直线与圆的极坐标方程教学案
高中数学 第一章 坐标系 三 2 直线的极坐标方程教学案
2．直线的极坐标方程[对应学生用书P8]1．直线的极坐标方程(1)若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为θ＝α.(3)当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a . (4)当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为：ρsin_θ＝b .2．图形的对称性(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在直线对称．(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．[对应学生用书P8][例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．[思路点拨] 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示．[解] 设M (ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪∠xOM ＝π4将已知条件用坐标表示，得θ＝π4(ρ≥0)． ①这就是所求的射线的极坐标方程．方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ，无论取任何正值，θ的对应值都是π4.求直线的极坐标方程，首先应明确过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．1．求过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线的方程．解：如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)，∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|OH |＝2sin π4＝ 2.在Rt △OMH 中， |OH |＝|OM |cos θ，∴2＝ρcos θ，即ρcos θ＝2，∴过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝ 2.2．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．解：设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则∠α＝π3－π6＝π6，∠β＝π－⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2π3＋θ，在△OPA 中，有ρsinπ6＝22π3＋θ，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l的距离．[思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题． [解] 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．(广东高考)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．答案：(1,1)4．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离是________．解析：点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4的直角坐标为(2，－2)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 即ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22的直角坐标方程为22x ＋22y ＝22，即x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A (2，7π4)到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22[对应学生用书P9]一、选择题1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．答案：C2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：两边同乘以ρ得：7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x ＋2y ＝0，表示直线． 答案：A3．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线解析：∵cos θ＝22， ∴θ＝±π4＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0， ∴cos θ＝22表示两条射线． 答案：D4．过点A (5,0)和直线θ＝π4垂直的直线的极坐标方程是( ) A ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522B ．ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522C ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝5 D ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝522解析：因为直线θ＝π4即直线y ＝x ，所以过点A (5,0)和直线θ＝π4垂直的直线方程为 y ＝－x ＋5，其极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522.答案：A 二、填空题5．把极坐标方程ρcos(θ－π6)＝1化为直角坐标方程是___________________．解析：将极坐标方程变为32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为32x ＋12y ＝1，即3x ＋y －2＝0.答案：3x ＋y －2＝06．若直线ρsin(θ＋π4)＝22与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析：直线极坐标方程化为22ρsin θ＋22ρcos θ＝22，即为x ＋y －1＝0，由题意知3k＝－1，∴k ＝－3.答案：－37．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 这就是所求的极坐标方程．9．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ＜2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 则圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。
直线和圆的极坐标方程教学设计
直线和圆的极坐标方程教学设计引言直线和圆是初等数学中的重要知识点，理解和熟练掌握其极坐标方程对于学生在解决几何问题中非常关键。
本教学设计旨在帮助学生理解直线和圆的极坐标方程的概念、推导过程以及应用方法。
教学目标通过本次教学，学生将能够：1.理解直线和圆的极坐标方程的定义和含义；2.掌握求解直线和圆的极坐标方程的方法；3.运用极坐标方程解决几何问题。
教学内容与步骤第一步：直线的极坐标方程1.引入直线极坐标方程的概念，向学生解释什么是直线的极坐标方程。
–直线的极坐标方程表示一条直线上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释直线的极坐标方程的推导过程。
–通过使用直角坐标和极坐标之间的转换关系，推导直线的极坐标方程的一般形式。
讲解如何根据已知的直线方程，得到其对应的极坐标方程。
3.给出几个实例，让学生尝试推导直线的极坐标方程。
第二步：圆的极坐标方程1.介绍圆的极坐标方程的定义。
–圆的极坐标方程是表示圆上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释圆的极坐标方程的推导过程。
–使用勾股定理和直角三角形的性质，推导圆的极坐标方程的一般形式。
3.给出几个实例，让学生尝试推导圆的极坐标方程。
第三步：应用示例1.提供一些几何问题，让学生运用所学的直线和圆的极坐标方程解决问题。
–如：已知直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，求直线与圆的交点坐标；–如：已知一个点在圆外，求出连接该点与圆心的直线与圆的交点坐标。
2.鼓励学生在解决问题的过程中灵活运用所学知识，加强对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力。
教学评估1.在教学中引导学生进行小组讨论，检查学生对直线和圆的极坐标方程的理解和推导方法的掌握程度。
2.布置作业，要求学生解答相关的极坐标方程题目。
3.教学过程中切实关注学生的学习情况，及时给予指导和反馈。
总结本教学设计通过引导学生从直线和圆的坐标方程的概念、推导过程和应用方法入手，帮助学生掌握直线和圆的极坐标方程的知识点。
通过教学实践与评估，提高学生对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力，培养学生解决几何问题的能力。
直线和圆的极坐标方程教案
直线和圆的极坐标方程教案教案：直线和圆的极坐标方程目标：通过学习，学生能够理解直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
一、引入：老师可先给出一个问题：如何在极坐标系中表示直线和圆？二、学习与讨论：1. 直线的极坐标方程：直线可以用极坐标系中的一个点和倾斜角（与极轴的夹角）来表示。
- 若直线过原点，则其方程为r = θ- 若直线不过原点，我们需要先找到直线与极轴的交点，然后确定倾斜角。
设直线与极轴的交点为（a，b），倾斜角为θ，则直线的极坐标方程可以表示为：r = a/（cos(θ - b)）2. 圆的极坐标方程：圆在极坐标系中的方程为 r = a，其中a为圆的半径。
三、例题练习：根据已知条件，写出直线和圆的极坐标方程。
1. 直线的例题：已知直线过原点，倾斜角为30°，写出直线的极坐标方程。
解答：直线的方程为r = θ2. 圆的例题：已知圆心坐标为(2，π/3)，写出圆的极坐标方程。
解答：圆的方程为 r = 2四、总结：教师和学生共同总结直线和圆的极坐标方程的表示方法。
五、拓展：老师可引导学生进行拓展，讨论其他图形在极坐标系中的表示方法，并给出相应的例题进行练习。
六、作业：布置作业，要求学生根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程，并解答相关问题。
课堂练习：给出一个直线的极坐标方程和一个圆的极坐标方程，让学生画出相应的图形。
七、检查与讨论：检查学生的作业并进行讨论，解答学生的问题。
八、总结：教师和学生共同总结本节课的内容，强调重点和难点。
以上是关于直线和圆的极坐标方程教案的叙述，通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
数学4-4(圆的极坐标方程与直线的极坐标方程)导学案
数学 4-4( 圆的极坐标方程与直线的极坐标方程) 导教案本卷须知1.答题前，考生先将自己的姓名、准考据号填写清楚，将条形码正确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题一定使用2B 铅笔填涂；非选择题一定使用0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀。
【学习目标】：知识与技术： 1. 理解圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法；过程与方法：经过实例指引学生认识极坐标方程的应用；感情态度与价值观：领会数学在实质生活中的应用价值。
【学习要点】：圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法【学习难点】：能依据条件写出圆的极坐标方程与直线的极坐标方程第一课时使用说明及学法指导：1、限制45 分钟达成，先阅读教材，而后认真审题，认真思虑、独立规范作答。
不会的，含糊其词的问题标志好。
3、对要点班学生要求达成所有问题，平行班达成℅以上。
【一】知识链接：1、圆的标准方程：2、圆的一般方程：3、直线的一般方程：4、直角坐标与极坐标互化公式：【二】学习过程：学生阅读教材12 页回答下边问题1、直角坐标系和极坐标系中如何描绘点的地点？2、曲线的方程和方程的曲线〔直角坐标系中〕定义3、求曲线方程的步骤1、引例、如图，在极坐标系下半径为 A 的圆的圆心坐标为〔A， 0〕〔 A》 0〕，你能用一个等式表示圆上随意一点，的极坐标〔〔，〔〕知足的条件？2、发问：曲线上的点的坐标都知足这个方程吗？3、定义：一般地，假如一条曲线上随意一点都有一个极坐标合适方程f (,)2、70的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的〔〕，这条曲线称为这个〔〕的曲线。
例 1、圆 O的半径为 R，成立如何的坐标系，能够使圆的极坐标方程更简单？变式练习：求以下圆的极坐标方程〔 1〕中心在 C〔A， 0〕，半径为 A；〔 2〕中心在〔 A，〔／ 2〕，半径为A；〔 3〕中心在 C〔A，〔〕，半径为 A例 2、〔 1〕化在直角坐标方程x 2 y 28 y为极坐标方程，6 cos()〔 2〕化极坐标方程3为直角坐标方程。
1.2.3直线和圆的极坐标方程
安边中学 高二 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间 第 周一、课题： 2.3直线和圆的极坐标方程二、学习目标1．能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程．2.通过对本节的学习掌握一般曲线的极坐标的求法重难点：求曲线的极坐标方程的步骤三、教学过程【自主预习】1．直线和圆的极坐标方程(1)极坐标方程与曲线．在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：①曲线C 上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ，θ)＝0；②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的__都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的__________，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的____．(2)直线的极坐标方程．直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是__________．(3)圆的极坐标方程． ①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是______；②圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是________．【做一做1－1】在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．【做一做1－2】在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是( )．A ．ρ＝2a cos θ B ．ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝a tan θD ．ρ＝2a tan θ(0≤θ≤π)【合作探究】一 求直线的极坐标方程1.设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程二 求圆的极坐标方程2.求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．思考：求曲线的极坐标方程的方法是什么？【检测训练】1.求下列曲线的极坐标方程（1）经过点)4,2(πA ，且平行于极轴的直线；（2）经过点)0,3(B ，且倾斜角为4π的直线（3）圆心为)0)(2,(>a a C π，且半径为a 的圆的极坐标方程（4）圆心为)0)(,(>a a C π，且半径为a 的圆的极坐标方程2.圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是()． A ．ρ＝2a cos θ B ．ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝a tan θD ．ρ＝2a tan θ(0≤θ≤π)3.见教材练习【作业布置】【板书设计】【课后反思】。
直线和圆的极坐标方程教案(一)
直线和圆的极坐标方程教案(一)直线和圆的极坐标方程教案教学目标•理解直线和圆的极坐标方程的含义和基本形式•掌握直线和圆的极坐标方程的推导方法•能够根据给定条件写出直线和圆的极坐标方程教学准备•教师准备：白板、彩色粉笔、投影仪•学生准备：纸和笔教学过程1.导入（5分钟）–简要回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念和转换方法–引导学生思考直线和圆的极坐标方程可能的形式2.直线的极坐标方程（15分钟）–解释直线的极坐标方程为r=asec(θ−α)，其中a和α为常数–介绍推导直线的极坐标方程的步骤：•将直线转换为直角坐标系下的斜截式方程y=kx+b•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到rsinθ=k⋅rcosθ+ b•化简得到r=bsinθ−kcosθ•进一步化简得到r=asec(θ−α)的形式–给出实例，让学生进行练习3.圆的极坐标方程（15分钟）–解释圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数–介绍推导圆的极坐标方程的步骤：•将圆的中心坐标为(ℎ,k)的一般式方程转换为直角坐标系下的标准式方程(x−ℎ)2+(y−k)2=r2•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到(rcosθ−ℎ)2+(rsinθ−k)2=r2•化简得到r2−2rℎcosθ+ℎ2+r2cos2θ−2rksinθ+k2=r2•化简得到r=a的形式–给出实例，让学生进行练习4.总结归纳（5分钟）–和学生一起总结直线和圆的极坐标方程的基本形式和推导方法–强调学生在做题时要仔细观察几个参数的变化和特点，灵活运用推导方法5.练习与作业布置（10分钟）–出示多个直线和圆的图形，让学生根据给定条件写出对应的极坐标方程–布置作业：完成课后习题中的相关题目拓展活动•鼓励学生使用数学软件探索其他曲线的极坐标方程•学生可以深入研究更复杂的极坐标方程，如椭圆、双纽线等总结本节课主要介绍了直线和圆的极坐标方程的含义、基本形式和推导方法。
北师版选修4-4§2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。
直线的极坐标方程教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
直线的极坐标方程教案一、教学目标1. 理解直线在极坐标系中的表示方式；2. 学会求解直线的极坐标方程；3. 掌握利用极坐标方程绘制直线的方法。
二、教学重点1. 直线在极坐标系中的表示方法；2. 极坐标方程求解直线的方法。
三、教学难点1. 掌握直线在极坐标系中的表示方法；2. 熟练运用极坐标方程求解直线的方法。
四、教学步骤第一步：引入知识引导学生回顾直线的方程及极坐标系的相关概念，复习直线的斜率和截距的求解方法。
第二步：直线在极坐标系中的表示方法1. 讲解直线在直角坐标系中的表示方法，并引入直线在极坐标系中的表示方法；2. 介绍如何将直线的直角坐标方程转化为极坐标方程；3. 通过例题，帮助学生理解直线在极坐标系中的表示方法。
第三步：极坐标方程求解直线的方法1. 讲解如何利用极坐标方程求解直线，包括如何确定直线的极坐标方程、如何求解直线的交点等；2. 通过实例演练，加深学生对极坐标方程求解直线的理解。
第四步：绘制直线的方法1. 介绍如何利用极坐标方程绘制直线；2. 引导学生通过极坐标方程绘制直线的实例练习，提高学生的绘图能力。
第五步：拓展应用1. 引导学生分析极坐标系中各种直线方程的特点，并与直角坐标系方程进行对比，加深对极坐标方程的理解；2. 提供更多的实例练习，加强学生对直线的极坐标方程求解及绘制的应用能力。
五、教学评价方法1. 在教学过程中，及时针对学生的学习情况进行现场评价；2. 布置作业，要求学生独立解答直线的极坐标方程求解及绘制问题；3. 对学生的作业进行评阅，及时提供反馈。
六、教学资源1. 教材：包括直线相关知识的教科书；2. 课件：通过投影仪展示教学内容；3. 练习册：包含直线的极坐标方程求解和绘制题目的练习册；4. 答案集：包含作业答案和解析的参考书。
七、教学后记通过本次教学，学生能够理解直线在极坐标系中的表示方式，掌握求解直线的极坐标方程的方法，并能运用极坐标方程绘制直线。
教师应鼓励学生多进行实践操作，并提供及时的指导和帮助，全面提高学生的极坐标方程应用能力。
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§1.3 直线与圆的极坐标方程
撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________
授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________
【学习目标】
1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程；
2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义；
3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【重点难点】
重点：直线和圆的极坐标方程的求法
难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解
【自主探究】
探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？
探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义;
3、求曲线方程的步骤;
【合作探究】
探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？
探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：cos 1ρθ=-
例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。
学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在)2
,3(π
A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3
小结：本节课学习了以下内容：
1．如何求直线和圆的极坐标方程 。
2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。
3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。
【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1
【教学反思】。