(2021年整理)三角函数辅助角公式练习题
三角函数复习之辅助角公式经典讲义
4、已知 ,且 , 求 的值
５、求值
6、已知 ,求 的值
7、已知A、B为锐角,且满足 ,则 ＝＿_＿＿＿
8、设 中， ， ，则此三角形是＿___三角形
9、若 ,化简 为___＿＿
10、化简:
1１、已知 ,求
12、若 ,则 __
１3、若 ,求 的值。
14、若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值＿___
（A)奇函数(B)偶函数(C)在[(2k―1)π，2kπ]k∈Z为增函数(D)减函数
4．函数y=3sin（2x― )的图象，可看作是把函数y＝3sｉn２x的图象作以下哪个平移得到()(A)向左平移 (Ｂ)向右平移 (Ｃ）向左平移 (D）向右平移
5．在△ABC中，ｃosAcosB＞sｉｎAｓinB,则△ＡBC为()
(A)a＜b<c（B)ｂ<a<ｃ（C)ｃ＜b＜a(D）a＜c＜ｂ
１2.若sinx< ，则ｘ的取值范围为(）
(A)(2ｋπ，２ｋπ+ ）∪(2kπ+ ，２kπ＋π)(Ｂ)（2kπ+ ,2kπ+ ）
（C）（2kπ＋ ,２kπ+ ）（D) (2kπ－ ,2kπ+ )以上k∈Z
二、填空题：
13．一个扇形的面积是1cm2，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为___＿__。
三角函数复习之辅助角公式经典讲义
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三角函数复习之辅助角公式
一、两角和与差及二倍角强化训练
1、下列各式中，值为 的是
A、 Ｂ、 C、 D、
辅助角公式及三角恒等变换（附答案）
辅助⾓公式及三⾓恒等变换（附答案）辅助⾓公式与三⾓函数的图像性质1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ? ????π2－2x －2f 2(x )在区间?0，2π3上的值域．解：(1)∵⾓α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3 3．∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36． (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ? ????π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ?2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6．∴－12≤sin ? ????2x －π6≤1，∴－2≤2sin ? ?2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ? ????π2－2x －2f 2(x )在区间0，2π3上的值域是[－2,1]． 2、已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R ．(1)求f (x )的最⼩正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最⼤值和最⼩值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ?2x －π32＝12? ????12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ? ????2x －π6．所以f (x )的最⼩正周期T ＝2π2＝π．(2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，且f ? ????－π3＝－14，f ? ????－π6＝－12，f ? ????π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最⼤值为34，最⼩值为－12．3、(2016·北京⾼考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最⼩正周期为π．(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ? ?2ωx ＋π4，所以f (x )的最⼩正周期T ＝2π2ω＝πω．依题意，得πω＝π，解得ω＝1．(2)由(1)知f (x )＝2sin ?2x ＋π4．函数y ＝sin x 的单调递增区间为2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为?k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 4．(2014·北京⾼考)函数f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6 的部分图象如图所⽰．(1)写出f (x )的最⼩正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间－π2，－π12 上的最⼤值和最⼩值．解：(1)f (x )的最⼩正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3． (2)因为x ∈－π2，－π12，所以2x ＋π6∈－5π6，0．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最⼤值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最⼩值－3． 5．(2016·天津⾼考)已知函数f (x )＝4tan x sin ? ????π2－x ·cos ? ? x －π3－3．(1)求f (x )的定义域与最⼩正周期；(2)讨论f (x )在区间－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为x ?x ≠π2＋k π，k ∈Z ．f (x )＝4tan x cos x cos ?x －π3－ 3 ＝4sin x cos ? ?x －π3－ 3＝4sin x ? ????12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ?2x －π3．所以f (x )的最⼩正周期T ＝2π2＝π． (2)令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ．设A ＝－π4，π4，B ＝x－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝－π12，π4．所以当x ∈－π4，π4时，f (x )在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．6．(2015·重庆⾼考)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ．(1)求f (x )的最⼩正周期和最⼩值；(2)将函数f (x )的图象上每⼀点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈π2，π时，求g (x )的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －3 2＝sin ?2x －π3－32，因此f (x )的最⼩正周期为π，最⼩值为－2＋32．(2)由条件可知g (x )＝sin ?x －π3－32．当x ∈π2，π时，有x －π3∈π6，2π3，从⽽y ＝sin ? ????x －π3的值域为12，1，那么g (x )＝sin ? ?x －π3－32的值域为1－32，2－32．故g (x )在区间π2，π上的值域是1－32，2－32． 7、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x, 3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最⼩正周期，并求其图象对称中⼼的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ?2x －π3，所以f (x )的最⼩正周期为π，令sin ? ????2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故对称中⼼为? ???? k π2＋π6，0，(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ? ????2x －π3≤1，故f (x )值域为－32，1．8．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所⽰． (1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ? ????x ＋13，求函数g (x )在区间－12，13上的最⼤值和最⼩值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6．由于f (x )的最⼩正周期等于2，所以由题图可知17π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ? ?πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53．(2)因为f ? ????x ＋13＝cos π? ????x ＋13＋π6＝cos ? ?πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ? ????x ＋13＝cos ? ?πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ? ??π6－πx ．当x ∈－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3．所以－12≤sin ?π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最⼤值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最⼩值－32．9、已知函数f (x )＝2sin 2? ????π4＋x ＋3cos 2x ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的⽅程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝2sin 2π4＋x ＋3cos 2x＝1－cos ? ????π2＋2x ＋3cos 2x＝1＋sin 2x ＋3cos 2x＝1＋2sin ?2x ＋π3，则由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．所以函数的单调递增区间为??k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． (2)由f (x )－m ＝2，得f (x )＝m ＋2，当x ∈?0，π2时，2x ＋π3∈π3，4π3，∵f (0)＝1＋2sinπ3＝1＋3，函数f (x )的最⼤值为1＋2＝3，∴要使⽅程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，则f (x )＝m ＋2在x ∈0，π2上有两个不同的解，即函数f (x )和y ＝m ＋2在x ∈0，π2上有两个不同的交点，即1＋3≤m＋2＜3，即3－1≤m ＜1．所以实数m 的取值范围为[3－1,1)． 10．已知f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈?0，π2时，f (x )的最⼤值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满⾜f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解：(1)f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ．(2)当x ＝π6时，f (x )取得最⼤值4，即f ? ????π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin2x ＋π6＋2＝1，可得sin ? ?2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，⼜x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为－π2，－π6，π2，5π6．11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最⼤值，最⼩值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ? ? 2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为?k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ?2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最⼤值为1，最⼩值为－2． 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)0<φ<2π3的最⼩正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点? ????π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最⼩正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2． (2)f (x )的图象过点? ????π6，32时，sin ? ????2×π6＋φ＝32，即sin ? ????π3＋φ＝32．⼜∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3．∴f (x )＝sin ? ? 2x ＋π3．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．∴f (x )的单调递增区间为?k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ．。
辅助角公式及三角恒等变换(附答案)
辅助角公式与三角函数的图像性质1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33．∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36． (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6．∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]． 2、已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R ．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12．3、(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω． 依题意，得πω＝π，解得ω＝1．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4．函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 4．(2014·北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0． 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π． (2)令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4．所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．6．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ．(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32．(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32． 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32． 7、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x, 3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期为π，令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．8．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6．由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1<x 0<2， 故7π6<πx 0＋π6<13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53．(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3．所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1， 故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32．9、已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos 2x ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos 2x＝1＋sin 2x ＋3cos 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． (2)由f (x )－m ＝2，得f (x )＝m ＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∵f (0)＝1＋2sinπ3＝1＋3，函数f (x )的最大值为1＋2＝3， ∴要使方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，则f (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，即函数f (x )和y ＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点，即1＋3≤m＋2＜3，即3－1≤m ＜1．所以实数m 的取值范围为[3－1,1)． 10．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ．(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]， 可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6， 所以x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－π2，－π6，π2，5π6．11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2． 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2． (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3．∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ．。
必修四 辅助角公式及恒等变形典型题训练
必修四辅助角公式及恒等变形典型题训练一、辅助角公式应用例题；已知函数2()(1cot )sin sin()sin()44f x x x m x x ππ=+++-．（1）当0m =时，求()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围；（2）当tan 2α=时，3()5f α=，求m 的值．练习1.若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.练习2.函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（）A.5πB.2πC.πD.2π练习3.若函数()(1tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2C 1D 2+练习4.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数二、三角恒等变换的基本题型三角函数的化简、证明、计算的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构1、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.例题1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题2、已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值例题3、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值2、三角函数名互化(切化弦)例题1、求值sin 50(1)+例题2、函数()(1tan )cos f x x x =+的最小正周期为A．2πB．32πC．πD．2π例题3、 40cos 270tan 10sin 310cos 70tan -+=______3、公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。
三角函数辅助角公式练习题讲解学习
又细又长又白又胖又唱又跳又紫又亮原（草原）（平原）（高原）（原来）（原因）
双人旁：得、往、很④高兴——高高兴兴大小——大大小小多少——多多少少
雪白的肚皮白白的手帕白白的墙
一条尾巴一只猴子一群猴子一枝铅笔一袋洗衣粉
例：我已经长大了。小树已经发芽了。
乡（家乡）（老乡）（乡亲）（乡情）（乡下）很红很红的苹果很多很多的小鸟很美很美的花儿6.已知函数
4.已知函数f(x)＝ (sinx－cosx)
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
5.已知函数y= cos2x+ sinx·cosx+1（x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样式成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2.sin15°cos30°sin75°的值等于（）
A. B. C. D.
3.函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是（）
A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z)B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z)D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
③又香又甜又大又圆又高又大又细又长
竖心旁：快、忙、情、怕
（以后）——（以前）（冷淡）——（热情）黑暗——（光明、明亮）尖尖的铅笔闪闪的星星蓝蓝的天空
走字旁：赶、起
人字头：全、会、合雪（雪白）（雪花）（白雪）（下雪）（雪人）
干（干净）吃（吃草）办（办法）跳（跳高）队（大队）像（好像）我（我的）座（座位）例：西瓜长得那么大，那么圆。苹果那么香那么甜。zh?ng(长高) lè（快乐）zhī（一只）kòng（有空）将f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
辅助角练习
()()减区间的最小正周期和单调递求函数已知函数x f Rx x x x x x f ∈++=,cos 2cos sin 3sin .1222.已知函数)(12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+=（1）求函数的最大值及最小正周期；（2）求函数的单调递减期间。
3.求函数y=-x 2cos +x cos 3+45的最大值及最小值，并写出x 取何值时 函数有最大值和最小值。
4.已知函数y=)sin(φω+x A （A ＞0,ω ＞0,πφ〈）的最小正周期为32π， 最小值为-2，图像过（95π，0），求该函数的解析式。
1.在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．3B ．123C ．3或23D ．22.已知△ABC 的周长为9，且4:2:3s i n :s i n :s i n =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．32 3.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°4.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
5.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.6.在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于_____7.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为_____8.在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________.9.在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ＝13，则角C 为_______ 10.在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则边c ＝________11.在△ABC 中，若a 2＋b 2＝c 2＋ab ，则角C ＝_____12.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为______13. 已知在△ABC 中，A=450，AB=6，BC=2，求解此三角形.14.在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。
1(,)。
6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。
1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。
(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。
12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。
4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。
3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。
310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
辅助角公式专题练习
cos x)a 2b 2(3) sin cos (4)¥ cos(3如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=对称，那么a=辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx 402~b 2 (a -sin x■- a 2 b 2 sin(x )cosa其中辅助角由 、a 2 b 2 确定，即辅助角 的终边经过点（a,b ）sinb■. a 2 b 2二.训练1.化下列代数式为一个角的二角函数(1) -sincos(2) •. 3 sincos ；22(A) 2 (B) 2 (C) 1 ( D) -13、已知函数的值域4、函数的值域5、求5sin 12cos 的最值n6.求函数y = cos x + cos x + 的最大值7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单 调递增区间是（过程（）A. B. C. D.（果 过程.a 2 b 2 sin(x )参考答案asi nx bcosx1. (6)_b_a 2b 2cosx)2.［答案］C …nn［解析］y = 2sin -3 — x — cos — + xn=cos x + ~ (x € R).n■/ x € R,「. x + — € R,「. y min =— 1.3.答案：B 解析因为==当是，函数取得最大值为 2.故选B 4.答案Ccos其中辅助角由sinaa 2b 2 b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）7t 7t=2cos + x — cos + x6 6［解析］法3n 1Tcos x +— +2sin7tn n—cos — — x — — = 3cos nx +石ny =cos x +cos x cosT —sin. n x sin 33 2cos x —*nx = -3cos x — Jsin x 2 2 解析，由题设的周期为，•••, 由得，，故选C5.解：可化为 y 1 a 2sin(2x)。
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（完整）三角函数辅助角公式练习题
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）三角函数辅助角公式练习题的全部内容。
1.已知函数2
cos )(x x f =,则下列等式成立的是( ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π
C 、)()(x f x f -=-
D 、)()(x f x f =-
2。
sin15°cos30°sin75°的值等于
（ ）
A 。
错误! B. 错误! C. 错误! D. 错误! 3。
函数y ＝sin(错误!－2x )的单调增区间是 （ ）
A 。
[kπ－3π8
，kπ＋错误!］（k ∈Z ） B.［kπ＋错误!，kπ＋错误!］(k ∈Z ) C 。
［kπ－错误!，kπ＋错误!］(k ∈Z ） D.[kπ＋错误!,kπ＋错误!］(k ∈Z ）
4。
已知函数f （x )＝2
1log (sin x －cos x )
（1)求它的定义域和值域；(2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；(4）判断它的周期性，如果是周期函数,求出它的一个周期。
5.已知函数y=2
1cos 2x+2
3sinx ·cosx+1 （x ∈R ）， (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2)该函数的图像可由y=sinx （x ∈R ）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6。
已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x x x x f +=
将f （x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；。