϕ ∈ V 0 ，使得 { φ ( t − k ) }k ∈ Z 线性无关，且存 的一个Riesz基。即函数序列 { 在常数A和B，满足0 < A ≤ B < +∞ ，使得对任意的 f (t ) ∈ V 0，总 2 存在序列 {c k }k ∈ Z ∈ l 使得 +∞ +∞ 2 2 2 且， A f ≤ c ≤ B f ∑ k f (t ) = c φ (t − k )
0
2 ˆ + ϕ ( ω 2 k π ) ∑ k ∈ Z
j/2 j j ,k
j
j
定 理 11.1 设 正 交 尺 度 函 数 φ (t ) 生 成 了 正 交 多 分 辨 析 {V j }j∈Z ， {h k }k ∈ Z 是满足两尺度方程的滤波器，令 (11.13)
ψ (t ) = 2 ∑ g nφ (2t − n)
ˆ(ω ) → g ˆ(t ) → h ˆ (ω ) → ψ (t ) ˆ (t ) → φ ˆ (ω ) → ψ ϕ (t ) → ϕ
§ 小波分解与重构的迭代过程
d j −1 cj c j −1 d j −2 c j −2 L dM cM
a）小波分解过程
dM cM d M +1 c M +1
L
d j −1 c j −1 cj
§ 二维Mallat算法的滤波器组
~ h (h ) c k +1; n , m ~ h (h ) ↓2 ↓2 ↓2 ↓2 ↓2 c k ; n ,m
1 dk ;n, m
~) g (g ~) g (g
~ h (h ) ↓2
d k2; n , m d k3; n , m
~) g (g
a）二维小波分解（括号中表示双正交滤波器）
11.2.1 离散小波变换
§ 离散小波变换（DWT）
DWT可以通过离散化CWT中的尺度因子和平移因子得 到。通常取 m m (11.9) a = a0 , b = nb0 a 0 , m, n ∈ Z 把其带入式(11.6)可以得到 −m / 2 −m ψ m ,n (t ) = a 0 ψ (a0 t − nb0 ) , m, n ∈ Z (11.10)
|| g ||
Z
=
∞
−∞
∫ | g ( x ) | dx
2
=1
11.1.1 加窗傅里叶变换
§ 加窗傅里叶变换具有如下性质：
2 2 2 L ( R ) L ( R ) 是等距的，即 (1)它从 到
∞
(2)可以由 F ( w, t ) 重构f(x),即
−∞
∫| f
1 ( x)| dx = 2π
2
∞
−∞ −∞
n
* k
1
其中，g n满足 g k = (−1) h1−k ，则ψ (t )为小波，且它的平移系构 成 W0 的标准正交基，其中W0是V0 在 V 中的正交补。 ψ j ,k (t )}j , k∈Z 构成L2 ( R ) 的一个标准正交基。 从而 ，{
上述定理等价为以下几点： ψ (t − k )}k∈Z 是标准正交的。 1）{ 2）对任意 k ∈ Z ,ψ (t − k ) ∈ W0 。 3）W0 中的每个函数都可表示为 ψ (t − k ) 的线性组合。 ψ(t) 是一个小波，即 ∫Rψ (t)dt = 0。 4）