辅助角公式专题训练.pptx
简单的三角恒等变换第二课时辅助角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
二倍角公式及辅助角公式综合应用PPT课件
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
sin cos 1 sin 2
2
sin2 1 cos 2
2
cos2 1 cos 2
2
2.再利用辅助角公式将y化成
形式
3. 再利用
的知识解决题中的问题，
如：周期性、单调性、 最值、奇偶性、对称性等
-
21
（2）y 2sin2 x
-
9
3.将下列各式化为 A sin(x ) B
的形式.
（1）.2sin x cos x 2cos2 x
（2）.1 sin 2x 3sin2 x 2
-
10
例2、当0 x 时，求函数y 3sin x 4cos x的最值
2 及最小正周期.
例3、求函数y 3sin2x +4cos2x的最值及最小 正周期.
从而： cos2 1 cos 2
2 -
4
同 1 2sin 2 cos 2
样
： 2sin 2 1 cos 2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
-
5
2sin cos sin 2
sin cos 1 sin 2
降
2
幂
2cos2 1 cos 2
升
cos2 1（1 cos2）
4
（1）f (5) 2sin 11 1
4
4
2sin 1 Βιβλιοθήκη 2.4(2)T= 2=π.由
2k 2x 2k , k Z,
2
2
4
2
得 k 3 x k , k Z.
8
8
所以f(x)的单调递增区间为 [k 3 , k ], k Z.
必修四第三章辅助角公式PPT优秀课件
6
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos
（2） 2sinx - 6 cos x
（3）sin 2x cos 2x
7
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos 2x sin ）
6
6
2sin 2x
6
8
作业： 必修四教材 第137页 第13题
(1) (2) (3) (4)
9
10
个人观点供参考，欢迎讨论
利用辅助角公式可以将形如式子转化为一个角的一种三角函数形式
1
复习： (1)正余弦和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
对于形如 a sin x b cos x 如何化简呢
5
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 a sin x b cos x 的
2
探究：
1.公式的逆用
sin cos cos sin sin( ) sin 3
12 4
12 4
3.1辅助角公式及应用的公开课比赛课件
②从三角函数的定义出发进行推导
2019/10/10
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公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数 的定义知
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辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
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注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三
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课后作业
P.132 练习6
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小池中学 方国华
谢谢指导！
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可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
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公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
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辅助角公式精品PPT课件
（2）当0 x 时，求函数的最大值与最小值；
（3)求函数的对称轴.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
练习 把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 sin cos
(2) 3 sin 1 cos
2
2
(3)cos
x
cos
x
3
例:已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点（3 ，0） 和（ ，1）。
2 （1）求实数a和b的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得最大值？
已知函数y= sin（x+ ）+ cos x。
C C
S S
引例 把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2)sin cos
(3)a sin x b cos x
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
2
a
sin x
a2 b2
两角和与差的三角函数
我们的目标 掌握“合一变形”的技巧及其应
用
1、两角和、差角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
精品-辅助角公式及应用省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
辅助角公式旳推导及简朴应用
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
认定目的
1、了解辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x )旳 推导过程
2、 会将 a sin x b cos x（a、b不全为零）化为只具 有一种正弦旳三角形式
6
sin cos 5 cos s sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
思索： 经过前面四个题目我们发觉，是不是任
何一种同角旳异名函数能够转换成一种角旳 三角函数值呢？假如能，那么又是怎么转化 旳呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
学前测评
1.两角和与差旳正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差旳正弦公式旳应用
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
3、会利用辅助角公式处理三角函数问题
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也能够从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 能够化为一种角旳三角函数形式
思索：一般地，a sin x b cos x 是否能够化为 一种角旳三角函数形式呢?
辅助角公式》专题(更新版)
辅助角公式》专题(更新版)XXX高一数学组辅助角公式》专题2017年（日期未知）班级姓名XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。
我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。
接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。
问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。
asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))a^2+b^2(sin x+cosx)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，cosφ=a/(a^2+b^2)。
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。
接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。
1)sinx+cosx2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.2)sinx-cosx2^0.5/2)sin(x-π/4)- (2^0.5/2)cos(x-π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=-π/4.3)3sinx+cosx10/2sin(x+0.197)-√10/2cos(x+0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=0.197.4)3sinx-cosx10/2sin(x-0.197)+√10/2cos(x-0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-0.197.5)sinx+3cosx10/2sin(x+1.373)-√10/2cos(x+1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=1.373.6)sinx-3cosx10/2sin(x-1.373)+√10/2cos(x-1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-1.373.接下来，我们来求函数的周期。
辅助角公式专题练习
精品文档辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx~b 2 ( a- sin xyf a b 2 b 2 sin(x )二.训练1. 化下列代数式为一个角的三角函数2、如 果 函数 y=s in 2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=8()(A ) -.2 ! (B)2 (C ) 1 (D ) -13、已知函数 f(x) 2、.3si nx 2cos x. x [0,],求 f (x)的值域其中辅助角由cossinab确定，即辅助角ba 2b 2的终边经过点（a,b ）=b —cosx) .a 2 b 2..a (1) 1 .sin 2cos ；(2) •. 3 sincos(3) sincos (4)O O线线O O号考订订级O班O名装姓装校O学O 外内O O4、函数y 2COS(2X ), x [,]的值域6 6 45、求5sin 12COS的最值6.求函数ny= COS X + cos X + 3 的最大值7.已知函数f(x) 3 sin X COS X( 0) , y f (X)的图像与直线两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是( )A. [k5丁穆k ZB. 5 11[k ,k ],k Z1212C. [k护評ZD.[k 6'k勺,kZ(果过程y 2的(过程O O 线线O O号考订订级O班O名装姓装校O学O 外内O O精品文档2. ［答案］Cnn［解析］y = 2sin 3- x — cos §+ xn i n i=2cos 6 + x — cos 6+ x n=cos x + 6 (x € R).nx € R , • • • x + 6 € R, y min = — 1.3. 答案：B 解析因为 f(x) (1 ,3 tan x)cosx = cosx 、3sinx = 2cos(x —)3当x是，函数取得最大值为 2•故选B3参考答案 asi nx bcosx1. (6) sin x cosx)、a 2 b 2 sin(x)cos其中辅助角由sina a 2b 2b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）精品文档时，y 取得最值± 1 a 2，即83.n n . =cos x + 3 cos 3 + sin=|cos x + n +*sin x + 二 =书乎cos x + n + 如 n x + n = 3cos x -= 3cos x + ； w 3nn法二: y = cos x + cos x cos 3 — sin x s in 3 =2cos x — 23sin x = 3 23cos x — ；sin x =3cos x +,4.答案C 解析f (X ) 2si n( x ) 6由题设 f(x)的周期为T ,由2k2x — 2k66，k Z，故选C5.解: 可化为 y 1 a 2 sin(2x7.［答案］［解析］ 法一：y = cos n nx + 3 — 3 + cos1 n . nx 十 3 sin 3 +cosrn r当 cos x + 6 = 1 时， y max =寸 3.10.解：f(x) cos(2k2x) cos(2k32x) 2.3si n(— 2x)32 cos(—32x) 2.3si n(— 2x)3精品文档2x)cos 石cos(§ 2x)s in 石］4si n(2x所以函数f(x)的值域是［-4 , 4］。
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在区间
0,
4
上的最值.
7. 已知函数 f (x) 2 cos x sin(x ) 3 .（1）求函数 f (x) 的最小正周期及取得最大值时 x 的取
32 值集合；（2）求函数 f (x) 图像的对称轴方程.
2
学海无 涯
8. 已知函数 f (x) 2a cos 2x b sin x cos x
3
3
3
2
4
求函数h(x) f (x) g(x) 的最大值，并求使h(x) 取得最大值的 x 的集合.
12.
设函数
f (x) sin(
x ) cos 2
x 1 ，若函数 y
g(x) 与 y
f (x) 的图像关于直线
x=1
46
8
对称，求当 x 0, 43时，函数 y g(x) 的最大值.
（2）能否会将asin b cos（ a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的形式？
五、作业布置
1. 把
3
sin
6
3cos
6
化为
Asin(
)
A
0
的形式
=
.
2. 关于 x 的方程2sin x 5 cos x 1 有解，求实数 k 的取值范围.
k
3. 已知sin x 3 cos x 4m 6 ，求实数 m 的取值范围.
学海无 涯
辅助角公式专题训练
教学目标 1、会将asin b cos （ a 、 b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式
教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选 取 教学过程
一、复习引入 （1）两角和与差的正弦公式
sin =
； sin =
.
（2）利用公式展开sin
3 ，且 f (0)
3
，
f
( )
1
.（1）求函数
f (x) 的
2
2
42
单调递减区间；（2）函数 f (x) 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
9. 设函数 f (x) cos(x 2 ) 2 cos2 x , x R .（1）求 f (x) 的值域；（2）求函数 f (x) 图像的对
13. 已知函数 f (x) 2 cos 2x sin2 x 4 cos x .（1）求 f ( ) 的值；（2）求函数 f (x) 的最值.
3
14. 已知向量m (sin A,cos A) ， n ( 3, 1) ， m n 1，且 A 为锐角. （1）求角A 的大小；（2）求函数 f (x) cos 2x 4cos xsin A(x R) 的值域.
4
=
； 反之， 2 sin 2 cos =
.
2
2
尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 Asin( ) A 0 的形式
（1） 3 sin 1 cos
2
2
二、辅助角公式的推导
（2）sin 3 cos
对于一般形式a sin b cos（ a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
3
2
称中心坐标.
10. 已知函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x ) sin(x ) .（1）求函数 f (x) 的最小正周期和图像
3
4
4
的对称轴方程；（2）求函数 f (x) 在区间 12,2 上的值域.
11. 已知函数 f (x) cos( x) cos( x), g(x) 1 sin 2x 1 .（1）求 f (x) 的最小正周期；（2）
6. 已知函数 f (x) 1 sin 2x sin cos2 x cos 1 sin( ) (0 )，其图像过点( ,1 )
2
22
62
（1）求的 值；（2）将函数 y f (x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变，得到
2
函数
y
g(x)
的图像，求函数
y
g(x)
a sin b cos a2 b2 ( a sin b cos ) a 2 b2 sin( )
a2 b2
a2 b2
cos
其中辅助角
由
sin
a
a2 b2 确定，即辅助角 （通常0 2 ）的终边经过点(a,b) ，我们称上
b a2 b2
述公式为辅助角公式，其中角 为辅助角.
三、例题反馈
例１、试将以下各式化为 Asin( ) A 0 的形式.
（1） 3 sin 1 cos
2
2
（2）sin cos
（3） 2 sin 6 cos
（4）3sin 4cos
例 2、试将以下各式化为 Asin( )（ A 0, [, )）的形式.
（1） sin cos
（2）cos sin
4m
4. 利用辅助角公式化简： sin80 1 3 tan10 cos 50
5. 已知函数 f (x)
3 4
sin
x
1 4
cos
x.（Biblioteka ）若cosx5 13
，x
2
,
，求
f
(x)
的值；（2）将
函数 f (x) 的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m ，求 m 的值.
（3） 3 sin cos
1
学海无 涯
例 3、若 sin(x 50 ) cos(x 20 ) 3 ，且 0 x 360 ，求角x 的值.
例 4、若 3 sin(x ) cos(x ) 2 ，且 x 0 ，求 sin x cos x 的值.
12
12 3
2
四、小结思考 （1）公式asin b cos a2 b2 sin 中角 如何确定?