【全效学习】2018届中考数学：专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用
2018年中考数学二次函数的实际应用
火速出击第14讲二次函数的实际应用【试试火力】:1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣82cm．3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：30 35 40 45 50销售价格x（元/千克）日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）4.（2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．【出处：21教育名师】（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【把握火苗】火点1实物抛物线步骤①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题.桥梁、隧道、体育运动等常见类型【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.火点2二次函数在销售问题中的应用步骤①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数的③，解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.火点3二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的⑤，解决问题.火点4灵活选用适当的函数模型步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题.【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.【掌握火候】1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.【突破火点】燃点1 实物抛物线例1如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为 2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令x=9，求y 值，若y ≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x 值.若x ≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y ，若y ＞0则出界，否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数h 的形式.然后令x=9时y ＞2.43，且当x=18时y ≤0，从而确定h 的取值范围. 【解析】∵点(0，2)在y=a(x-6)2+h 的图象上，∴2=a (0-6)2+h ，a=236h，函数可写成y=236h(x-6)2+h.(1)当h=2.6时，y 与x 的关系式是y=-160(x-6)2+2.6；(2)球能越过球网，球会出界. 理由：当x=9时，y=-160×(9-6)2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得x 1=6+239＞18，x 2=6-239(舍去)，故球会出界.另解：当x=18时，y=-160×(18-6)2+2.6=0.2＞0，所以球会出界.(3)由球能越过球网可知，当x=9时，y=24h+h＞2.43，①由球不出边界可知，当x=18时，y=8-3h≤0，②由①、②知h≥83，所以h的取值范围是h≥83.方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案. 燃点2二次函数在销售问题中的应用例2（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.燃点3 二次函数在面积问题中的应用例3 （2017?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=600??，由0＜s＜12，可得0＜600??＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=600??，∵0＜s＜12，∴0＜600??＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.燃点4 灵活选用适当的函数模型例题4：科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃，-4-20244.5,植物每天高度增长量y/mm,414949412519.75,由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解析】(1)选择二次函数，因为当x=0时，y=49，所以c=49.所以设y=ax2+bx+49，得424949,424941.a b a b 解得1,2.a b∴y 关于x 的函数关系式是y=-x 2-2x+49. 不选另外两个函数的理由：∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，∴y 不是x 的反比例函数；∵点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y 不是x 的一次函数. (2)由(1)，得y=-x 2-2x+49=-(x+1)2+50. ∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y 有最大值为50，即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大.(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，∴平均每天该植物高度增长量超过25 mm ，当y=25时，-x 2-2x+49=25，整理，得x 2+2x-24=0，解得x 1=-6，x 2=4，∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，实验室的温度应保持在-6 ℃＜x ＜4 ℃.方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.燃点5二次函数与三角形的综合例题5：（2017深圳）如图，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0），B （4，0），交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，∵S△ABC=S△ABD，∴S△ABD=×5=，设D（x，y），∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC==，BC==2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴CF=BC=2，∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE==．燃点6二次函数与四边形的综合例题6：（2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．燃点7二次函数与圆的综合例题7：（2017绥化）在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x 轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO=，cos∠ABO==，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，根据点O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论；②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，列方程可得结论．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1交y轴于点B，∴B（0，1），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；（2）如图1，∵直线y=﹣x+1交x轴于点A，当y=0时，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB=，∴sin∠ABO=，cos∠ABO==，∵ME∥x轴，∴∠DEM=∠ABO，∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，∴∠EDM=90°，∴DE=ME?cos∠DEM=ME，DM=ME?sin∠DEM=ME，当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，当x=时，y=﹣×+×+1=；∴ME=，∴DE==，DM==，∴△DEM的周长=DE+DM+ME=++=；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，∵O1A1⊥x轴，∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，点O1，B1的纵坐标相等，∴﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，解得：x=，此时点A1的坐标为（，），②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，解得：x=﹣，此时A1（﹣，），综上所述，点A1（，）或（﹣，）．【冰火不容】1. （2017浙江义乌）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x （m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．2. （2017?营口）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．3. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．4.（2017湖北随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤） 80﹣3x 120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x 3x2﹣64x+400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？5. （2017甘肃张掖）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM ∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．6. （2017四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N 作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．7.（2017四川南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．8.（2017贵州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M 为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【展示火情】【试试火力】1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为24﹣82cm ．【考点】HE ：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，根据△ABQ ∽△ACG ，求得C （20，0），再根据水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），可设抛物线为y=ax 2+bx+24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣320x 2+95x+24，最后根据点E 的纵坐标为10.2，得出点E 的横坐标为6+82，据此可得点E 到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt △APM 中，MP=8，故DQ=8=OG ，∴BQ=12﹣8=4，由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，∴????????=????????，即4????=1236，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C （20，0），又∵水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），∴可设抛物线为y=ax 2+bx+24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得24=144??+12??+24 0=400??+20??+24，解得??=-320??=95，∴抛物线为y=﹣320x2+95x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣320x2+95x+24，解得x1=6+82，x2=6﹣82（舍去），∴点E的横坐标为6+82，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+82）=24﹣82．故答案为：24﹣82．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+x﹣，对称轴为x=﹣=40+a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；。
二次函数在生活中的实际应用
二次函数在生活中的实际运用
在暑假，我参加了中考体育训练，其中有一个项目是投实心球，可是我发现不管我如何用力就是投不远，对此我感到十分头疼。
这时，我的体育老师走了过来，我赶忙上前去问到底如何投才是最远的。
他告诉我要往30度角投，我半信半疑不太相信按一定角度投会远一些，于是我朝30度角投了试试，发现好像真的比刚才要远一些。
回到家，我思索起了这个问题并动手验证，一个球在相同力度的情况下，球飞行的路线是一条抛物线，设顶点到地面的距离为1m。
当角度为30度时，根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：
90度所对的角=1：√3：2。
求得OB=√3m，
则OC=2OB=2√3m。
当角度为45度时，根据等腰三角形
中45度所对的角：45度角所对的角：90
度所对的角=1：1：√2。
求得OB=1m，
则OC=2OB=2m。
当角度为60度时，根据根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：90
度所对的角=1：√3：2。
求得OB=1̸3√3m，
则OC=2OB=2̸3√3m。
因为2√3m>2m>2̸3√3m，所以物体以30度角抛出去时最远。
通过自身的运算，让我牢记这个道理。
著名数学家华罗庚曾说:任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早要离开学校的！行路，还是要靠行路人自己。
天马学校九（四）班胡一帆
指导老师：宣淑嫒。
2018届中考数学复习第14课时二次函数的实际应用课件
解：(1)w＝(x－30)· y＝(x－30)· (－x＋60)＝－x2＋90x－1800， ∴w与x的函数解析式为：w＝－x2＋90x－1800(30≤x≤60)； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润是多少元？
根据(1)得，w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225， ∵ － 1＜ 0， ∴w有最大值， ∴当x＝45时，w有最大值，最大值为225. 答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售 利润225元；
第一部分 夯实基础 提分多
第三单元 函数
第14课时 二次函数的实际应用
重难点精讲优练
例 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门
规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50 元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平 均每天少销售3箱．
【信息梳理】
原题信息
销售单价为50元时，平 均每天销售90箱，价格 一 每提高1元，平均每天 少销售3箱
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？ 当w＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200， 解得x1＝40，x2＝50.∵50＞48，∴x2＝50(不符合题意，舍去) 答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润， 销售单价应定为40元．
方法指导
取顶点的纵坐标值，若不在，根据自变量的实际取值及
二次函数的增减性确定，一般最值取自变量两端所对应
的函数值．
方法指导
1．利润问题的函数解析式求法：
已知进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价提
高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元．
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中的一种重要函数类型，其应用十分广泛。
本文将以实例的形式探讨二次函数在实际生活中的几个应用。
一、抛物线的模型二次函数的图像是抛物线，其常见模型有抛物线的顶点形式和描点形式。
以顶点形式为例，二次函数的一般形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k其中a,h,k是常数，(h,k)表示抛物线的顶点。
我们以一道题目为例：某物体以初速度30m/s向上抛出，经过2s达到最高点，求其下落的高度。
解：设物体下落的高度为f(t)，t为时间。
根据物理学的运动规律，物体自由落体的公式为：f(t) = -5t^2 + v0*t + h0其中v0为初速度，h0为初始高度。
题目中给出了初速度为30m/s，代入公式得：f(t) = -5t^2 + 30t + h0根据题目要求，物体经过2s达到最高点，即f(2)=0。
代入公式求解得：0 = -5*2^2 + 30*2 + h0= -20 + 60 + h0= 40 + h0可得h0 = -40，即物体的初始高度为-40m。
因此，物体下落的高度可以表示为：f(t) = -5t^2 + 30t - 40我们可以通过二次函数模型得出物体在任意时间t下的高度。
二、最值问题二次函数也常用于求解最值问题。
例如，我们考虑以下问题：用2根长为L的铁丝围成一个矩形，求该矩形的最大面积。
解：设矩形的长度为x，宽度为L-2x（由于必须用2根铁丝围成，所以长度和宽度之和为L）。
矩形的面积可以表示为：S = x(L-2x)= Lx - 2x^2显然，S是一个关于x的二次函数。
要求最大面积，即求函数的最大值。
通过求导的方法，我们可以得到该函数的极值点。
首先，将函数求导得：S' = L - 4x令导数等于0，求解可得极值点：L - 4x = 04x = Lx = L/4将x代入原函数得到最大面积：S = (L/4)(L-2(L/4))= (L/4)(L/2)= L^2/8因此，该矩形的最大面积为L^2/8。
二次函数在生活中的运用
二次函数在生活中的运用
二次函数是一种常见的数学函数，在生活中有很多实际应用。
它的形式为 y = ax + bx + c，其中 a、b、c 是常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
以下是二次函数在生活中的几个实际应用：
1. 物体的运动轨迹
当物体受到恒定的重力作用时，它的运动轨迹通常是一个二次函数。
这个函数的自变量可以是物体的时间或者位置，而因变量则是物体的高度或者速度。
通过分析这个函数，人们可以预测物体的落地时间和落点位置，为实际生活中的运动问题提供了重要的帮助。
2. 投资收益的计算
在投资领域，人们通常使用复利计算来估算投资收益。
而复利计算的公式可以转化为一个二次函数，其中自变量是投资时间，因变量是投资收益。
通过这个函数，人们可以预测不同投资方案的收益情况，为投资决策提供了参考依据。
3. 地址编码的设计
在物流配送领域，地址编码是非常重要的一环。
通过设计合适的地址编码，可以提高配送效率，减少误送和漏送的问题。
而地址编码通常采用的是二进制编码，其中每个位都是一个二次函数。
通过对这些二次函数的分析，人们可以设计出高效而准确的地址编码方案。
综上所述，二次函数在生活中有着广泛的应用。
人们可以通过学习和掌握二次函数的相关知识，更好地理解和应用这个数学概念，为
实际生活中的问题提供更加精准和科学的解决方案。
二次函数在实际生活中的应用
三 、二 次 函 数 在 物 理 学 中 的 应 用
二次函数在物理运动学中有很多应用.比如自由落体、
位移、直线加速运 动、动 能 等. 有 时 它 虽 不 如 物 理 方 法 来 得
简单直观,但一些对物理情景较难想象的 同 学 利 用 二 次 函 数
(３)因 为 该 皮 裤 每 天 的 总 成 本 不 高 于 ２０００ 元 所 以 ５０[３００－１０(x－７０)]≤２０００,解 得 x≥９６ 又因 为 每 件 的 销 售 价 格 不 能 高 于 １００ 元,则 ９６≤x
≤１００ 因为 对 称 轴 x ＝７５,所 以 当 x ＝９６ 时,y 有 最 大 值,
二次函数在实际生活中的应用
周晓凤
摘 要:二次函数是数学教学中最重要的概念之一,它连接着初中、高中、大学这 一 条 主 线. 利 用 二 次 函 数 解 决 实 际 生 活 中 的问题时,可以运用数形结合思想、方程思想等对问题进行 简 单 化 处 理,将 抽 象 问 题 具 体 化、形 象 化,在 解 答 问 题 的 时 候 更 加 得
(１)如 图 ,求 该 图 形 的 函 数 解 析 式 . (２)在水深 为 １ 米 时,此 刻 水 位 处 于 正 常 水 位. 现 要 求 轮船通过时,与桥身无任何接触.桥下 水 面 的 宽 度 不 能 宽 于 ６ 米 ,求 水 深 到 达 多 少 米 时 会 影 响 轮 船 正 常 航 行 ?
在 我 们 在 旅 游 的 过 程 中,经 常 会 见 到 一 些 石 拱 桥,这 些 桥的建造体现了古代人的智慧.石桥的斗拱大多数都运用 了抛物线的形状,其 自 然 而 然 会 用 到 有 关 二 次 函 数 的 知 识. 如下例:
二次函数在生产、生活实际中有哪些应用？.
二次函数在生产、生活实际中有哪些应用？答：应用二次函数的有关知识，分析和解决生产、生活或相关学科中简单问题，既可提高学习数学的兴趣，又能增强用数学的意识．下面，结合喷灌设备的测算、差的平方和最小、造价最低、利润最大等问题予以说明．(1)图所示是喷灌设备图，水管AB高出地面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出略解：由顶点C(2，3.5)，设所求抛物线为y-3.5=a(x-2)2．由点B(0，1.5)在抛物线上，得a=-0.5．即y-3.5=-0.5(x-2)2．所以落地点D到原点距离约是4.6米．(2)因仪器和观察的误差，n次测量分别得到n个数据．规定最佳近似值a与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，求a值(用a1，a2，…，a n表示)．略解：建立关于a的二次函数，得y=(a-a1)2+(a-a2)2＋…＋(a-a n)2(3)将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个．如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个．为了获取最大利润，售价应定为多少元？略解：设每个提价x元，即每个售价为(50＋x)元，销量为(500-10x)个，则获利y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)=-10(x-20)2＋9000．所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大．(4)某种商品在近100天内的价格y与时间t(t为自然数)的函数关系是：0≤t≤求这种商品的日销售额S(元)的最大值．略解：当0≤t≤40时，所以t=10或11时，S取最大值808.5(元)．①当40＜t≤100时，所以t=41时，S取最大值714(元)．②综合①、②知，日销售额最大值808.5元．抛物线与汽车前灯把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状．这种形状，使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束，又能发射出较暗的、照射近距离的光线．明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜的焦点的光源射出的．反射镜的焦点是这样的一个点，从这一点发射的光线，经过反射镜的反射，能够沿着与抛物线的对称轴平行的方向发射出去，因此可以形成强烈的、照射得很远的平行光束．而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进不与抛物线的对称轴平行，只能向上和向下照射，所以射不远．如果把向上射出的光线遮住，车灯就只能发出向下的、射得很近的光线了．如果我们反过来应用这个性质，也就是在反射镜的焦点处放上灶具或食物(比如一个馒头)，那么能不能利用太阳能做饭(比如烤馒头)呢？如有条件，你可以试一试．二手助动车比尔把他的助动车作价100美元卖给汤姆。
二次函数在实际生活中的应用
第15课时┃二次函数的应用
解 析
(1)根据“若销售单价每个降低 2 元， 则每周可多卖出 20 个”列销售量 y(个)与降价 x(元)之间的函数关系式；(2)根据 “总利润＝单个产品利润×销售量”列二次函数，然后利用 配方法求最大利润；
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第15课时┃二次函数的应用
第15课时┃二次函数的应用
例3
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ，其
中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米 (如图15－5所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请 说明理由．
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园
的面积最大？并求出这个最大值．
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结
合函数图象y＝30－2x(6≤x＜15) (2)当矩形苗圃
园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，
最大值为112.5平方米 (3)6≤x≤11
图15－5
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第15课时┃二次函数的应用
解：(1)根据题意得：(30－2x)x＝72， 解得：x＝3或x＝12， ∵30－2x≤18， ∴x≥6，∴x＝12；
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第15课时┃二次函数的应用
例 3 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ， 其中 一边靠墙， 另外三边由长为 30 米的篱笆围成． 已知墙长为 18 米(如 图 15－5 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米． (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说 明理由．
(2021年整理)2018中考数学专题二次函数
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2018中考数专题二次函数(共40题）1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0,4）两点，直线AC：y=﹣x ﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;（2）连接GB,EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标;（3）①在y轴上存在一点H,连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E,F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标;②在①的前提下,以点E为圆心，EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．(1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示)；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．3．如图，直线y=kx+b(k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4,0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．(1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x,y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d，求d 关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标；（3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．4．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时,M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值;若不能,请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B(5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC，且AD=5,CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究:在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0)表示，对于这样的抛物线:（1）当抛物线经过点(﹣2，0）和（﹣1，3)时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2,﹣3，…,﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2,…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n,如果这组抛物线中的某一条经过点D n,求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1,0），B（4,0)，C(0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1）求这个二次函数的解析式;（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由;（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴,y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3,若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1)．（1）求抛物线的解析式；（2)猜想△EDB的形状并加以证明；(3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC,垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．10．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b,问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B(x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．11．如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0),点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．(1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;(3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标．12．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0)和点B（5，0)．（1)求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1,在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值;若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q,如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在,求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0,3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0）,抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式;（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3,0)，B(﹣2,3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；(2）设点M（1，m)，当MB+MD的值最小时，求m的值；（3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N,D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象经过A（﹣1,0）、B（4，0)、C(0，2）三点．（1)求该二次函数的解析式；（2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．16．如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1,0），D(﹣2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式;（2）是否存在点P,使∠APB=90°,若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD 以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？17．如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1)求的值；(2)若OC⊥AC,求△OAC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为l,顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由．18．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4）,D（﹣1,0）,点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2)有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P,交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1,0）,B（5，0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积;（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4,m）是该抛物线上的一点,在x轴，y轴上分别找点P，Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2)，直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE：MF的值．21．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0)、B（0，﹣2)两点，点C在y轴上，△ABC 为等边三角形,点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,设运动时间为t秒(t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G 在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式;（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D’的坐标;(3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中,设矩形DEGF 与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0)，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式;（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线,交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时,求点E的坐标；（3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由．23．如图1，点A坐标为(2,0）,以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点,且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时,如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在(2）的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时,m的取值．24．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B,C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8)，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2）如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP 折叠，使点B的对应点B’落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD,点M是直线CD上的动点,点N是平面内一点，当以点B，F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标．25．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）,B（m,0),与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在(1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1,﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．26．如图,⊙M的圆心M（﹣1，2）,⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2,0）和点C （﹣4，0）．（1)求抛物线的解析式；(2）求证：直线l是⊙M的切线；（3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4)和C（6，0）两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，BC，点E从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E 作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3）设点E从点A出发时，点E,F,G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．28．抛物线y=ax2+bx+c过A（2,3）,B（4，3），C（6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；(2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB交AC于点E，若满足=,求点D的坐标;（3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动,点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似,若存在,求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积;若不存在，请说明理由．29．如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C,且A（2，0)，C(0，﹣4），直线l:y=﹣x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE ⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1)试求该抛物线表达式;（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标；（3）如图(2），过点P作PH⊥y轴,垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？30．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0,3），∠BAC 的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;（2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标;（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．31．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x﹣2)2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F,如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD,PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B坐标为（4,t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．(1)当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；(2）点E是二次函数y=x2+bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合)，求OE•EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;(3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．33．在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B，与直线y=﹣x+1交于点C(4，﹣2)．（1）求抛物线的解析式；（2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1,B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．34．已知,抛物线y=ax2+bx+3(a＜0)与x轴交于A(3,0）、B两点,与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方,且CE=．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;（2）求证:直线DE是△ACD外接圆的切线；（3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD,求点P的坐标；（4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．35．如图①，在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3,0)，点B的坐标为（4，0）,连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1)填空:b= ，c= ;（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请求出运动时间t；若不存在,请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为(﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．36．如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动,连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；(3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF ∥PQ时，求点F的坐标；（4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问:是否存在t的值，使以B，Q,M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由．37．如图,直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求该抛物线的函数表达式;(2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B,C，Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°?若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线C1：y1=ax2+2ax（a＞0)与x轴交于点A，顶点为点P．（1）直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标；（2)把抛物线C1绕点M(m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0）,抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．①当m=1时，求线段AB的长；②在①的条件下,是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系,并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．39．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0)图象的顶点G在直线AB上，其中A（﹣，0）、B（0，3)，对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；(2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积,求点P坐标；(3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式;(2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．参考答案与试题解析（共40题）1．（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4)两点,直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；(2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H,连接EH，HF,当点E运动到什么位置时,以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心,EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0,4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴,∴,∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；(2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B，∴,∴,∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4）,∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴｜﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4｜=4，∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣2，∴G（﹣2,4）或（2+2，﹣12﹣12）或（2﹣2,﹣12+12）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC:y=﹣x﹣6，∴F(a，﹣a﹣6），设H（0,p）,∵以点A，E,F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线,∴（﹣4+0）=(a+a），（﹣4+p）=(2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2,P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知,E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4),∴EH=，AE=2,设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M,连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=,∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA,∴,∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E(﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+(2p+4)2=5（p+2）2,∵PE=，∴5(p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P(﹣,﹣1)，∵C(0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．2．（2017•贵港）如图，抛物线y=a（x﹣1)（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C,D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2)设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3)当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【解答】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a,∴C（0，3a),∵y=a(x﹣1）(x﹣3)=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a,∴D（2，﹣a)；（2)在y=a(x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A(1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得,∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0）,∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0,3a）,D(2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+(﹣a﹣3a）2=4+16a2,BD2=（3﹣2)2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况,①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去)或a=,此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．3．（2017•滨州）如图,直线y=kx+b（k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B(0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．【解答】解:（1）由题意可得，解得，∴直线解析式为y=x+3；(2)如图1，过P作PH⊥AB于点H,过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°,∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA,∴==,设H（m，m+3）,则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1）,∵A(﹣4，0）,B（0，3）,∴OA=4,OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+，∵＞0，∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣()2+2×+1=,∴当d取得最小值时P点坐标为（，）；（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，∴CE+EF=C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，∵C(0，1）,∴C′（2，1),由（2）可知当x=2时，d=×（2﹣)2+=，即CE+EF的最小值为．4．（2017•广安）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值;若不能，请说明理由．【解答】解:（1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1,∴﹣=1,解得b=2，∵抛物线过A（0,3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,令y=0可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,∴B点坐标为(3，0）；(2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t,﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去),∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3）,B（3，0）,∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时,OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ==，BQ==|2t﹣3｜，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时,则有|2t﹣3|=3,解得t=（舍去）或t=;当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=;综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．5．（2017•宜宾）如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1，0），B（5，0）两点．(1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x 轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3)在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．。
知识点21 二次函数在实际生活中应用2018-2019领军中考数学(解析版)
专题二十一二次函数在实际生活中应用瞄准中考二、填空题1.（2018辽宁省沈阳市，15，3分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD 的面积最大.第15题图【答案】150三、解答题2.(2018甘肃省兰州市,24,7分)某商家销售一款商品,进价每件80元,售价每件145元,每天销售40件,每销售一件需支付给商家管理费5元,未来一个月(按30天计算),这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降1元,通过市场调查发现,该商品单价每降1元,每天的销售量增加2件,设第x天(1≤x≤30,且x为整数)的销量为y件.（1）直接写出y与x的函数关系式;（2）设第x天的利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大?最大利润是多少元?【思路分析】(1)从第一天起单价均比前一天降1元,销售量每天增加2件,故y=40+2(x-1)=2x+38;(2)利润(w)=销量(y)×单位利润(单位价格-单位成本). 利润=销量×单位利润,将单位利润表示出来,再求二次函数的最大值即可.【解题过程】(1)y=38+2x;【解析】:(2)()()[]1580145382----+=xxw=-2（x-21）2+3200故x=21时,w 值最大,为2041元,即第21天时,利润最大,最大利润为3200元.3. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，23，10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1（元）、生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y 1（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式； （2）直接写出生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【思路分析】（1）确定一次函数图象上的两个点即可确定解析式；（2）y2是折线，∴解析式要分开写．（3）利用（售价－成本）×销量＝利润的公式求解．（3）设产量为xkg 时，或得的利润为w 元．①当0≤x ≤50时，w1＝（－0.6x ＋168－70）x ＝－0.6x2＋98x ． ∵对称轴为x ＝，∴当0≤x ≤50时，w1随着x 的增大而增大，∴当x=50时，w1有最大值3400元． 6分 ②当50＜x ＜130时，w2＝（－0.6x ＋168＋0.2x －80）x ＝－0.4（x －110）2＋4840．第23题图A BCD EF y /元60 168x /kg70 54O50130180∴当x ＝110时，w2有最大值4840元． 8分 ③当130≤x ≤180时，w3＝（－0.6x ＋168－54）x ＝－0.6x2＋114x ． ∵对称轴为x ＝95，∴当130≤x ≤180时，w3随x 的增大而减小． ∴当x ＝130时，w3有最大值4680元．答：当产量为110kg 时，有最大利润为4840元． 10分4. （2018贵州省毕节市，25，12分）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现,销售单价不低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系,当销售单价为44元时,日销售量为72件；当销售单价为48元时,日销售量为64件． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)设该护肤品的日销售利润为w (元),当销售单价x 为多少时,日销售利润w 最大,最大日销售利润是多少? 【思路分析】（1）用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式；（2）由公式“利润＝销售量×单件利润”得出w 与x 之间的二次函数关系式，再将其化为顶点式即可求出商场获得的最大利润．【解题过程】解：由题意可设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，∵当销售单价为44元时,日销售量为72件；当销售单价为48元时,日销售量为64件，∴72446448k bk b =+=+⎧⎨⎩，解得2160k b =-=⎧⎨⎩，故y 与x 之间的函数关系式为2160y x =-+； （2）()(40)(40)2160w x y x x =-=--+＝222406400x x -++＝22(60)13600x --+（40≤x ≤80），∴当x＝60时，w 有最大值，且w 的最大值为13600元．5. （2018年黔三州，24,14）某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）.（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少？（收益=售价-成本） （2）那个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由.（3）已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份 的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？（1）【思路分析】观察图1与图2中信息，结合收益=售价-成本即可得到结果.【解题过程】由图可知，6月份蔬菜每千克的售价是3元，每千克的成本是1元. 所以每千克的收益是3-1=2元；【知识点】函数图象，数形结合思想（2）【思路分析】先根据图1信息求出销售单价y1与销售月份x之间的函数关系式，根据图2所示，成本y2与销售月份x之间的函数关系式，再由“收益=售价-成本”，得到关于收益与成本直径二次函数关系式，最后根据二次函数性质求最大值.（3）【思路分析】将x=4、5分别代入求总收益w=(x-5)2+. 然后设4月份销售了m万千克，根据题意列方程求解.学科！网【解题过程】当x=4时，w=(4-5)2+=2，当x=5时，w=(5-5)2+=,设4月份销售了m万千克，则5月份销售了(m-2)万千克.由题意，列方程2m+(m+2)=22, 解得m=4，所以m+2=6.答：4、5两个月的销售量分别是4万千克、6万千克.考点（知识点）讲解考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分） 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
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专题提升(八)二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，y＝(x－9)(1 360－80x)＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b2a＝－2 0802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x＋1_000__；自变量x的取值范围为__30≤x≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.(3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200＝－x 2＋260x －16 400＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝⎩⎨⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）； (2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48， 当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎨⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意， 当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．。