高三数学三角函数综合试题答案及解析
2023北京高三(上)期末数学汇编：三角函数章节综合
2023北京高三（上）期末数学汇编三角函数章节综合一、单选题 1．（2023秋·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（ ） A ．625B ．1225C ．1825 D ．24252．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数()cos2f x x =在区间()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值为()M t ，则()M t 的最小值为（ ）A B ． C ．12D ．12−3．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知13πlg5,sin ,27a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）若()4sin π,cos 05αα−=−>，则tan α=（ ）A ．34B ．34−C ．43D ．43−5．（2023秋·北京房山·α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．cos cos αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos sin αβ>D ．cos sin αβ<6．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数()sin 2f x x x =，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线π3x =对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 最小正周期为π，且作π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．()f x 的图象向右平移π12个单位得到一个偶函数的图象 7．（2023秋·北京·高三校考期末）若角α的终边过点(3,4)P −，则cos 2=α（ ） A ．2425−B ．725C ．2425D ．725−二、填空题8．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________． 9．（2023秋·北京房山·高三统考期末）函数()0.03sin(1000π)0.02sin(2000π)0.01sin(3000π)f t t t t =++的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①1500是函数()f t 的一个周期； ②()f t 的图象关于直线1500t =对称； ③()f t 的图象关于点1,0500⎛⎫⎪⎝⎭对称； ④()f t 在11,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中所有正确结论的序号是______.10．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）若函数cos sin y x x =−在区间[0,]a 上是严格减函数，则实数a 的最大值为________ 三、解答题11．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知函数()()2sin22cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间.12．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知函数()cos2(02)f x x x ωωω=−<<，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， (1)求()f x 的解析式；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围.条件①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到；条件③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.13．（2023秋·北京·高三校考期末）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===−．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高． 四、双空题14．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知函数()cos f x x x −，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为______.参考答案1．D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案. 【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=， 解得：sin2α=2425. 故选：D 2．D【分析】根据()f x 在x t =取最大值，可判断()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 要么在()f x 的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴ππ2k +不小于右端点，即可得πππ3k t k ≤≤+，进而可求()M t 的最小值. 【详解】()cos2f x x =的周期为π，()cos2f x x =的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈,单调递减区间为ππ,ππ2k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 当x t =取最大值，故可知ππ,π,ππ32t t k k ⎡⎤⎡⎤+⊄++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当ππππ32k t t k ≤<+≤+时，即πππ6k t k ≤≤+，Z k ∈,()f x 在()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 单调递减，显然满足最大值为()M t ，当ππππ<23k t k t ≤<++时，要使()M t 是最大值，则需满足ππππππππ2323k t t k k t k ⎛⎫⎛⎫+−≥+−+⇒≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈综上可知当πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈时，()f x 在x t =取最大值()M t ， ()=2cos 2M t t 在πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈单调递减，故当ππ3t k =+时，()M t 取最小值，且最小值为12−，故选：D 3．B【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为lg10<，所以112a <<， 因为ππsinsin 76<，所以12b <， 因为01322>，所以1c >，因此b a c <<，故选：B 4．D【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()4sin πsin ,cos 05ααα−==−>，所以3cos 5α=， 所以sin 4tan cos 3ααα==−. 故选：D 5．D【分析】根据题设可得ππ0ππ22βαβ<−<<<−<，结合诱导公式判断内角α、β对应三角函数值的大小关系.【详解】由锐角三角形知：ππ2αβ<+<且π0,2αβ<<， 所以ππ0ππ22βαβ<−<<<−<， 则πsin()sin 2βα−<，即cos sin βα<，且πcos()cos 2βα−>，即sin cos βα>.又已知角的大小不确定，故A 、B 不一定成立，而C 错，D 对. 故选：D 6．C【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可.【详解】π()sin 222sin(2)3f x x x x ==+，对于A ，因为ππ2sin 22sin π02333f π⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3x =不是函数图象的对称轴，所以A 错误，对于B ，因为πππ2π2sin 22sin06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π(,0)6不是函数图象的对称中心，所以B 错误，对于C ，()f x 的最小正周期为2ππ2=，当()πππ2π22πZ 232k x k k −+≤+≤+∈即 ()5ππππZ 1212k x k k −+≤≤+∈时，()f x 单调递增，所以 ()f x 在π[0,]12上单调增，所以C 正确；把()f x 的图象向右平移 π12个单位得到函数πππ2sin 22sin(2)1236y x x ⎡⎤⎛⎫=−+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，没有奇偶性，所以D 错误， 故选：C7．D【解析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P −知，4sin 5α，3cos 5α=−，故229167cos 2cos sin 252525ααα=−=−=−. 故选：D. 8．4【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=−=−∈，ππππ,62366T ωω=≥−=≤， 由于0ω>，所以ω的值为4. 故答案为：4 9．①③④【分析】①应用诱导公式判断判断1()500f t +()f t =是否成立即可；②③2()500f t −、()f t 的等量关系判断正误；④判断ππ1000π[,]66t ∈−，ππ2000π[,]33t ∈−，ππ3000π[,]22t ∈−上sin(1000π)t ，sin(2000π)t ，sin(3000π)t 对应单调性，即可判断.【详解】①()()1()0.03sin 1000π2π0.02sin(2000π4π)0.01sin 3000π6π500f t t t t +=+++++()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =++()f t =， 所以1500是函数()f t 的一个周期，正确； ()()()2()0.03sin 4π1000π0.02sin 8π2000π0.01sin 12π3000π500f t t t t −=−+−+−()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =−−−()f t =−， 所以()f t 不关于直线1500t =对称，而关于点1,0500⎛⎫⎪⎝⎭对称，②错误，③正确； ④11,60006000t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则ππ1000π[,]66t ∈−，ππ2000π[,]33t ∈−，ππ3000π[,]22t ∈−， 而sin y x =在ππ[,]66−、ππ[,]33−、ππ[,]22−均递增，故()f t 在11,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确.故答案为：①③④10．34π【分析】化简cos sin y x x =−得到4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合cos y x =的单调递减区间得到4a ππ+≤，即可求出结果.【详解】因为cos sin 4y x x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭,又因为在区间[0,]a 上是严格减函数，且cos y x =的单调递减区间为[]()2,2k k k Z πππ+∈， 所以4a ππ+≤，即34a π≤，所以实数a 的最大值为34π， 故答案为：34π. 11．(1)1.(2)5π7π2π,2π1212k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .【分析】（1）化简()f x 的表达式，根据最小正周期求得ω的值；（2）根据三角函数图象的变换规律，可得()y g x =的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）因为()2sin22cos f x x x ωω=+sin2cos21x x ωω=++π214x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==,依题意得ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知()π214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到π14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向右平移π3个单位，得到πππ114231y x x ⎛⎫⎛⎫=−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()π112g x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，由函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ,令πππ2π2π,Z 2122k x k k −≤−≤+∈，得5π7π2π2π,Z 1212k x k k −≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5π7π2π,2π1212k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .12．(1)()π2sin(2)6f x x =−;(2)[2,)+∞.【分析】（1）化简()π2sin(2)6f x x ω=−，若选①，将点π,23⎛⎫⎪⎝⎭代入求得1ω=，可得答案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得1ω=，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定1ω=，可得答案； （2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦确定ππ5π2[,]666x −∈−，从而求得()f x 的范围，根据不等式恒成立即可确定实数m 的取值范围.【详解】（1）()πcos22sin(2)6f x x x x ωωω=−=−;选①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭，则ππ2sin(2)236ω⨯−=，所以πππ22π,Z 362k k ω⨯−=+∈，则13,Z k k ω=+∈，由02ω<<，可得1ω=，则()π2sin(2)6f x x =−；选②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，即()π2sin(2)6f x x ω=−的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，则1ω=，则()π2sin(2)6f x x =−.选③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数的最小正周期为π，故2π22,1πωω==∴=， 故()π2sin(2)6f x x =−.（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2[,]666x −∈−,则π1sin(2)[,1]62x −∈−， 故()π2sin(2)[1,2]6f x x =−∈−，又当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，故2m ≥, 即实数m 的取值范围为[2,)+∞.13．（1）∠A =π3；（2）AC【分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高．【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中,∵1πcos ,,π,sin 72B B B ⎛⎫=−∴∈∴=⎪⎝⎭由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+−．因为17,8,cos 7a b B ===−，代入上式可得3c =或5c =−（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +−==，又(0,π)A∈，所以π3A =．（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC 中，∵sin sin()sin cossin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫−+ ⎪⎝⎭如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7， ∴AC［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =−⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC ．［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 14． 1 ()0,0(答案不唯一)【分析】化简()2sin 6f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，代入即可求出π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；由三角函数的平移变换求出()g x ，再由三角函数的性质求出()g x 的对称中心，即可得出答案.【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，所以π2sin 1336f ππ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()2sin 2sin 66g x x x ππ⎛⎫=+−= ⎪⎝⎭，所以()g x 的对称中心为(),0k π. 故()g x 的一个对称中心为()0,0. 故答案为：1；()0,0(答案不唯一).。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.凸四边形中，其中为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：3分同理在⊿PQB中∴∴ 6分（2） 8分∴当时，。
12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.（1）求B；（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.解：（1）解法一：因为，所以 2分由余弦定理得，整理得所以 4分又因为，所以. 6分解法二：因为，所以 2分由正弦定理得所以整理得因为，所以，所以 4分又因为，所以. 6分（2）8分因为，则， 10分所以，即在上取值范围是. 12分【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【答案】（1）（2）tanα=1或tanα=4【解析】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．5. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B6.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.7.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则s inA+s inB的最大值是（）A．1B．C．D．3【答案】C【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+<,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．9.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切10.已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．【答案】－【解析】由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，∵(α＋β)－α＝β，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.∴tan2β＝11.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝12.计算：(tan10°－)·sin40°.【答案】－1【解析】原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.13.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.【答案】β＝【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴ sin(α－β)＝，∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝15.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则f(x)＝，max依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.16.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.17.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.18.设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及三角形内角和关系，将原式化成，化简得，从而；（2）利用两角差的正切展开，将代入，接着利用均值不等式即可算出最大值.试题解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则；（2）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.两角差的正切；3.均值不等式.19.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．20.的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.21.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.22.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性23.定义运算，则函数的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解析】根据新定义运算得：，所以最小正周期.【考点】1、创新意识；2、三角函数变换；3、三角函数的周期.24.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.25.若，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.26.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.27.化简计算： _.【答案】【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角和的正切公式的运用。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。
（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
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高三数学三角函数综合试题答案及解析1.从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解析】圆x2+y2﹣12y+27="0" 即 x2+（y﹣6）2=9，设两切线的夹角为2θ，则有sinθ==，∴θ=30°，∴2θ=60°，∴劣弧对的圆心角是120°，∴劣弧长为×2π×3=2π，故选 B．2.已知tan,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且3π＜＜,则cos+sin= ( )A．B．C．-D．-【答案】C【解析】∵tan·=k2-3=1∴k=±2,而3π＜＜,∴tan>0,即tan+=k=2，解之得tanα=1，所以sin=cos=∴cos+sin=-3.已知函数.(1)求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；（2）已知中，角的对边分别为若求实数的最小值.【答案】（1）；（2）实数取最小值1【解析】（1）先用诱导公式化为二倍角，再用两角和的正弦化为一个三角函数，然后求使得成立时x的集合即可；(2)利用已知中求出A角的值，在△ABC中根据余弦定理用含b，c的代数式表示a的平方，再由b与c的和为定值利用均值不等式从而求出a的最小值.试题解析：(1).∴函数的最大值为.要使取最大值，则，解得.故的取值集合为. 6分（2）由题意，，化简得，，∴，∴在中，根据余弦定理，得.由，知，即.∴当时，实数取最小值 12分【考点】(1)三角函数的最值(2)余弦定理和基本不等式.4.已知函数f(x)＝sin2＋sin－.(1)在△ABC中，若sin C＝2sin A，B为锐角且有f(B)＝，求角A，B，C；(2)若f(x)(x＞0)的图象与直线y＝交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前2n项和，n∈N*.【答案】（1）（2）(2n2－n)π.【解析】(1)因为f(x)＝＋sin －＝sin －cos ＝sin ＝sin x，又因为f(B)＝，故sin B＝.又B为锐角，所以B＝.由sin C＝2sin A，得c＝2a，所以b2＝a2＋4a2－2a·2a cos ＝3a2.所以c2＝a2＋b2.所以△ABC 为直角三角形，C＝，A＝－＝.(2)由正弦曲线的对称性、周期性，可知＝，＝2π＋，…，＝2(n－1)π＋，所以x1＋x2＋…＋x2n－1＋x2n＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π＝nπ＋n(n－1)·4π＝(2n2－n)π.5.已知向量a=(sin(α+),1),b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin(α+)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵a⊥b,∴a·b=4sin(α+)+4cosα-=0,即sin(α+)+cosα=,即sinαcos+cosαsin+cosα=,即sinα+cosα=,故sinα+cosα=,故sin(α+)=,又sin(α+)=-sin(α+)=-.故选B.6.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.7.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】三角函数的诱导公式及三角函数值.8.已知向量与，其中(Ⅰ)若，求和的值；(Ⅱ)若，求的值域.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)的值域为．【解析】(Ⅰ)由已知条件，得，由此可求得的值，由于为特殊值，从而可求得的值，进而求得和的值（也可利用平方关系求得和的值）；(Ⅱ)首先列出函数的表达式，利用三角函数的平方关系及三角函数辅助角公式，将其化为一个复合角的三角函数式：，最后利用整体思想来求函数的值域．试题解析：(Ⅰ)，， 2分求得. 3分又，， 5分，. 6分(Ⅱ) 8分又，，， 10分，即函数的值域为. 12分【考点】1．向量共线的充要条件；2．三角函数求值；3．三角函数的值域．9.在△ABC中，内角A，B，C满足4sinAsinC－2cos(A－C)＝1．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)求sinA＋2sinC的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(，]．【解析】（Ⅰ）先利用三角函数的和差化积公式化简等式，求得角B的余弦值，从而求得角B的大小；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中角B的大小，把化为一个角的三角函数式，再根据此角的范围，求出整个式子的范围.试题解析：(Ⅰ)因为4sinAsinC－2cos(A－C)＝4sinAsinC－2cosAcosC＋2sinAsinC＝－2(cosAcosC－sinAsinC)，所以－2cos(A＋C)＝1，故cos B＝．又0＜B＜π，所以B＝． 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知C＝－A，故sinA＋2sinC＝2sinA＋cosA＝sin(A＋θ)，其中0＜θ＜，且sinθ＝，cosθ＝．由0＜A＜知，θ＜A＋θ＜＋θ，故＜sin(A＋θ)≤1．所以sinA＋2sinC∈(，]． 14分【考点】1、三角函数和差化积公式；2、三角函数的取值范围.10.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.在△中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）值域为．【解析】（Ⅰ）因为，解三角形用到正弦与余弦，因此先切割化弦，，式子即含有角有含有边，由于求的是角，可利用正弦定理把边化为角得，，通过三角恒等变化，和三角形的内角和为，可求得；（Ⅱ）求函数的值域，解这类问题常常通过三角恒等变形，把它转化为一个角的一个三角函数来解，本题通过三角恒等变形得，利用，从而求试题解析：（Ⅰ）,而 3分5分7分（Ⅱ） 8分9分11分13分的值域为 14分【考点】解三角形，求三角函数值域．13.在中，角所对的边为，且满足（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查解三角形中的正弦定理、二倍角公式、二角和与差的正余弦公式及求三角函数最值等基础知识，考查基本运算能力.第一问，先用倍角公式和两角和与差的余弦公式将表达式变形，解方程，在三角形内求角；第二问，利用正弦定理得到边和角的关系代入到所求的式子中，利用两角和与差的正弦公式展开化简表达式，通过得到角的范围，代入到表达式中求值域.试题解析：（1）由已知得， 4分化简得，故． 6分（2）由正弦定理，得，故8分因为，所以，， 10分所以． 12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的余弦公式；3.正弦公式；4.求三角函数的值域.14.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【解析】根据诱导公式将函数化简为，于是可判断其为最小正周期为的偶函数.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性15.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的值域为.【解析】（Ⅰ）先由三角恒等变换得，从而得；（Ⅱ）先由得得，再由正弦函数的单调性得，从而得的值域为.试题解析：(I)4分所以，周期． 6分（II）∵，∴ 8分，∴的值域为 12分【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的单调性；3.三角函数的值域16.已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调增区间为和.【解析】（Ⅰ）先由向量数量积坐标运算得，再由图象与直线的相邻两个交点之间的距离为得，从而求得；（Ⅱ）由得，再由余弦函数的单调性可得的单调增区间为和.试题解析：（Ⅰ） 1分5分由题意，， 6分（Ⅱ），时，故或时，单调递增 9分即的单调增区间为和 12分【考点】1.向量的数量积；2.三角恒等变换；3.三角函数的单调性17.已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图像经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在中，角的对边分别为，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意先得函数的周期，再由周期得的值，再把点带入函数，根据的范围可得的值，从而得函数的解析式；（Ⅱ）先根据二倍角公式化简等式，再根据正弦定理得三角形三个边的关系，然后利用余弦定理求的范围，进而得角的范围，则可得的范围.试题解析：(I)由题意知,，又且，, 6分（II）即由，得,取值范围为…14分【考点】1、三角函数的周期；2、二倍角公式；3、正弦定理；4、余弦定理；5、三角函数的值域.18.已知函数（其中的最小正周期为．（Ⅰ）求的值，并求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角中，分别是角的对边，若的面积为，求的外接圆面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先利用倍角公式及两角和的三角公式将化为一个复合角的三角函数式，由可得的值，最后利用整体思想求函数的单调递减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知得即又是锐角三角形，因此有利用面积公式得方程：即可求出，再利用余弦定理求出，由正弦定理得的外接圆半径，最后求得的外接圆面积．试题解析：（Ⅰ）由已知得，于是．的单调递减区间为．（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知得即或或．又是锐角三角形，因此有由已知得由余弦定理得，的外接圆半径为：，则的外接圆面积为．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数的单调性、周期性；3．应用正余弦定理解三角形；4．三角形面积公式．19.对任意实数，函数．如果函数，那么对于函数．对于下列五种说法：(1) 函数的值域是；(2) 当且仅当时，；(3) 当且仅当时，该函数取最大值1；(4)函数图象在上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍；(5) 对任意实数x有恒成立．其中正确结论的序号是．【答案】(2)(4)(5)【解析】由已知得，.当时，；当时，.函数的值域是，所以(1)错误；(2)当时，，所以(2)正确；(3)该函数的最大值是，所以(3)错误；(4)在区间上，最高点对应的横坐标是和，最低点对应的横坐标是和，所以最高点间的距离是，最低点间的距离是，所以“函数图象在上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍”是正确的；(5)因为，所以，，所以对任意实数x有恒成立.【考点】1.三角函数的积化和差公式；2.三角函数的最值；3.三角函数的诱导公式；4.三角函数的图像与性质20.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当时，求的值域．【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期；（Ⅱ）所以的值域为[1，3]．【解析】（Ⅰ）求的最小正周期，像这一类题，求的周期问题，常常采用把它化成一个角的一个三角函数，即化成，利用它的图象与性质，求出周期，本题首先对降次，然后利用化为一个角的一个三角函数即可；（Ⅱ）当时，求的值域，可由，求出的范围，从而得的值域．试题解析：．（Ⅰ）函数的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以的值域为[1，3]．【考点】两角和正弦公式、正弦函数的周期性与值域．21.在中，已知内角，边.设内角，的面积为.（1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的值域.【答案】（1），定义域为；（2）函数的值域为.【解析】（1）先利用正弦定理将、用含的表达式进行表示，然后利用面积公式将函数求出并进行化简，然后根据对三角形内角的限制求出自变量的取值范围作为函数的定义域；（2）在（1）的基础上，即函数的前提下，将视为一个整体，先求出的取值范围，然后利用正弦函数的图象确定函数的取值范围，即为函数的值域.试题解析：（1）由正弦定理得，，，，其中，即函数的定义域为；（2），，故，，即函数的值域为.【考点】1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值22.已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间是.【解析】本题考查两角和与差的正弦公式、降幂公式以及运用三角公式进行三角变换求三角函数的单调区间.第一问，用降幂公式化简式子，得到解出，再代入到中用诱导公式化简；第二问，先利用降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再数形结合求单调区间.试题解析：(1)由题设知．因为，所以,，即 ()．所以. (6分)(2)当，即 ()时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是 ()．(12分)【考点】1.降幂公式；2.诱导公式；3.两角和与差的正弦公式；4.三角函数的单调性.23.若的图象关于直线对称，其中（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)本题考查了三角函数的对称性，利用通解来求解；（2）由图象变换求得，再利用三交点的横坐标成等比数列求得，因此.此题将数列与三角函数知识联系在一起，在知识的交汇处命题.试题解析：（1）的图象关于直线对称，，解得， 2分5分（2）将的图象向左平移个单位后，提到，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到9分函数的图象与的图象有三个交点坐标分别为且则由已知结合图象的对称性，有，解得 11分. 12分【考点】1.三角函数解析式的求解；2.函数的对称性；3.三角函数图象的变换；4.等比中项.24.已知函数.（1）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的最小值为；（2）实数的取值范围是.【解析】（1）先将函数的解析式化为，然后利用对称轴求出有关于的表达式，从而确定的最小值；（2）利用参数分离法将问题转化为方程在上有解，只需要利用三角函数的相关方法计算出函数在区间上的取值范围，进而就可以确定参数的取值范围.试题解析：（1）， 2分，又的最小值为 6分（2） 8分10分则 12分【考点】1.两角和的正弦公式；2.二倍角公式；3.辅助角公式；4.三角函数的对称性；5.三角函数的值域25.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值.【答案】（Ⅰ）最小值为，最小正周期为；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将原函数化为一角一函数形式解答；（Ⅱ）由得出，然后根据条件得，利用余弦定理得，联立解出.试题解析：（Ⅰ） 3分则的最小值是，最小正周期是； 6分（Ⅱ），则， 7分, ,所以，所以， 9分因为，所以由正弦定理得 10分由余弦定理得，即 11分由①②解得：， 12分【考点】三角函数化简、三角函数的周期、正弦定理、余弦定理.26.已知，其中向量，，.在中，角A、B、C的对边分别为，，.(1)如果三边，，依次成等比数列，试求角的取值范围及此时函数的值域；(2) 在中，若，边，，依次成等差数列，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先根据向量的数量积的坐标运算和三角函数的积化和差公式，化简，然后根据三边关系结合余弦定理求得角的取值范围，再将代入化简后的，得到，根据三角函数在定区间上的值域求得函数的值域；（2）根据题中所给信息解得角的大小，由，得到，由已知条件得边，，依次成等差数列，结合余弦定理，得到两个等量关系，解得的值.试题解析：（1），2分由已知，所以，所以，，则，故函数f(B)的值域为； 6分（2）由已知得，所以， 8分所以或，解得或（舍去）， 10分由，得，解得，由三边，，依次成等差数列得，则，由余弦定理得, 解得. 12分【考点】1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.27.函数的最小正周期为，其图像经过点（1）求的解析式；（2）若且为锐角，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查三角函数的性质,主要考查三角函数的周期、两角和与差的三角函数、倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数型结合思想.第一问，先利用周期求出，再利用点的坐标求出，注意已知条件中的取值范围；第二问，先利用两角和与差的三角函数公式展开化简表达式，得到，然后求，但是注意的正负符号.试题解析：（1）∵的最小正周期为，，∴，，又的图象经过点∴，即，又∴∴（2），∴整理得即，又为锐角，∴.【考点】1.三角函数的周期；2.三角函数的对称轴；3.三角函数值.28.设函数.（1）求函数最大值和最小正周期；（2）设为的三个内角，若，求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先由两角和的正弦公式和二倍角公式将展开、降次，再重新整理，然后利用公式（其中）将变成的形式，从而可以求出的最大值及最小正周期；（2）由代入可求得,从而得和，再由得，因为与互补，所以由两角和的正弦公式可得.试题解析：（1）.即 4分， 6分最小正周期 8分（2），所以，即 10分所以，.在中，，所以14分【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的基本运算；3. 函数的性质.29.在中，角所对的边分别为且满足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．【答案】（I）；（II）最大值为2，此时，.【解析】（I）由正弦定理将转化为角的关系，再利用三角函数关系式解答，在三角形中求角或边，通常对条件进行“统一”，统一为边或统一为角，主要的工具是正弦定理和余弦定理，同时不要忘记了三角形内角和定理；（II）先通过三角函数的恒等变形化的形式后再解答，一般地，涉及三角函数的值域问题，多数情况下要将其变形为后，再利用三角函数的性质解答，也有部分题目，可转化为角的某个三角函数，然后用换元法转化为非三角函数问题.试题解析：（I）由正弦定理得，因为所以，从而，又，所以，则 5分（II）由（I）知， 6分于是，因为，所以，从而当，即时，取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时， 13分【考点】三角函数性质、正弦定理.30.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小，(2)若，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、降幂公式、诱导公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查基本运算能力.第一问，是求角的大小，利用等式的恒等变形，找出所求角的三角函数值，再判断角的范围求角；第二问，是求三角形面积，首先要求出一条边，用正弦定理可以求出边，然后求，利用两角和与差的正弦公式.试题解析：（1）由，得.，得，即，因为，所以. 6分（2）由，得，由正弦定理，得..所以的面积. 12分【考点】1.诱导公式；2.降幂公式；3.正弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形面积公式.31.已知函数，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题中的已知条件确定函数中各未知量的值进而求出函数的解析式；（2）在求出函数的解析式之后，利用三角形的内角和定理，将的值转化为与的和角的三角函数来求解，具体转化思路为，然后再利用同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式进行求值.试题解析：（1）因为函数的最大值是1，且，所以.因为函数的最小正周期是，且，所以，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以.因为，所以.所以.（2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC的三个内角，所以.所以.【考点】三角函数的基本性质、两角和的余弦函数、同角三角函数之间的关系32.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．【答案】（Ⅰ）最小正周期为，对称轴方程为.（Ⅱ）时，；时，．【解析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，再利用函数的图像和性质解决的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）当时，可以求出，利用函数在上的图像和性质解决的最大值和最小值．(Ⅰ).所以的最小正周期为.由，得对称轴方程为. 6分（Ⅱ）当时，，所以当，即时，；当，即时，． 12分．【考点】三角恒等变形、三角函数的性质．33.已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）若，，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先用二倍角正弦公式将式子化简，再求最值和周期；（2）先利用第一问的解析式将求出来，所以下面的关键是求出，利用已知和，求出，但是得进行正负的取舍，得到的准确值后，代入到的表达式中.试题解析：（1）已知函数即， 2分∴ 3分当时，即， 4分6分（2） 8分由，，解得： 10分∵，∴ 11分所以 12分.【考点】1.二倍角正弦公式；2.同名三角函数的商数关系、平方关系.34.已知函数．（Ⅰ）求函数在上的值域；（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求．【答案】（Ⅰ）[－3，3]；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先利用三角恒等变换公式化简，再求在定义域范围上的值域；（Ⅱ）根据不等式恒成立，得是的最大值，从而得的范围，最后求的值．试题解析：解：(Ⅰ)，3分∵，∴，∴，∴，即函数在上的值域是[－3，3]． 6分（Ⅱ）∵对于任意的，不等式恒成立，∴是的最大值，∴由，解得，10分∴． 12分【考点】1、二倍角公式；2、三角恒等变换；3、三角函数的值域；4、三角函数的基本运算．35.设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．【答案】（I）最大值为3，最小值为2（II）-1【解析】（I）将函数化为，再求出最值；（II）由和求出a、b、c,再将值代入。