2021年高考真题——数学(江苏卷) 解析版含解析

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普通高等学校招生国统一考试数学试题江苏卷,含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学试题〔卷〕数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：此题考察交集及其运算，考察根底知识，难度较小. 2.假设复数满足，其中i 是虚数单位，那么的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进展化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，那么，那么的实部为.点睛：此题重点考察复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、一共轭复数为.位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图如下列图，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数. 点睛：的平均数为.4.一个算法的伪代码如下列图，执行此算法，最后输出的S 的值是________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，假设成立，再计算，假设不成立，完毕循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以完毕循环，输出点睛：此题考察伪代码，考察考生的读图才能，难度较小.5.函数的定义域为________．【答案】[2，+∞〕【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，那么，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式〔组〕的问题.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总根本领件数，再从中确定满足条件的根本领件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，一共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中根本领件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适宜于较为复杂的问题中的根本领件的探求.对于根本领件有“有序〞与“无序〞区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素根本领件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目详细化.(4)排列组合法〔理科〕：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.函数的图象关于直线对称，那么的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数〔A>0,ω>0〕的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8.在平面直角坐标系中，假设双曲线的右焦点到一条渐近线的间隔为，那么其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的间隔，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的间隔为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的间隔为a.9.函数满足，且在区间上，那么的值是________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10.如下列图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的构造特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进展判断；求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．11.假设函数在内有且只有一个零点，那么在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12.在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．假设，那么点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，那么由圆心为中点得易得，与联立解得点D 的横坐标所以.所以，由得或者，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或者范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或者解不等式或者求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，那么的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，那么的最小值为.点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.14.集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，那么使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，那么由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：此题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型〔如〕，符号型〔如〕，周期型〔如〕.二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.在平行六面体中，．求证：〔1〕；〔2〕．【答案】答案见解析【解析】分析：〔1〕先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行断定定理得结论；〔2〕先根据条件得菱形ABB 1A 1，再根据菱形对角线互相垂直，以及垂直条件，利用线面垂直断定定理得线面垂直，最后根据面面垂直断定定理得结论. 详解：证明：〔1〕在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．〔2〕在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：此题可能会出现对常见几何体的构造不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形〞，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16.为锐角，，．〔1〕求的值；〔2〕求的值．【答案】〔1〕〔2〕【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；〔2〕先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：〔1〕因为，，所以．因为，所以，因此，．〔2〕因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等.(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.17.某农场有一块农田，如下列图，它的边界由圆O的一段圆弧〔P为此圆弧的中点〕和线段MN构成．圆O的半径为40米，点P到MN的间隔为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．〔1〕用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；〔2〕假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】〔1〕矩形ABCD的面积为800〔4sinθcosθ+cosθ〕平方米，△CDP的面积为1600〔cosθ–sinθcosθ〕，sinθ的取值范围是[，1〕．〔2〕当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：〔1〕先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；〔2〕根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：〔1〕连结PO并延长交MN于H，那么PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，那么OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面积为2×40cosθ〔40sinθ+10〕=800〔4sinθcosθ+cosθ〕，△CDP的面积为×2×40cosθ〔40–40sinθ〕=1600〔cosθ–sinθcosθ〕．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，那么GK=KN=10．令∠GOK=θ0，那么sinθ0=，θ0∈〔0，〕．当θ∈[θ0，〕时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1〕．答：矩形ABCD的面积为800〔4sinθcosθ+cosθ〕平方米，△CDP的面积为1600〔cosθ–sinθcosθ〕，sinθ的取值范围是[，1〕．〔2〕因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k〔k>0〕，那么年总产值为4k×800〔4sinθcosθ+cosθ〕+3k×1600〔cosθ–sinθcosθ〕=8000k〔sinθcosθ+cosθ〕，θ∈[θ0，〕．设f〔θ〕=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，〕，那么．令，得θ=，当θ∈〔θ0，〕时，，所以f〔θ〕为增函数；当θ∈〔，〕时，，所以f〔θ〕为减函数，因此，当θ=时，f〔θ〕取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．〔1〕求椭圆C及圆O的方程；〔2〕设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①假设直线l与椭圆C有且只有一个公一共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．假设的面积为，求直线l的方程．【答案】〔1〕椭圆C的方程为；圆O的方程为〔2〕①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：〔1〕根据条件易得圆的半径，即得圆的HY方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；〔2〕第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间间隔公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：〔1〕因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．〔2〕①设直线l与圆O相切于，那么，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．〔*〕因为直线l与椭圆C有且只有一个公一共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由〔*〕得，所以．因为，所以，即，解得舍去〕，那么，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求〞思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于直线与椭圆的一个交点的情况.19.记分别为函数的导函数．假设存在，满足且，那么称为函数与的一个“S点〞．〔1〕证明：函数与不存在“S点〞；〔2〕假设函数与存在“S点〞，务实数a的值；〔3〕函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点〞，并说明理由．【答案】〔1〕证明见解析〔2〕a的值是〔3〕对任意a>0，存在b>0，使函数f〔x〕与g〔x〕在区间〔0，+∞〕内存在“S点〞．【解析】分析：〔1〕根据题中“S点〞的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；〔2〕同〔1〕根据“S点〞的定义列两个方程，解方程组可得a的值；〔3〕通过构造函数以及结合“S点〞的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：〔1〕函数f〔x〕=x，g〔x〕=x2+2x-2，那么f′〔x〕=1，g′〔x〕=2x+2．由f〔x〕=g〔x〕且f′〔x〕=g′〔x〕，得，此方程组无解，因此，f〔x〕与g〔x〕不存在“S〞点．〔2〕函数，，那么．设x0为f〔x〕与g〔x〕的“S〞点，由f〔x0〕与g〔x0〕且f′〔x0〕与g′〔x0〕，得，即，〔*〕得，即，那么．当时，满足方程组〔*〕，即为f〔x〕与g〔x〕的“S〞点．因此，a的值是．〔3〕对任意a>0，设．因为，且h〔x〕的图象是不连续的，所以存在∈〔0，1〕，使得，令，那么b>0．函数，那么．由f〔x〕与g〔x〕且f′〔x〕与g′〔x〕，得，即〔**〕此时，满足方程组〔**〕，即是函数f〔x〕与g〔x〕在区间〔0，1〕内的一个“S点〞．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f〔x〕与g〔x〕在区间〔0，+∞〕内存在“S点〞．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20.设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．〔1〕设，假设对均成立，求d的取值范围；〔2〕假设，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围〔用表示〕．【答案】〔1〕d的取值范围为．〔2〕d的取值范围为，证明见解析。

2021年江苏省高考数学真题及参考答案

2021年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年一般高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含答案）(1)

2021年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，那么A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =-(i 为虚数单位)，那么z 的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，那么输出的n 的值是．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，那么ϕ的值是．【答案】6π6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80130]，上，其频率散布直方图如下图，那么在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，假设21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积别离为12S S ，，体积别离为12V V ，，假设它们的侧面积相等，且1294S S =，那么12V V 的值是．【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为．25510．已知函数2()1f x x mx =+-，假设对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，那么实数m 的取值范围是．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线2by ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，那么a b +的值是．【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，那么AB AD ⋅的值是．【答案】2213．已知()f x 是概念在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．假设函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，那么实数a 的取值范围是．【答案】()102， 14．假设ABC ∆的内角知足sin 22sin A B C =，那么cos C 的最小值是． 624-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤.15．(本小题总分值14 分)已知()2απ∈π，，5sin α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题要紧考查三角函数的大体关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 总分值14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=()210sin sin cos cos sin sin )444210αααααπππ+=++=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-= 16．(本小题总分值14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，别离为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题要紧考查直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.总分值14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题总分值14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，别离是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右核心，极点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）假设点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）假设1FCAB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 总分值14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b +=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=（2）设核心12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c ⋅=-+-，即20xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bcbc b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a= 55 18．(本小题总分值16分)如图，为爱惜河上古桥OA ，计划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形爱惜区．计划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；爱惜区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两头O 和A 到该圆上任意一点的距离均很多于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形爱惜区的面积最大？解：本小题要紧考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查成立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.总分值16分. 解法一：如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率k BC=－tan ∠BCO=－43. 又因为AB ⊥BC ，因此直线AB 的斜率k AB=34. 设点B 的坐标为(a,b)，那么k BC=04,1703b a -=-- k AB=603,04b a -=- 解得a=80，b=120. 因此22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设爱惜区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0≤d ≤60).由条件知，直线BC的方程为4(170)3y x=--，即436800x y+-=由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即|3680|680355d d r--==.因为O和A到圆M上任意一点的距离均很多于80 m,因此80(60)80r dr d-⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dddd-⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d≤≤故当d=10时,68035dr-=最大，即圆面积最大.因此当OM = 10 m时，圆形爱惜区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.因为tan∠BCO=43.因此sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为OA=60,OC=170，因此OF=OC tan∠FCO=680 3.CF=850cos3OCFCO=∠,从而5003AF OF OA=-=.因为OA⊥OC，因此cos∠AFB=sin∠FCO==4 5，又因为AB⊥BC，因此BF=AF cos∠AFB==4003，从而BC=CF－BF=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设爱惜区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，那么MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC，因此sin∠CFO =cos∠FCO，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--因此68035d r -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均很多于80 m,因此80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d=10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.因此当OM = 10 m 时，圆形爱惜区的面积最大.19．(本小题总分值16分)已知函数()e e x xf x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）假设关于x 的不等式()e 1xmf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 知足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题要紧考查初等函数的大体性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方式分析与解决问题的能力.总分值16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x xf x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)xt t =>，那么211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立∴13m -≤ （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2e a >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，那么()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 最多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题总分值16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．假设对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，那么称{}n a 是“H 数列”．（1）假设数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．假设{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题要紧考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探讨能力及推理论证能力, 总分值16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列”（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+ ∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-（3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，那么(3)22n n m -=+当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，那么(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”因此命题得证. 数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】此题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.假设多做，那么按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题总分值10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB=∠D.本小题要紧考查圆的大体性质，考查推理论证能力.总分值10分. 证明：因为B, C 是圆O 上的两点，因此OB=OC. 故∠OCB=∠B.又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，因此∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题总分值10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，假设A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题要紧考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题总分值10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x=交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题要紧考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题总分值10分) 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.本小题要紧考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.总分值10分.证明：因为x>0, y>0, 因此1+x+y2≥0>，1+x2+y ≥0>，因此(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. 22．(本小题总分值10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机掏出2个球，求掏出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机掏出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数别离记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率散布和数学期望()E X ． 22.【必做题】本小题要紧考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情形，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情形∴掏出的2个球颜色相同的概率1053618P == （2）X 的所有可能取值为432，，，那么 ∴X 的概率散布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题总分值10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnf f -πππ+成立．23.【必做题】此题要紧考查简单的复合函数的导数，考查探讨能力及运用数学归纳法的推理论证能力.总分值10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭ 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=-(2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边别离对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，因此1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).因此1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。

普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷,含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题〔江苏卷，含解析〕一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.1.集合 A 1,2,3，B 2,4,5，那么集合A B中元素的个数为_______.【答案】5【解析】试题分析： A B {1，2，3} {2，4，5} {12，，3，4，5}，5个元素考点：集合运算一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.【答案】6考点：平均数3.设复数z满足z234i〔i是虚数单位〕，那么z的模为_______.【答案】5【解析】试题分析：|z2||34i|5|z|25|z|5考点：复数的模根据如下图的伪代码，可知输出的结果S为________.S←1I←1While I 10S←S＋2I←I＋3End WhilePrint S〔第4题图〕【答案】7【解析】试题分析：第一次循环：S 3,I 4;第二次循环：S 5,I 7;第三次循环：S 7,I 10;结束循环，输出S7.考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6考点：古典概型概率6.向量a=(2,1)，b=(1,2),假设ma+nb=(9,8)(m,n R),m n的值为______.【答案】3【解析】试题分析：由题意得：2m n 9,m 2n8m 2,n 5,m n 3.考点：向量相等7.不等式2x2x4的解集为________.【答案】(1,2).【解析】试题分析：由题意得：221x2，解集为(1,2). xx考点：解指数不等式与一元二次不等式8.tan2，tan 1，那么tan的值为_______. 7【答案】3【解析】12tan()tan7试题分析：tan tan( 3.)tan()tan1127考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

江苏省2021年高考数学真题试卷(含详细解析)

江苏省2021年高考数学真题试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．若数组()2,1,3a =-和11,,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足2a b =-，则实数x 等于（）A ．-3B ．-2C ．32- D ．12-3．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（） A ．4B ．2C ．-2D ．-44．逻辑表达式A B +等于（） A ．A B +B ．A B ⋅C ．A B ⋅D ．A B ⋅5．已知()12nx -的展开式中2x 的系数为40，则n 等于（） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C ．2D 7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）AB ．2:1C ．D ．1:28．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A ．14条B ．12条C ．9条D ．7条9．若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（）A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=10．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（） A ．23B ．43C ．2D ．4二、填空题11．下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 值是___________.12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________.13．已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.14．以抛物线214y x =的焦点为圆心，且与直线x ⎧=⎪⎨⎪(t 为参数）相切的圆的标准方程是____________.15．已知函数()()2212,642,40x x f x x x +-≤<-⎧⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，若其图像上存在互异的三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，使得312123y y yk x x x ===，则实数k 的取值范围是__________.三、解答题16．已知函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R .（1）求实数a 的取值范围;（2）解关于x 的不等式241421xx aa -->. 17．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上. (1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式.18．已知关于x 的二次函数()24f x ax bx a =-+.（1）若{}1,1,2,3a ∈-，{}0,1,2b ∈，求事件(){A f x =在[)1,+∞上是增函数}的概率; （2）若[]1,2a ∈，[]0,2b ∈，求事件B =“方程()0f x =没有实数根”的概率.19．已知向量()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值;（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，若()0,f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积.20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，21．已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .22．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m 2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m 2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：3a b ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.参考答案1．B 【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．C 【分析】数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等. 【详解】因为()2,1,3a =-，11,,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()22,1,2b x -=--.由2a b =-，得23x -=，32x =-.故选：C. 3．C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-. 【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-. 故选：C. 4．D 【分析】从集合角度去理解逻辑表达式【详解】如图，A B +类似于()C A B U ，则A B +类似于()()U U U C C A B A C B ⋃=⋂故选：D. 5．A 【分析】写出x 2项，进一步即可解出. 【详解】()()222221n C x n n x -=-，所以()21405n n n -=⇒=.故选：A. 6．D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 7．C 【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解. 【详解】根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有2cos45r l ︒=，l =.该圆锥的底面积与侧面积比值为22r rl ππ故选：C. 8．B 【分析】根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212⨯⨯=条路径. 故选：B 9．A 【分析】由2T πω=，可得2ω=，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈，从而可得到本题答案. 【详解】由题，得222T ππωπ===，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈，所以()f x 的对称轴为51()122x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，12x π=-，所以函数()f x 的一条对称轴为12x π=-.故选：A10．B 【分析】由奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，()()240f a f b +-=，可得24a b +=，即2(1)6a b ++=，所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--，因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-，所以24a b =-，即24a b +=，所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=，所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭14(1)2261b a a b +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦14(1)461b a a b +⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦1144(44)663⎡⎤≥=+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4(1)1b a a b+=+，即1,32a b ==时取等号，所以121a b ++的最小值是43. 故选：B 11．2 【分析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果. 【详解】初始值：0S =，1n =当1n =时，33111014228S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进入循环；当13122n =+=时，3311319428228S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进入循环；当31222n =+=时，331919242822S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，终止循环，输出n 的值为2.故答案为：2. 12．4 【分析】根据三数成等差数列列等式，再将2a ，3a 用含1a 和q 的式子表示，代入等式求解. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且公比为q ，所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列，所以1321624a a a +=⨯，有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=，解得4q =. 故答案为：4. 13．512-【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】55cos sin 21313πθθ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以12cos 13θ=，所以sin θ5tan θcos θ12，所以()5tan 9tan 12θπθ-==-.故答案为：512-. 14．()2211x y +-= 【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案. 【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得24y x =，所以焦点坐标为0,1，10y --=，所以点0,110y --=的距离为1d =，所以所求圆的方程为()2211x y +-=. 故答案为：()2211x y +-= 15．1,0【分析】先画出函数()f x 的图象，转化为函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，再画函数y kx =的图象，观察交点的个数，从而求得k 的取值范围．【详解】解：画出函数()f x 的图象如下图，由题意得函数图象上存在互异的三个点，且312123y y y k x x x ===，则可看做函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，由图知，当1k =-或0k =时，有且仅有两个交点，要使两个图象有三个不同的交点，则k 的取值范围为(1,0)-．故答案为：(1,0)-． 16．（1）()0,1；（2）()2,6-. 【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出220x ax a -+>恒成立，然后通过∆<0即可得出结果；（2）本题首先可根据()0,1a ∈得出24142x x --<-，然后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R ，所以220x ax a -+>恒成立，则2440a a ∆=-<，解得01a <<，a 的取值范围为()0,1.（2）241421xx aa-->，即24142x x a a --->，因为()0,1a ∈，所以24142x x --<-，即24120x x --<，解得26x -<<，故不等式241421x x aa -->的解集为()2,6-. 17．(1) 12a =；(2) 29-；(3) 1212log ()20()log 20x x x f x x xx -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.【分析】(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出a 的值； (2) 利用偶函数的性质，求(8)f ，进而可求出(4)(8)f f -+的值； (3) 利用偶函数的性质求出0x >时，()f x 的表达式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+，所以(2)log 245a f -=-=-，有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-，因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-，所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+.当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.18．（1）512；（2）38.【分析】（1）根据题意有：0a >，且对称轴21bx a=，求出基本事件总数，再求出满足事件A 的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；（2）方程240ax bx a -+=无实根，则[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，且20a b ->，画出图形，由测度比是面积比得答案．【详解】（1）根据题意有：0a >，且对称轴21bx a=．基本事件总数为114312C C ⋅=，满足事件A 的事件数为(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)共有5个，P ∴（A ）512=；（2）方程240ax bx a -+=无实根，则22(4)40a b a ≠⎧⎨--<⎩， ∴2240a a b ≠⎧⎨->⎩，又[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，20a b ∴->，如图，∴11(1)1322()28P B +⨯==．19．（1）max ()3f x =；（2【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2()233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可得()f x 的最大值；（2）由锐角ABC ，推出22333B πππ-<-<，再结合f （B ）0=，求得3B π=，由正弦定理知32a c =，再利用余弦定理求出2a =，3c =，最后由三角形面积公式得解．【详解】（1）因为()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，所以函数()f x a b =⋅2cos 6cos 23cos 23x x x x x =-+=++2233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()3f x =（2）∵ABC 为锐角三角形，02B π∴<<.25233B πππ∴<+< 又()0f B =2si n 23B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭24233B ππ∴+= 3B π∴= 3sin 2sin 032A C a c -=∴=2221cos 22a cb B ac +-==即222971432a a a +-= 2,3a c ∴==1232ABCS∴=⨯⨯=20．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245y x x x=+-，[60,110]x ∈2416≥= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 21．（1）见解析；（2）3nn a n =-；（3）12332n n n +--- 【分析】（1）计算得到113n n a n a n+++=+，得到答案.（2）1333n n n a n -+=⨯=，得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】（1）由1321n n a a n +=+-，得()113n n a n a n +++=+，∴113n n a n a n+++=+，又113a +=，∴{}n a n +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）1333n nn a n -+=⨯=，∴3n n a n =-.（3）()1233312nn S n =+++-+++()1133132n n n ++-=--()11213333222n n n n n n +++----=-=. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 22．甲2块，乙1块，8 m 2. 【分析】设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则所用原料的总面积32z x y =+，由题意列出关于x ，y 的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则25240,0,x y x y x y x y N+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪∈⎩，所用原料的总面积32z x y =+．由约束条件作出可行域如图，联立2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2x =，1y =，即(2,1)A ，由32z x y =+，得322z y x =-+，由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，z 取得最小值为32218⨯+⨯=．故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8 m 2． 23．（1）证明见解析；（2）0y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a====b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y bb+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293310b⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x xx y y y y+-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l 方程为910yx ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.。

2021高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．【答案】1【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【分析】利用交集定义直接求解．2.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．【答案】√10【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= √(−1)2+32= √10．故答案为：√10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．【答案】18【考点】分层抽样方法= 【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6010006，100=18件，则应从丙种型号的产品中抽取300× 6100故答案为：18【分析】由题意先求出抽样比例即为6100，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．4.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是________．【答案】-2【考点】选择结构，程序框图【解析】【解答】解：初始值x= 116，不满足x≥1，所以y=2+log2116=2﹣log224=﹣2，故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．5.若tan（α﹣π4）= 16．则tanα=________．【答案】75【考点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：∵tan（α﹣π4）=tanα−tanπ41+tanαtanπ4= tanα−1tanα+1= 16∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= 75，故答案为：75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．【答案】32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33= 32．故答案为：32．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．7.记函数f（x）= √6+x−x2定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．【答案】59【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= 3−(−2)5−(−4)= 59，故答案为：59【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x23﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．【答案】2 √3【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x23﹣y2=1的右准线：x= 32，双曲线渐近线方程为：y= √33x，所以P（32，√32），Q（32，﹣√32），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：12×4×√3=2 √3．故答案为：2 √3．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．9.等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= 74，S6= 634，则a8=________．【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= 74，S6= 634，∴a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，解得a1= 14，q=2．则a8= 14×27=32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= 74，S6= 634，可得a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，联立解出即可得出．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x ×6+4x≥4×2× √900x⋅x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6 +4x ，利用基本不等式的性质即可得出．11.已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________．【答案】 [-1， 12 ]【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式【解析】【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x 的导数为：f′（x ）=3x 2﹣2+e x + 1e x ≥﹣2+2 √e x ⋅1e x=0，可得f （x ）在R 上递增；又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3+2x+e ﹣x ﹣e x +x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x =0，可得f （x ）为奇函数，则f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ），即有2a 2≤1﹣a ，解得﹣1≤a≤ 12 ，故答案为：[﹣1， 12 ]．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 12.如图，在同一个平面内，向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1， √2 ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m+n=________．【答案】 3【考点】平面向量的基本定理及其意义，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ． ∴C (15，75) ．cos （α+45°）= √22（cosα﹣sinα）= −35 ．sin （α+45°）= √22（sinα+cosα）= 45 ．∴B (−35，45) ．∵ OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ）， ∴ 15 =m ﹣ 35 n ， 75 =0+ 45 n ，解得n= 74 ，m= 54 ．则m+n=3．故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ．C (15，75) ．可得cos （α+45°）= −35 ．sin （α+45°）= 45 ．B (−35，45) ．利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），即可得出． 13.在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】 [-5 √2 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=502x 0+y 0+5=0，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 √2 ，1]，故答案为：[﹣5 √2 ，1]．【分析】根据题意，设P （x 0 ， y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是________．【答案】 8【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f （x ）= {(x −1)2，x ∈Dx −1，x ∉D ，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点；故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点；即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．二、解答题15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）AD ⊥AC ．【答案】证明：（Ⅰ）因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，且A 、B 、E 、F 四点共面，所以AB ∥EF ，又因为EF ⊊平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BC ，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以FG ⊥平面ABD ，所以FG ⊥AD ，又因为AD ⊥EF ，且EF∩FG=F ，所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ，故AD ⊥AC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．16.已知向量a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），x∈[0，π]．（Ⅰ）若a∥b⃗，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= a⋅b⃗，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），a∥b⃗，∴﹣√3cosx+3sinx=0，∴tanx= √3，∵x∈[0，π]，∴x= π3，（Ⅱ）f（x）= a⋅b⃗=3cosx﹣√3sinx=2 √3（√32cosx﹣12sinx）=2 √3cos（x+ π6），∵x∈[0，π]，∴x+ π6∈[ π6，7π6]，∴﹣1≤cos（x+ π6）≤ √32，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x= 5π6时，f（x）有最小值，最大值﹣2 √3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= √3，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= c a = 12 ，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1 ；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 k PF 2 = y 0x 0−1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0−1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0−1y 0（x ﹣1），直线PF 1的斜率 k PF 1 = y 0x 0+1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0+1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0+1y 0（x+1），联立 {y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y 0(x +1) ，解得： {x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （﹣x 0 ， x 02−1y 0 ），由Q 在椭圆上，则y 0=x 02−1y 0，则y 02=x 02﹣1，则 {x 024+y 023=1y 02=x 02−1 ，解得： {x 02=167y 02=97，则 {x 0=±4√77y 0=±3√77， ∵P 在第一象限，所以P 点的坐标为（4√77，3√77）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± 2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标；18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10 √7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴ANAM = NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= 45，sin∠EGM=sin∠EE1G1= 45，cos ∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM= EGsin∠EMG，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= 35，∴EN= NPsin∠GEM =1235=20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．出sin∠GEM= 3519.对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣2（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．20.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣a3．由于当x＞﹣a3时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣a3时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣a3，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣a3）=0，即﹣a327+ a39﹣ab3+1=0，所以b= 2a29+ 3a（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣2a23+ 9a＞0，解得a＞3，所以b= 2a29+ 3a（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= −2a3，x1x2= b3，所以f（x1）+f（x2）= x13+ x23+a（x12+ x22）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= 4a327﹣2ab3+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，所以b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣a3，从而f（﹣a3）=0，整理可知b= 2a29+ 3a（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为4a327﹣2ab3+2，进而问题转化为解不等式b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因式分解即得结论．21.如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；（Ⅱ）AC2 =AP•AB．【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ， ∴ ACAB = APAC ． ∴AC 2 =AP•AB ．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC ．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ，即可证明． 22.已知矩阵A= [0110] ，B= [1002] ．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程．【答案】解：（Ⅰ）AB= (0110)(1002) = (0210) ，（Ⅱ）设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x 0 ， y 0），则 (0210)(x y ) = (2yx) ，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0 ， y= x 02，∴y 028+x 028=1 ，即x 02+y 02=8，∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 1的方程化简即可．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 {x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d= 2√2s+8|√5= √2s−2)2√5，∴当s= √2时，d取得最小值√5= 4√55．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．24.已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．25.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（√3，−1，0），C（√3，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，√3），C1（√3，1，√3）．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，−1，−√3 ）， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1，√3 ）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0) ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，√3) ．（Ⅰ）∵cos ＜ A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √7×√7=−17 ． ∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 17 ；（Ⅱ）设平面BA 1D 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，由 {n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {√3x −3y =0−2y +√3z =0 ，取x= √3 ，得 n ⃗ =(√3，1，2√33) ；取平面A 1AD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1，0，0) ． ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √31×√3+1+43=34 ． ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 34 ，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 √1−(34)2=√74．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1 ， C 1 的坐标，进一步求出 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．26.已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n ∈N * ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，2，3，…，m+n ）．（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（Ⅱ）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E （X ）是X 的数学期望，证明E （X ）＜n (m+n)(n−1)．【答案】解：（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ） = n−1m+n−1×n m+n ×n m+n−1×mm+n = n 2−n+mn (m+n)(m+n−1) = nm+n ．证明：（Ⅱ）∵X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ， P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k＜ 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k−1= 1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−2n−2n−1= 1(n−1)C n+mn •（ C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2 ） = 1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1= n(m+n)(n−1) ，∴E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ，P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k⋅C k−1n−1C n+mn）=1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−1n−1k，由此能证明E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．。

(2021)高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。

2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.【答案】2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设z=(a+2i)×(1+i),∵复数z的实部为0，又∵z=(a−2)+(a+2)i,∴a−2=0,∴a=2【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，从而求出复数z的实部和虚部，再结合复数z的实部为0的已知条件求出a的值。

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.【答案】5【考点】程序框图【解析】【解答】第一步：x=1,S=0,S=S+x2=0+12=12,1≥4不成立；第二步：x=x+1=1+1=2,S=S+x2=12+22=32,2≥4不成立；第三步：x=x+1=2+1=3,S=S+x2=32+32=62=3,3≥4不成立；第四步：x=x+1=3+1=4,S=S+x2=3+42=5,4≥4成立；∴输出的S=5【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。

4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.【答案】[−1,7]【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】∵函数y=√7+6x−x2，∴要使函数有意义，则7+6x−x2≥0,∴x2−6x−7≤0,∴(x+1)(x−7)≤0,∴−1≤x≤7,∴函数的定义域为[-1,7]【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。

2021年高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=________.2.复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是________.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27−y23=1的焦距是________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________5.函数y= √3−2x−x2的定义域是________.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22= - 3，S5=10，则a9的值是________.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是________.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上， f(x)={x +a,−1≤x ＜0|25−x|,0≤x ＜1 其中a ∈R 若f(−52)=f(92) ，则f （5a ）的值是________.12.已知实数x ， y 满足 {x −2y +4≥02x +y −2≥03x −y −3≤0 ，则x 2+y 2的取值范围是________.13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ， F 是AD 上的两个三等分点， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣1，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.14.在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是________.二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，AC =6， cosB =45 , C =π4（1）求AB 的长；（2）求cos （A ﹣ π6）的值.16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程；（3）设点T （t,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围。

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合,,则= ▲ ．【答案】【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。

属于基础题，难度系数较小。

2、已知复数(为虚数单位），则的实部为 ▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。

【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把算为1。

属于基础题，难度系数较小。

3、右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题是否成立，若不成立，则从1开始每次判断完后循环时，赋值为；若成立，则输出的值。

本题经过4次循环，得到，成立，则输出的的值为5【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。

属于基础题，难度系（第3题）数较小。

4、从这个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为的概率是▲．【答案】【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为。

【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。

本题属于容易题，但同时也易在列举时粗心、遗漏，需要引起考生的注意。

5、已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是▲．【答案】【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为的交点，所以将分别代入两个函数，得到，通过正弦值为，解出或，化简解得或，结合题目中的条件，确定出。

【点评】本题主要考查的是三角函数，由两个图象交点建立一个关于的方程，在解方程时，考生一般只想到第一种情况，忽略了在一个周期内，正弦值为的角有两个：和，然而最终答案却由第二种情况解出，此处为考生的易错点和薄弱点，主要是由于对正弦值为的角的惯性思维为，这个问题也是今年的热点问题，在模拟题中也经常出现，需要引起考生的重视。

6、在底部周长的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲株树木的底部周长小于100cm.【答案】24【解析】从图中读出底部周长在的频率为，底部周长在的频率为，样本容量为60株，株是满足题意的。

【点评】本题考查统计部分的内容，重点考查频率分布直方图。

频率分布直方图的纵轴表示，图中读出的数据并非是频率，需要乘以组距10以后才为频率。

频率分布直方图近三年的江苏考卷中都未出现，今年也是作为高考热点出现了，希望引起重视。

7、在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲．【答案】4【解析】根据等比数列的定义，，所以由得，消去，得到关于的一元二次方程，解得，【点评】本题重点考查等比数列的通项公式，将题中数列的项用和表示，建立方程解得，考查以为一个整体的整体思想去解方程，对于第7题考查此题，显得太过简单了，但此题也有易错点，考生易将等比看为等差。

8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，，则▲．【答案】【解析】由题意，，所以，圆柱的侧面积，，则，【点评】本题考查了圆柱的体积，主要根据侧面积相同，由底面积的比值找到高、体积的比值，难度适中。

9、在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为▲．【答案】【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定理，圆心为，，圆心到直线的距离，弦长==【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长，直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题，本题考查的也是一个相对简单的问题，主要侧重计算。

10、已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】二次函数开口向上，在区间上始终满足，只需即可，，解得，则【点评】本题主要考查二次函数含参数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，使得题目解答过程和思路都简单很多，如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐，考生可以自己尝试。

11、在平面直角坐标系xOy中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是▲．【答案】【点评】本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及导函数在切点处的取值等于切线的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于的方程组。

12、如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．【答案】22【解析】以为基底，因为，，则)43()41(2AB AD AB AD BP AP -⋅+==⋅ 因为则，故【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已知的两条边长，选为基底最为合适。

向量一直都是高考的热点话题，本题的难度适中，希望引起考生的注意。

13．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找与的图象交点去推出零点，先画出[0,3]上的图像，再将轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至，发现若图象要与有10个不同的交点，则【点评】本题主要考查函数零点问题，转为为数形结合，利用图象交点去解决问题，因为零点问题、数形结合是重要的考点和难点，但是本题考查的不是特别深，所以题目难度适中，只要能画出图象就可以解决问题。

同时，这也是近年来高考的热点，同样需要注意。

14．若三角形的内角满足，则的最小值是 ▲ ．【答案】【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得，再由余弦定理，用去表示，并结合基本不等式去解决，化简为，消去就得出答案。

422214322221432)22(2cos 2222222222-+=-+=+-+=-+=ab b a ab ab b a ab b a b a abc b a C【点评】本题主要考查正、余弦定理，以及不等式，最终最值是在这样一个较为特殊的角处取的，题目做为填空题的压轴题，实在是简单了，没有过多的技巧与构造，只需要用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。

15.（1）∵α∈（，π），=∴= ∴=+=（2）=12=，=2= =+=+（）=16.如图，在三棱锥PABC 中，D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点。

已知PA ⊥AC ，PA=6,BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA ∥平面DEF; （2）平面BDE ⊥平面ABC. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA又∵DE 平面PAC ，PA 平面PAC ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC EF=E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.F E PA DCB（1）若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2）若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

（1）∵BF 2 = ，将点C （，）代入椭圆， ∴，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1,（2）直线BA 方程为x ²x=0. ∴点A （，）F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·= ∴=1，∴e=18. 如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO=.（1）求新桥BC 的长：（2）当OM18. （1）过点B作BE⊥OC于点过点A作AD⊥BE于点F。

∵tan∠BCO=，设BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ，∴OE=，AF=170 ，，EF=AO=60 ，BF=4x60又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°，∴tan∠BAF= = = ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。

（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。

设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），即4x+3y∴半径R= ，又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM 80 且R80 ，∴80 ，80，∴35 ，∴R= 此时圆面积最大。

∴当OM=10时圆形保护区面积最大。

19.已知函数+ ，其中e是自然对数的底数。

（1）证明：是R上的偶函数；（2）若关于x 的不等式m+m1在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足:存在x0 [1，+），使得（x0 3 +3x0）成立，试比较与的大小，并证明你的结论。

（1）∵x=+=，∴是R上的偶函数（2）∵+2=21 ，∴，∴m（）1，∴m= ，令=，= ，∴x时单调减，x时单调增，∴min==，若关于x 的不等式m+m1在（0，+）上恒成立，则只要mmin恒成立，∴m 。

∴m（]。

（3）由题正数a满足:存在x0 [1，+），使得（x0 3 +3x0）成立。

即+（x0 3 +3x0）令=+（x3 +3x），即min0。

-= +3a ，当x[1，+）时，0 ，min ==e+ -2a0 ，∴a + 。

要比较与的大小，两边同时取以e为底的对数。

只要比较a-1与（e-1）lna 的大小。

令= a-1-( e-1）lna ，= 1- ，∵a + + e-1，∴a（+ ）时y单调减，a（）时y单调增，又∵+ ，当a=1时，y=0，∴当a= + 时，y0，当a=e时，y=0。