湖南省常德市中考数学试卷(含答案)
湖南省常德市中考数学试题(word版含答案解析)
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1、（2011•常德）|﹣2|的绝对值= 2 ．考点：绝对值。
分析：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值解答即可．解答：解：|﹣2|=2，故答案为2．点评：本题考查了绝对值的定义，解答时要熟记绝对值只能为非负数，属于基础题．2、（2011•常德）分解因式：x2﹣4x= x（x﹣4）．考点：因式分解-提公因式法。
分析：确定公因式是x，然后提取公因式即可．解答：解：x2﹣4x=x（x﹣4）．点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．3、（2011•常德）函数中自变量x的取值范围是x≠3．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的意义，分母不能为0，据此求解．解答：解：根据题意得x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为x≠3．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．4、（2011•常德）四边形的外角和= 360°．考点：多边形内角与外角。
专题：应用题。
分析：根据多边形的内角和定理和邻补角的关系即可求出四边形的外角和．解答：解：∵四边形的内角和为（4﹣2）•180°=360°，而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角，∴四边形的外角和等于4×180°﹣360°=360°，故答案为360°．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理和多边形的外角和，比较简单．5、（2011•常德）如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为y=（x＞0）．考点：待定系数法求反比例函数解析式。
专题：待定系数法。
分析：根据图示知A（1，3），将其代入反比例函数的解析式y=（x＞0），求得k值，进而求出反比例函数的解析式．解答：解：设该反比例函数的解析式是y=（x＞0）．∵点A（1，3）在此曲线上，∴3=k，即k=3，∴该反比例函数的解析式为y=（x＞0）．故答案为：y=（x＞0）．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．解题时，借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．6、（2011•常德）质量检测部门抽样检测出某品牌电器产品的次品率为5%，一位经销商现有这种产品1000件，估计其中次品有50 件．考点：有理数的乘法。
2023年湖南省常德市中考数学真题(解析版)
2023年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.【答案】B【解析】解：∵3的相反数是3-，故选B ．2.【答案】C【解析】A 选项，()5995-+=-，故A 不符合题意；B 选项，()710710--=+，故B 不符合题意；C 选项，()505-+=-，故C 符合题意；D 选项，()()()8484-+-=-+，故D 不符合题意；故选：C ．3.【答案】C【解析】32312x x x -<⎧⎨+≥⎩①②解不等式①，移项，合并同类项得，5x <；解不等式②，移项，合并同类项得，1x ≥-故不等式组的解集为：15x -≤<．故选：C ．4.【答案】B【解析】甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，∴甲、乙两人同时被选中的概率为2163=．故选：B ．5.【答案】A【解析】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．6.【答案】A【解析】A 选项，正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 选项，对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 选项，矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 选项，一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是正方形∴45OAD ODA ∠=∠=︒，AO DO=∵EF AD∥∴45OEF OAD ∠=∠=︒，45OFE ODA ∠=∠=︒∴OEF OFE∠=∠∴OE OF=又∵90AOF DOE ∠=∠=︒，AO DO=∴()SAS AOF DOE △≌△∴15ODE FAC ∠=∠=︒∴30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒∴180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．8.【答案】C【解析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.【答案】a 6b 3【解析】根据积的乘方运算法则可得（a 2b ）3=a 6b 3.10.【答案】()2a ab +【解析】解：3232222(2)()a a b b a a ab b a a b ++=++=+，故答案为：2()a a b +．11.【答案】4x ≥【解析】根据题意得：40x -≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．12.【答案】9810⨯【解析】98000000000810=⨯，故答案为：9810⨯．13.【答案】1k <【解析】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．14.【答案】8.5【解析】张华同学掷实心球10次的成绩出现频次最高的是8.5米，共3次，故张华同学掷实心球成绩的众数是8.5．故荅案为：8.5．15.【答案】45##0.8【解析】∵在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，∴2210AC AB BC =+=∵DE BC ∥∴90ADE ABC ∠=∠=︒，AED ACB∠=∠∴ADE ABC △△∽∴AD AE AB AC =∴AD AB AE AC =∵BAC DAE∠=∠∴BAC CAD DAE CAD∠+∠=∠+∠∴BAD CAE∠=∠∴ABD ACE∽∴84105BD AB CD AC ===．故答案为：45．16.【答案】0.1【解析】∵290OA OB AOB ︒==∠=，，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥，∴延长DC 可得O 在DC 上，122OC AB ==∴22CD OD OC =-=，∴(22222322CD s AB OA -=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.【答案】0【解析】原式1212=-⋅+11=-0=．18.【答案】52x y =⎧⎨=⎩【解析】解：将①2⨯得：242x y -=③+②③得：5x =将5x =代入①得：2y =所以52x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.【答案】12x -，13【解析】解：原式()()3241222x x x x x x ++--=÷+-+()()32223x x x x x ++=⨯+-+12x =-，当5x =时，原式11523==-20.【答案】（1）2m =，3y x=-（2）1x <-或03x <<【解析】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2k y x=得：()313k =⨯-=-∴23y x =-（2）由12y y =得：32x x --+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.【答案】（1）9.2（2）160吨；172吨（3）264.5吨【解析】（1）()230175%21%9.2⨯--=（吨）故答案为：9.2．（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：120，150，160，200，230∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；()1201501602002305172++++÷=（吨）∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的平均数是172吨；故答案为：160吨，172吨；（3）()230200200100%15%-÷⨯=()230115%264.5⨯+=（吨）∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．22.【答案】（1）A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个（2）最多可购进A 型玩具25个【解析】（1）设A 型玩具的单价为x 元/件．由题意得：12001500201.5x x-=，解得：10x =经检验，10x =是原方程的解B 型玩具的单价为101.515⨯=元/个∴A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．（2）设购进A 型玩具m 个．()()()1210201575300m m -+--≥解得：25m ≤∴最多可购进A 型玩具25个．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.【答案】72.8cm【解析】解：方法一：过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，四边形ABCD 是平行四边形，114.2FBA ∠=︒，∴180114.265.8FCQ CBH ∠︒=∠=︒-︒=，57FC =∴sin 57sin 65.8FQ FC FCQ =⋅∠=⋅︒，过点A 作AP MN ⊥于点P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin 65.8AP AN ANP =⋅∠=⋅︒，过C 作CH AB ⊥于点H ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =,∴tan 8.2tan 65.88.2 2.2318.29CH BH CBH =⋅∠=⨯︒=⨯≈，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为57sin 65.843sin 65.818.29FQ AP HC +-=︒+︒-1000.9118.2972.7172.7cm =⨯-=≈；方法二：如图，过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，过点C 作CH AB ⊥于点H ，延长AB 交FQ 于点S ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =，又 AB CD ，∴180114.265.8FCQ HBC ∠=∠=︒-︒=︒，∴8.20.4120cm cos BH BC CBH==÷=∠，∴()sin sin 5720sin 65.837sin 65.8FS FB FBS FB HBC =⋅∠=⋅∠=-⋅︒=︒，过A 作AP MN ⊥于P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin65.8AP AN ANP =⋅∠=︒，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为37sin65.843sin65.8FS AP +=︒+︒800.9172.8cm =⨯=．24.【答案】（1）证明见解析；（2）245EC =，185DE =．【解析】（1）连接OC ∵C 为 BD的中点，∴CD BC = ，∴12∠=∠，又∵OA OC =，∴23∠∠=，∴13∠=∠，∴AE OC ∥，又∵CE AE ⊥，∴CE OC ⊥，OC 为半径，∴CE 为O 的切线，（2）∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∵6,8BC AC ==，∴10AB =，又∵12∠=∠，90AEC ACB ∠=∠=︒，∴AEC ACB ∽，∴EC AC CB AB =，即8610EC =，∴245EC =，∵ CDCB =，∴CD BC 6==，在DEC Rt △中，由勾股定理得：185DE ===．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.【答案】（1）()()15y x x =-+-（2）30（3）127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵二次函数的图象与x 轴交于()()1,0,5,0A B -两点．∴设二次函数的表达式为()()15y a x x =+-∵11,tan 5AO ACO =∠=，∴5OC =，即C 的坐标为()0,5则()()50105a =+-，得1a =-∴二次函数的表达式为()()15y x x =-+-；（2）()()215(2)9y x x x =-+-=--+∴顶点的坐标为()2,9过D 作DN AB ⊥于N ，作DM OC ⊥于M ，四边形ACDB 的面积AOC CDM DNB OMDN S S S S =+-+△△△矩形()()111152929552930222=⨯⨯+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯=；（3）如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当ACO PBC ∠=∠时，连接PB ，过C 作CE BC ⊥交BP 于E ，过E 作EF OC ⊥于F ，∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，45OCB ∠=︒．由勾股定理得：52CB =∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，∴180180904545ECF BCE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．∴EFC 是等腰直角三角形∴1FC FE ==∴E 的坐标为()1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x =-+令()()3152215y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+-⎩解得50x y =⎧⎨=⎩，或12274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以BE 直线与抛物线的两个交点为()1275,0,,24B P ⎛⎫ ⎪⎝⎭即所求P 的坐标为127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭26.【答案】（1）证明见解析（2）①见解析，②见解析【解析】（1）证明：∵AB AC D =，是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，又∵E 在AD 上，∴EB EC =，在BAE 和CAE V 中，,,AB AC EB EC AE AE===∴(SSS)BAE CAE △≌△（2）证明：①连接AH，∵,A H 分别是ED 和EC 的中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴∥AH DC ，∴90EAH EDC ∠=∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴90AFD ∠=︒，又∵HG AB ，∴FAD AMH ∠=∠，在AFD △和MAH 中，90,AFD MAH FAD AMH ∠=∠=︒∠=∠，∴AFD MAH △∽△，∴AF AD AM MH=，∴AF MH AM AD ⋅=⋅，又∵AE AD =，∴AF MH AM AE ⋅=⋅；②在AMH 和DAC △中，90MAH ADC ∠=∠=︒，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵DF AB ⊥，∴90FAD ADF ∠+∠=︒，∵90F AB D D A +=︒∠∠，∴F ABD AD =∠∠，∵AB HG ∥，∴90AFD HGD ==︒∠∠，∵AMH GMD ∠=∠，∴F AHM AD =∠∠，∴ABD ADF AHM ∠=∠=∠，∴AHM ACB ∠=∠，∴AMH DAC △∽△，又∵A 、H 分别为ED 和EC 中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴12AM AH AD DC ==，∴12AM AD =，即M 为AD 中点，∥，又∵AF GH ∴G为FD中点，.∴GF GD。
湖南省常德市中考数学试卷及答案解析word版
满分24分）选择题（本大题8个小题，每小题3分，2016年湖南省常德市中考数学试卷1 . 4的平方根是（）A . 2B . - 2C . 土—D . ±22 .下面实数比较大小正确的是（）A . 3 > 7B .头N/7C . 0 V- 2D . 2 < 3D . 703 .如图，已知直线a // b , /仁100。
，则/ 2等于（）1004 •如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）5 .下列说法正确的是（）A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B. 天气预报明天降水概率10% ”，是指明天有10%的时间会下雨C .某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D .连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上6.若-x3y a与x b y是同类项，则a+b的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 527 .二次函数y=ax +bx+c （a和）的图象如图所示，下列结论：①b < 0 ；②c > 0 ;③a+c < b;④b2- 4ac > 0 ,其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48 .某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A . 9 天B . 11 天C. 13 天D . 22 天二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9 .使代数式；：有意义的x的取值范围是_____________________________ .2 310.计算：a2?a3= __________________ .11 .如图，0P为/ AOB的平分线，PC丄OB于点C ,且PC=3，点P到OA的12 .已知反比例函数y=—的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式______________________________________________ .13.张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16 , 18 ,18 , 16 , 19 , 19 , 18 , 21 , 18 , 21 .则这组数据的中位数是___________________________ .14 .如图，△ ABC是O O的内接正三角形，O O的半径为3，则图中阴影部分的面积是.15 .如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1 ,折痕为EF ,若/ BAE=55 ° 则/ D[AD= _________________________16 .平面直角坐标系中有两点M ( a, b), N ( c, d)，规定(a, b) ®( c, d)=(a+c , b+d ),则称点Q ( a+c , b+d )为M , N的和点”若以坐标原点O 与任意两点及它们的和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为和点四边形”现有点A ( 2 , 5) , B ( - 1 , 3),若以O , A , B , C四点为顶点的四边形是和点四边形”则点C的坐标是 ______ .三、 (本大题2个小题，每小题5分，满分10分)17 .计算：-14+WE S in60 °+ (号)-2-(丸-品0.18 .解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来.“ x+5 x•四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分)也+ ¥ 2 .J- g …19 .先化简，再求值：("’「) 」，其中x=2 .1 1 K i I20 .如图，直线AB与坐标轴分别交于A ( - 2 , 0) , B ( 0, 1 )两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C ( 4 , n),求一次函数和反比例函数的解五、(本大题2个小题，每小题7分，满分14分)21 .某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元.(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？22 .南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30。
常德中考数学试题及答案
常德中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.5B. √2C. 3.14D. 0.33333...答案：B2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 17答案：B3. 函数y=2x+3的图像与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：A4. 下列哪个选项是二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标？A. (-b/2a, 4ac-b^2/4a)B. (b/2a, 4ac-b^2/4a)C. (-b/a, c)D. (b/a, c)答案：B5. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 64答案：A7. 一个角的正弦值是1/2，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：A8. 一个等差数列的首项是1，公差是2，那么它的第5项是多少？A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A9. 一个二次方程ax^2+bx+c=0的判别式是b^2-4ac，那么当判别式大于0时，方程的解的情况是？A. 无实数解B. 有两个不相等的实数解C. 有两个相等的实数解D. 无法确定答案：B10. 一个函数的图像是一条直线，那么这个函数是？A. 一次函数B. 二次函数C. 三次函数D. 常数函数答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是________或________。
答案：8或-813. 一个角的补角是120°，那么这个角是________。
2020年湖南省常德市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年湖南省常德市中考数学试题及参考答案与解析（本试题卷共七道大题，满分120分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣42．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x ﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案与解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4【知识考点】倒数．【思路分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解题过程】解：4的倒数为．故选：A．【总结归纳】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解题过程】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解题过程】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【总结归纳】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式．【思路分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解题过程】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【总结归纳】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【知识考点】全面调查与抽样调查；众数；概率的意义；概率公式．【思路分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解题过程】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【总结归纳】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解题过程】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解题过程】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【总结归纳】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解题过程】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【总结归纳】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解题过程】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【总结归纳】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．计算：﹣+＝．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解题过程】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解题过程】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【总结归纳】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解题过程】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【总结归纳】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【知识考点】二元一次方程组的应用．【思路分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解题过程】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．【知识考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解题过程】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【总结归纳】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x ﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．【知识考点】因式分解的应用．【思路分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解题过程】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【总结归纳】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解题过程】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【总结归纳】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解题过程】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【总结归纳】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解题过程】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【总结归纳】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解题过程】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【总结归纳】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解题过程】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【总结归纳】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC 的长．【解题过程】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【总结归纳】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【知识考点】条形统计图；加权平均数；列表法与树状图法．【思路分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解题过程】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B （A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C （A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E （A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【总结归纳】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．【解题过程】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解题过程】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【总结归纳】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．。
2022年湖南省常德市中考数学试题(解析版)
2022年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题1.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数即可判断．【详解】解：在3317，π，2022π，共2个．故选：A ．【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．2.国际数学家大会每四举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A 不是中心对称图形，故A 错误；B 是中心对称图形，故B 正确；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．3.计算434x x ⋅的结果是（）A.x B.4xC.74x D.11x 【答案】C 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可得出结果．【详解】解：43437444x x x x +⋅==，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件C.一组数据的中位数可能有两个D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式【答案】D 【解析】【分析】根据统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；C.一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键．必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．5.从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（）A.15 B.25 C.35 D.45【答案】B【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，12345 13456 23567 34578 45679 56789共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，则其和为偶数的概率为820=25故选B【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．6.关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（）A.4k > B.4k < C.4k <- D.1k >【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴1640k ∆=-<解得：4k >故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．7.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是（）A.BE BC =B.BF DE ∥，BF DE=C.90DFC ∠=︒ D.3DG GF=【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC，故A正确；B．∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF=12 AC，∵∠BCA=30°，∴BA=12 AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正确．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BC =BE =DF ，∵AB =CF ，BC =DF ，AC =CD ，∴△ABC ≌△CFD ，∴=90DFC ABC ∠=∠︒，故C 正确；D ．∵∠ACB =30°，∠BCE =60°，∴∠FCG =30°，∴FG =12CG ，∴CG =2FG ．∵∠DCE =∠CDG =30°，∴DG =CG ，∴DG =2FG ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．8.3=3=3=，…，3n =个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足n a =个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①()4,12是完美方根数对；②()9,91是完美方根数对；③若(),380a 是完美方根数对，则20a =；④若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2y x x =-上．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：4=，∴()4,12是完美方根数对；故①正确；10=9≠∴()9,91不是完美方根数对；故②不正确；若(),380a a =即2380a a =+解得20a =或19a =-a 是正整数则20a =故③正确；若(),x y x=2y x x ∴+=,即2y x x =-故④正确故选C【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．二、填空题9.|－6|＝______．【答案】6【解析】【分析】根据绝对值的意义，直接求解即可．【详解】|66|=－故答案为6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．10.分解因式：329x xy -=________．【答案】(3)(3)x x y x y -+【解析】【分析】先提取公因式，然后再根据平方差公式即可得出答案．【详解】原式=32229(9)x xy x x y -=-=(3)(3)x x y x y -+．故答案为：(3)(3)x x y x y -+．【点睛】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．11.x 的取值范围是______．【答案】4x >【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：根据题意，得：4040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x >4，故答案为：x >4．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．12.方程()21522x x x x+=-的解为________．【答案】4x =【解析】【分析】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．13.如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．【答案】月【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．故答案为：月．【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．14.今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．【答案】87.4【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．【详解】解：根据题意得她的最后得分是为：8540%8840%9210%9010%87.4⨯+⨯+⨯+⨯=（分）；故答案为：87.4．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．15.如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．【答案】12【解析】【分析】延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM 、MN 、CN 之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．【详解】解：如图所示：延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，FD BC ∥，FE AB ∥，13BD BA =，14BE BC =，∴32CE BE AD BD ==，，32CM CE AN AD AM BE CN BD∴====，，∴令AM x =，则3CM x =，4AC x ∴=，28143333AN AC x CN AC x ∴====，，53MN x ∴=，∴5589NM NM AN MC ==，，25:6425:81NMF NAD NMF MEC S S S S ==△△△△：，：，∴设256481NMF NAD MEC S a S a S a ===△△△，，，56FECN S a ∴=四边形，2120ABC S a ∴=+△，264421209ADN ABC S a AD S a AB ⎛⎫∴=== ⎪+⎝⎭△，求出112a =,212012ABC S a ∴=+=△，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形中的A 型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．16.剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n ，()()()52180318042180521803603609n ∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.计算：2013sin 30452-︒︒⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝11422-⨯+1=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质是解题的关键．18.求不等式组5134{1233x x x x ＞---≤-的解集．【答案】32-＜x≤1．【解析】【分析】要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．【详解】解：51341233x x x x --⎧⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②由①得：x ＞32-，由②得：x ≤1，所以原不等式组的解集为32-＜x ≤1．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.化简：231122a a a a a +-⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭【答案】11a a +-【解析】【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．【详解】解：原式()()()()12322211a a a a a a a a -+⎡⎤++=+⋅⎢⎥+++-⎣⎦()()22232211a a a a a a a a -+-+++=⋅++-()()22111a a a a ++=+-()()()2111a a a +=+-11a a +=-．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．20.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【答案】240千米【解析】【分析】平常速度行驶了12的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是x 千米，则平时每小时行驶4x 千米，减速后每小时行驶204x ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，则可得：232044x x x ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得：240x =，答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.如图，已知正比例函数1y x =与反比例函数2y 的图象交于()2,2A ，B 两点．（1）求2y 的解析式并直接写出12y y <时x 的取值范围；（2）以AB 为一条对角线作菱形，它的周长为10，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．【答案】（1）02x <<或2x <-（2）14+33y x =或1433y x =-或34y x =-或34y x =+【解析】【分析】（1）由点()2,2A 可求出反比例函数2y 的解析式，根据反比例函数的对称性可求出()2,2B --，从而求解出12y y <时x 的取值范围；（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线y x =-的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．【小问1详解】解：设2(0)k y k x =≠， ()2,2A 在反比例函数2(0)k y k x =≠的图象上，224k xy ∴==⨯=，24y x∴=， 由反比例函数图象的性质对称性可知：A 与B 关于原点对称，即()2,2B --，∴当02x <<或2x <-时，12y y <；【小问2详解】如图所示，菱形的另外两个点设为M 、N，由菱形的性质和判定可知M 、N 在直线y x =-的图象上且两个点关于原点对称，不妨设()()0M a a a -<，，则()N a a -，， 菱形AMBN的周长为，AM ∴=AO == ，AB MN ⊥，MO ∴==1a ∴=-，即()11M -，，(11)N -，，设直线AM 的解析式为：y mx n =+,则：122m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1343m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AM 的解析式为：14+33y x =，同理可得AN 的解析式为：34y x =-，BM 的解析式为：34y x =+，BN的解析式为：1433 y x=-．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题，涉及了菱形性质的应用，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法，菱形性质的灵活应用是解题的关键．22.2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查结果得到的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．【答案】（1）21%（2）320人（3）见解析【解析】【分析】（1）由条形统计图求出平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后代入即可得出答案；（2）由扇形统计图得木工所占比例为16%，然后代入即可得出答案；（3）对学校来说应该多增加一些与学生生活息息相关的劳动课程，锻炼生活技能；对学生来说应该在学习的同时多多参加课外劳动课程，学一些与生活有关的技能，增加生活经验．【小问1详解】由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为50013018085105---=人，故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为10521%500=．【小问2详解】由扇形统计图得木工所占比例为140%27%10%7%16%----=，故最喜欢的劳动课程为木工的有200016%320⨯=人．【小问3详解】对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等【点睛】本题考查调查统计，解题的关键是能够根据统计图得出关键信息并加以转化运算．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos 250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin 360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan 360.73︒≈）【答案】70【解析】【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB∴∠=∠ 25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=，解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．24.如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ⊥于B ，E 是OA 上的一点，ED BC ∥交O 于D ，OC AD ∥，连接AC 交ED 于F ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若8AB =，1AE =，求ED 、EF 的长．【答案】（1）证明见详解（2）2【解析】【分析】（1）连接OD ，由OC AD ∥可以推出DOC BOC ∠=，从而证明ODC OBC ≌△△即可；（2）作DM BC ⊥交BC 于点M ，根据勾股定理求出BC 的长，然后再根据平行得到AEF ABC △△∽即可求解．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：AD OC∥ ADO DOC DAO BOC∴∠=∠∠=∠，OA OD= ADO DAO∴∠=∠DOC BOC∴∠=∠OD OB OC OC== ，ODC OBC∴≌△△∴OBC ODC∠=∠ BC AB⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线．【小问2详解】如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB =，1AE =，1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=，227DE BM OD OE ==-=令=CM x CB CD x ==+，，7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7x x ∴=+，解得：x =BC ∴=D E B C∥ADE ABC∴△△∽18EF AE BC AB ∴===2EF ∴=【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值【答案】（1）24.y x x =-（2）()2,8B（3）()2,12,P -PA PB -的最大值为【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=创-V V V 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【小问1详解】解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-【小问2详解】解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q，设直线OA 为：,y kx =55,k \=解得：1,k =∴直线OA 为：,y x =()2,2,Q \()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x \=+=创-V V V 12515,2y =-´=解得：8y =或4,y =-∵0,y >则8,y =()2,8.B \【小问3详解】如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，()()5,5,2,8,A B QAB \==设AB 为：,y kx b =+代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：1,10k b =-⎧⎨=⎩∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．26.在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）①证明ADG AEG ≌△ 即可；②连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△ ，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△ 即可；②的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．【小问1详解】证明：①证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴ 为等腰直角三角形AB BF∴= BE FC=AB BE BF CF AE BC AD∴+=+==，即AG AG= ∴ADG AEG≌△ ∴GE GD=②证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC∴∠=∠=︒=，BG AG FG∴== AF 平分BAD ABF ∠ ，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG≌△ ∴ADG BCG∠=∠ ADG AEG≌△ E ADG∴∠=∠E BCG∴∠=∠BOE GOC∠=∠ BOE GOC∴∽△△BO GO GO BO BE GC GD CF∴===∴BO GD GO FC⋅=⋅【小问2详解】作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG≌△ E ADG∴∠=∠ 四边形ABCD 为平行四边形AD BC∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD∴∥∥ G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN=DG MG ∴=，,GDM GMD \Ð=ÐADG BMG E\Ð=Ð=ÐBOE GOM∠=∠ BOE GOM∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴===∴BO GD GO FC⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．。
常德中考数学试题及答案
常德中考数学试题及答案常德市中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且a²+b²=c²，则三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形2. 已知x²-3x+2=0，下列哪个选项是方程的解（）A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=-23. 函数y=-2x+3的图象经过第几象限（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限4. 已知一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，那么这个扇形的面积是多少（）A. 18π cm²B. 9π cm²C. 36π cm²D. 6π cm²5. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是多少（）A. 12 cm²B. 18 cm²C. 24 cm²D. 30 cm²6. 已知一个数列的前三项为1，2，4，那么这个数列的第四项是多少（）A. 6B. 8C. 12D. 167. 已知一个二次函数的顶点坐标为(2,-1)，且经过点(0,3)，那么这个二次函数的解析式为（）A. y=-(x-2)²-1B. y=-(x-2)²+1C. y=(x-2)²-1D. y=(x-2)²+18. 已知一个圆的半径为5cm，那么这个圆的周长是多少（）A. 10π cmB. 20π cmC. 30π cmD. 40π cm9. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，那么这个数列的第10项是多少（）A. 23B. 25C. 27D. 2910. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，那么这个三角形的斜边长是多少（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm二、填空题（每题3分，共30分）1. 已知一个数的平方根为±2，那么这个数是______。
2023年湖南省常德市中考数学试卷(含答案)132459
2023年湖南省常德市中考数学试卷试卷考试总分：117 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1. 下列运算有错误的是( )A.B.C.D.2. 如果一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是( )A.B.C.D.3. 假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去．则从最初位置爬到号蜂房中，不同的爬法有（ ）A.种B.种C.种D.种4. 如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为A.B.C.D.8×(−2)×(−)=812−5×(−)×6=1512(2−7)×3=15−1×(−)=1313{x >2，x >ax >2a a >2a ≥2a ≤2a <2446810x −5()11−9−17215. 如图，直线，▱的顶点，分别在直线和直线上.若，则的度数是( )A.B.C.D.6. 如图，正方形的边长，为的中点，为的中点，分别与，相交于点，，则的长为( )A.B.C.D.7. 观察下列关于自然数的式子：①②③ 根据上述规律，则第个式子的值是( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）8. 计算：________．9. 若，，则代数式的值是________．10. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．11. 年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额亿元，用科学记数法表示为________元．a//b ABCD A C a b ∠1=35∘∠235∘45∘55∘65∘ABCD AB =2E AB F BC AF DE BD M N MN 55–√6−125–√345–√153–√34×−12324×−22524×−3272⋯201980768077−8077−8076×=0.25201942020y−x =−1xy =2−y+−x 12x 3x 2y 212y 3a −3−−−−√−1a 2a 201862000−2x+m=0212. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是________．13. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后位数字进行了如下统计：数字频数那么，圆周率的小数点后位数字的众数为________．14. 如图，矩形中，，将矩形沿对角线折叠，记的像为．已知于点，为的中点，交于点，若，，则的值为________(用含，的代数式表示）.15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画圆弧交边于点，则的长度为________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，共计72分 ）16. （5分） 计算．17.(5分) 解下列方程组 18. （6分） 先化简，再在的范围内选择一个合适的整数代入求值．19.(6分) 如图，一次函数＝与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点，其中点和点．（1）填空：＝________，＝________；x −2x+m=0x 2m 71000123456789881211108981214100ABCD AB >BC ABCD AC △ABC △ANC DM ⊥AN M G MN GH ⊥MN CD H DM =a GH =b BC a b ABCD AB =4AD =2A AB DC E BE^(1){3x−2y =8,y+4x =7;(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7.(a −1−)÷3a +1−4a +4a 2a +1−<a <2–√5–√y kx+b (x <0)A B x C A(−1,3)B(−3,n)m n（2）求一次函数的解析式和的面积．（3）根据图象回答：当为何值时，．（请直接写出答案） 20.(7分) 国家为了实现年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某县为了全面了解贫困户对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：，非常满意；，满意；，基本满意；，不满意．依据调查数据绘制成图和图的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：将图补充完整；通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是________；市扶贫办从该县甲乡镇户、乙乡镇户共户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，试用树状图或列表法求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率． 21.(7分) 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了，两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同.求,两类玩具的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进了，两类玩具共个，若玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元，则商店至少购进类玩具多少个？ 22.(8分) 超速行驶是引发交通事故的主要原因．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道米的点处，如图所示，直线表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的处向处匀速行驶，用时秒．经测量，点在点的北偏西方向上，点在点的北偏西方向上．求点，之间的路程（精确到米）；请判断此车是否超过了成纪大道千米/时的限制速度？（参考数据：，）. 23.(8分) 已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．求证：直线是的切线；若，垂足为，的半径为，求的长．24.(10分) 如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点．△AOB x kx+b ≤2020A B C D 12(1)1(2)A B C (3)325A B A B 3900A 750B (1)A B (2)A B 100A 30B 251080A 100C l A B 5A C 60∘B C 45∘(1)A B 0.1(2)60≈1.4142–√≈1.7323–√BC ⊙O D BC AB =AD AE ⊙O ∠AEC =30∘(1)AD ⊙O (2)AE ⊥BC M ⊙O 4AE y =−+34x 2bx+c x A B(4,0)y C y =−x+3C x D求抛物线的解析式；点为第一象限抛物线上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，与线段相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，过点作的垂线，与轴相交于点，连接、，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式；在的条件下，过点作直线的垂线，垂足为点，若，求值及点到抛物线对称轴的距离． 25.(10分) 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”．（1）如图，已知________是奇特三角形，，且＝．．①________的奇特边是________；②设＝，＝，＝，求；（2）如图，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系．（3）如图，在四边形中，＝，＝，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰三角形的底边长．(1)(2)P P x E PE CD G G y F EF G EF y M ME MD △MDE S P t S t (3)(2)B GM K BK =OD t P 1△AC >BC ∠C 90∘△BC a AC b AB c a :b :c 2AM △ABC △ABC BC BC 2A +A B 2C 23ABCD ∠B (AB <BC)90∘BC 27–√AC △ACD AC ACD参考答案与试题解析2023年湖南省常德市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】C【考点】有理数的混合运算【解析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：，原式，正确；，原式，正确；，原式，错误；，原式，正确.故选.2.【答案】C【考点】解一元一次不等式组【解析】根据不等式组的解集的确定方法，就可以得出的范围．【解答】解：因为不等式组的解集是，所以．故选．3.【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法．A =8×1=8B =×6=1552C =−5×3=−15D =13C a {x >2，x >ax >2a ≤2C解：本题可分两种情况：①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有：一、；二、；三、；共有种爬法；②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有：一、；二、；三、；四、；五、；共种爬法；因此不同的爬法共有种．故选．4.【答案】D【考点】列代数式求值【解析】按照：计算即可．【解答】解：由图示可知：结果．故选．5.【答案】A【考点】平行四边形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，因为是平行四边形，所以,即；又，所以四边形为平行四边形，所以，所以.1⇒2⇒41⇒3⇒41⇒3⇒2⇒430⇒3⇒40⇒3⇒2⇒40⇒1⇒2⇒40⇒1⇒3⇒40⇒1⇒3⇒2⇒453+5=8C (x−2)×(−3)=(−5−2)×(−3)=7×3=21D AB bE CD aF ABCD AB//CD AE//CF a//b AECF ∠EAF =∠ECF ∠1=∠2=35∘6.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定正方形的性质勾股定理【解析】首先过作于，交于，于是得到，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理求得，由相似三角形的性质求得与的长，根据相似三角形的性质，求得的长，即可得到结论．【解答】解：过作于，交于，则，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选.7.【答案】C【考点】规律型：数字的变化类【解析】F FH ⊥AD H ED O FH =AB =2AF OH AM AF AN F FH ⊥AD H ED O FH =AB =2BF =FC BC =AD =2BF =AH =1FC =HD =1AF ===F +A H 2H 2−−−−−−−−−−√+2212−−−−−−√5–√OH//AE ==HO AE DH AD 12OH =AE =1212OF =FH−OH =2−=1232AE//FO △AME ∼FMO ==AM FM AE OF 23AM =AF =2525–√5AD//BF △AND ∼△FNB ==2AN FN AD BF AN =2NF =25–√3MN =AN −AM =−=25–√325–√545–√15C此题暂无解析【解答】解：∵①，②③∴第个式子是，∴第个式子的值是：.故选.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）8.【答案】【考点】幂的乘方与积的乘方【解析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】．9.【答案】【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式，当，，即，时，原式．故答案为：.10.【答案】且【考点】二次根式有意义的条件4×−12324×−22524×−3272⋯n 4−(2n+1n 2)220194×−(2×2019+120192)2=[2×2019+(2×2019+1)]×[2×2019−(2×2019+1)]=−8077C 4×0.25201942020=××40.25201942019=(0.25×4×4)2019=×412019=4−1=−xy(−2xy+)=−xy(x−y 12x 2y 212)2y−x =−1xy =2x−y =1xy =2=−1−1a ≥−3a ≠±1【解析】此题暂无解析【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则且，解得：且．故答案为：且．11.【答案】【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，整数位数减即可．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】亿元＝元＝元，12.【答案】【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得．故答案为：.13.【答案】【考点】众数【解析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【解答】a −3−−−−√−1a 2a −3≥0−1≠0a 2a ≥−3a ≠±1a ≥−3a ≠±16.2×1012a ×10n 1≤|a |<10n n 1>10n <1n 620006200000000000 6.2×10121△=4−4m=0x −2x+m=0x 2Δ=(−2−4m=4−4m=0)2m=119解：由题目的频数分布表可观察到数字的频数为，出现次数最多，所以众数为．故答案为：．14.【答案】【考点】矩形的性质翻折变换（折叠问题）相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，连接并延长交于，∵，，，∴，又∵为的中点，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即.故答案为：.15.【答案】【考点】含30度角的直角三角形弧长的计算【解析】连接，根据直角三角形的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，根据弧长公式求出的长度．【解答】91499a +2bDG CN Q DM ⊥AN GH ⊥AN CN ⊥AN DM//GH//CN G MN DG =GQ DH =HC GH =CQ 12CQ =2GH =2b DM//CN △DGM ∽△QGN ==DM NQ DG GQ 11DM =NQ =a CN =CQ +QN =a +2bBC =CN =a +2b a +2b π23AE ∠DEA ∠EAB BE^连接，在三角形中，，，∴，∵，∴，∴的长度为：，三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，共计72分 ）16.【答案】原式＝＝＝．【考点】特殊角的三角函数值零指数幂负整数指数幂实数的运算【解析】直接利用二次根式的性质、负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】原式＝＝＝．17.【答案】解：②①得，，解得，，将代入②中，得，解得，∴原方程组的解为即①②得，，解得，，将代入①中得，，解得，，∴原方程组的解为【考点】加减消元法解二元一次方程组AE Rt ADE AE =4AD =2∠DEA =30∘AB//CD ∠EAB =∠DEA =30∘BE ^=π30×π×4180232×+4−1−2+4−1−23−2×+4−1−2+4−1−23−(1){3x−2y =8，①y+4x =7，②×2+11x =22x =2x =2y+8=7y =−1{x =2，y =−1.(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7，{4x+3y =24，①3x−4y =−7，②×4+×325x =75x =3x =312+3y =24y =4{x =3，y =4.【解析】此题暂无解析【解答】解：②①得，，解得，，将代入②中，得，解得，∴原方程组的解为即①②得，，解得，，将代入①中得，，解得，，∴原方程组的解为18.【答案】解：原式，∵ ，且为整数，∴，，，，又∵分母不能为，∴有意义的或，当时，原式．【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式，∵ ，且为整数，∴，，，，又∵分母不能为，∴有意义的或，当时，原式．19.【答案】,把，分别代入＝得，(1){3x−2y =8，①y+4x =7，②×2+11x =22x =2x =2y+8=7y =−1{x =2，y =−1.(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7，{4x+3y =24，①3x−4y =−7，②×4+×325x =75x =3x =312+3y =24y =4{x =3，y =4.=[−]÷(a +1)(a −1)a +13a +1(a −2)2a +1=×(a +2)(a −2)a +1a +1(a −2)2=a +2a −2−<a <2–√5–√a a =−10120a =01a =0=−1=[−]÷(a +1)(a −1)a +13a +1(a −2)2a +1=×(a +2)(a −2)a +1a +1(a −2)2=a +2a −2−<a <2–√5–√a a =−10120a =01a =0=−1−31A(−5,3)1)y kx+b解得，∴一次函数解析式为＝，当＝时，＝，则∵＝，∴＝；观察图象可得：当时，的取值范围为：或．故答案为或．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）把点坐标代入＝，得＝，则反比例函数解析式为＝-，再利用反比例函数解析式确定点坐标；（2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，则可确定，根据三角形面积公式，利用＝进行计算；（3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】把代入＝；∴反比例函数解析式为＝-，把代入＝-，解得＝；故答案为，；把，分别代入＝得，解得，∴一次函数解析式为＝，当＝时，＝，则∵＝，∴＝；观察图象可得：当时，的取值范围为：或．故答案为或．20.【答案】解：被调查的总户数为，类别户数为，补全图形如下：贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是.故答案为：.画树状图如下：y x+4y 6x+40C(−3S △AOB −S △AOC S △BOC S △AOB ×2×3−kx+b ≤x −1≤x <0x ≤−4−1≤x <0x ≤−2A y m −3y B C(−4,0)S △AOB −S △AOC S △BOC A(−1,3)y y B(−3,n)y n 8−31A(−5,3)1)y kx+b y x+4y 6x+40C(−3S △AOB −S △AOC S △BOC S △AOB ×2×3−kx+b ≤x −1≤x <0x ≤−4−1≤x <0x ≤−2(1)60÷60%=100C 100−(60+20+5)=15(2)A B C ×100%=95%60+20+1510095%(3)由树状图知共有种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为.【考点】条形统计图扇形统计图列表法与树状图法【解析】（1）先由类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得的数量即可补全图形；（2）用、、户数和除以总户数即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：被调查的总户数为，类别户数为，补全图形如下：贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是.故答案为：.画树状图如下：由树状图知共有种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为.21.【答案】解：设的进价为元，则的进价是元，由题意得，解得，经检验是原方程的解．所以（元）答：的进价是元，的进价是元.设商店至少购进类玩具个，则玩具购进个，由题意得：，解得．答：商店至少购进类玩具个．【考点】分式方程的应用208=82025A C ABC (1)60÷60%=100C 100−(60+20+5)=15(2)A B C ×100%=95%60+20+1510095%(3)208=82025(1)B x a (x+3)=900x+3750x x =15x =1515+3=18A 18B 15(2)A a B (100−a)12a +10(100−a)≥1080a ≥40A 40一元一次不等式的实际应用【解析】（1）设的进价为元，则的进价是元；根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．（2）设玩具个，则玩具个，结合“玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元”列出不等式并解答．【解答】解：设的进价为元，则的进价是元，由题意得，解得，经检验是原方程的解．所以（元）答：的进价是元，的进价是元.设商店至少购进类玩具个，则玩具购进个，由题意得：，解得．答：商店至少购进类玩具个．22.【答案】解：过点作的延长线于点，由题意知，米，，，在直角三角形中，，.在直角三角形中，，，（米）；该车的速度为（米/秒），∵千米/小时千米/小时，∴该车没有超速．【考点】解直角三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：过点作的延长线于点，B x a (x+3)900A 750B A a B (100−a)A 30B 251080(1)B x a (x+3)=900x+3750x x =15x =1515+3=18A 18B 15(2)A a B (100−a)12a +10(100−a)≥1080a ≥40A 40(1)C CO ⊥AB O CO =100∠ACO =60∘∠BCO =45∘BCO ∵∠BCO =45∘∴BO =CO =100m ACO ∵∠ACO =60∘∴AO =CO ⋅tan =10060∘3–√∴AB =AO −BO =(100−100)≈73.23–√(2)73.2÷5=14.6414.64×3.6≈52.7<60(1)C CO ⊥AB O由题意知，米，，，在直角三角形中，，.在直角三角形中，，，（米）；该车的速度为（米/秒），∵千米/小时千米/小时，∴该车没有超速．23.【答案】证明：∵，∴，∵，∴，根据三角形的内角和定理得，，连接，∴，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线；解：连接，∵，∴，∵于，∴，，，CO =100∠ACO =60∘∠BCO =45∘BCO ∵∠BCO =45∘∴BO =CO =100m ACO ∵∠ACO =60∘∴AO =CO ⋅tan =10060∘3–√∴AB =AO −BO =(100−100)≈73.23–√(2)73.2÷5=14.6414.64×3.6≈52.7<60(1)∠AEC =30∘∠ABC =30∘AB =AD ∠D =∠ABC =30∘∠BAD =120∘OA OA =OB ∠OAB =∠ABC =30∘∠OAD =∠BAD−∠OAB =90∘OA ⊥AD A ⊙O AD ⊙O (2)OA ∠AEC =30∘∠AOC =60∘BC ⊥AE M AE =2AM ∠OMA =90∘∠OAM =30∘M =AO =21，在中，，∴．【考点】圆周角定理切线的判定与性质垂径定理【解析】（1）先求出，进而求出，即可求出，结论得证；（2）先求出，用三角函数求出，再用垂径定理即可得出结论．【解答】证明：∵，∴，∵，∴，根据三角形的内角和定理得，，连接，∴，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线；解：连接，∵，∴，∵于，∴，，，，在中，，∴．24.【答案】解：()对于直线，当时，，∴.把代入抛物线解析式中，∴ ∴OM =AO =212Rt △AOM AM ==2A −O O 2M 2−−−−−−−−−−√3–√AE =2AM =43–√∠ABC =30∘∠BAD =120∘∠OAB =30∘∠AOC =60∘AM (1)∠AEC =30∘∠ABC =30∘AB =AD ∠D =∠ABC =30∘∠BAD =120∘OA OA =OB ∠OAB =∠ABC =30∘∠OAD =∠BAD−∠OAB =90∘OA ⊥AD A ⊙O AD ⊙O (2)OA ∠AEC =30∘∠AOC =60∘BC ⊥AE M AE =2AM ∠OMA =90∘∠OAM =30∘∴OM =AO =212Rt △AOM AM ==2A −O O 2M 2−−−−−−−−−−√3–√AE =2AM =43–√1y =−x+3x =0y =3C(0,3)B(4,0),C(0,3) 0=−×+b ×4+c ，34423=c, =,9∴ ∴.当时，.又∵，∴四边形是矩形，∴又∵，∴∴．∴在中，,∴中，，∴∴∴当时，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点．设直线交于点，交轴于点．∵，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．∴ ，又∵，∴，又∵,∴∴又∵，∴∴延长与相交于点．对于直线，当是，，∴∴，∵，∴,∴．∵，∴∵，∴．∵，∴又∵ ，∴ ．∴，∴∴．∴设，则，中，，∴．∴．∴，∴ b =,94c =3,y =−+x+334x 294(2)0<t <32P (t,−+t+3),G(t,−t+3)34t 294FG ⊥CO,GE ⊥OD,CO ⊥OD FOEC OE =FG =t,GE =ED =OF =3−t.MG ⊥FE,FG ⊥GE ∠GEF +∠GFE =90∘∠GFE+∠FGM =90∘∠GEF =∠FGM.Rt △FGE tan ∠FEG ==FG GE t 3−t Rt △FGM tan ∠FGM ==FM CF t 3−t FM =.t 23−t OM =FO −FM =(3−t)−=.t 23−t 9−6t 3−t =DE ⋅OM =×(3−t)×=.S △MDE 12129−6t 3−t 9−6t 2<t <332S =DE ⋅OM =DE ⋅(FM −OF)1212=−9+6t 2(3)C x B y Q CM CQ N x Z CQ//BO,BQ//CO COBQ ∠COB =90∘COBQ ∠CQB ==∠BKN,CO =BQ =390∘BK =OD BK =BQ BN =BN Rt △KBN ≅Rt △QBN.∠KNB =∠QNB.NQ//OB ∠QNB =∠NBO =∠KNB.ZN =ZB.EG CQ H y =−x+3y =0x =3D(0,3),OD =3=OC.∠OCD =∠ODC CQ//OB ∠QHG =∠HEO =,∠HCD =∠CDO 90∘∠OCD =∠HCD GF ⊥OC,GH ⊥CH GH =GF.GM ⊥EF,GH ⊥HN ∠GEM +∠MGE =,∠HGN +∠HNG =90∘90∘∠HGN =∠MGE ∠GEM =∠HNG.∠GFO =∠FOE =∠OEG =90∘∠FGE ==∠GHN 90∘△HNG ≅△FGE CH =OE =t =HG.HN =GE =3−t.CN =3−t+t =3NQ =BD =1=NK.ZK =m ZB =ZN =m+1Rt △KZB =+(m+1)2m 232m=4ZB =5tan ∠GZB =.tan ∠GEF =3434=.t 3−t 34=9解得，抛物线的对称轴为直线，∴点到抛物线对称轴的距离为．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：()对于直线，当时，，∴.把代入抛物线解析式中，∴ ∴ ∴.当时，.又∵，∴四边形是矩形，∴又∵，∴∴．∴在中，,∴中，，∴∴∴当时，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点．设直线交于点，交轴于点．∵，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．∴ ，t =97x =−=b 2a 32P −=32973141y =−x+3x =0y =3C(0,3)B(4,0),C(0,3) 0=−×+b ×4+c ，34423=c, b =,94c =3,y =−+x+334x 294(2)0<t <32P (t,−+t+3),G(t,−t+3)34t 294FG ⊥CO,GE ⊥OD,CO ⊥OD FOEC OE =FG =t,GE =ED =OF =3−t.MG ⊥FE,FG ⊥GE ∠GEF +∠GFE =90∘∠GFE+∠FGM =90∘∠GEF =∠FGM.Rt △FGE tan ∠FEG ==FG GE t 3−t Rt △FGM tan ∠FGM ==FM CF t 3−t FM =.t 23−t OM =FO −FM =(3−t)−=.t 23−t 9−6t 3−t =DE ⋅OM =×(3−t)×=.S △MDE 12129−6t 3−t 9−6t 2<t <332S =DE ⋅OM =DE ⋅(FM −OF)1212=−9+6t 2(3)C x B y Q CM CQ N x Z CQ//BO,BQ//CO COBQ ∠COB =90∘COBQ ∠CQB ==∠BKN,CO =BQ =390∘又∵，∴，又∵,∴∴又∵，∴∴延长与相交于点．对于直线，当是，，∴∴，∵，∴,∴．∵，∴∵，∴．∵，∴又∵ ，∴ ．∴，∴∴．∴设，则，中，，∴．∴．∴，∴解得，抛物线的对称轴为直线，∴点到抛物线对称轴的距离为．25.【答案】,,,,,较长直角边,,,,,,,,,作边上的中线，由得，是“奇特边”，∵＝，则＝，＝，由勾股定理得，，，是“奇特三角形”，当为“奇特边”时，，BK =OD BK =BQ BN =BN Rt △KBN ≅Rt △QBN.∠KNB =∠QNB.NQ//OB ∠QNB =∠NBO =∠KNB.ZN =ZB.EG CQ H y =−x+3y =0x =3D(0,3),OD =3=OC.∠OCD =∠ODC CQ//OB ∠QHG =∠HEO =,∠HCD =∠CDO 90∘∠OCD =∠HCD GF ⊥OC,GH ⊥CH GH =GF.GM ⊥EF,GH ⊥HN ∠GEM +∠MGE =,∠HGN +∠HNG =90∘90∘∠HGN =∠MGE ∠GEM =∠HNG.∠GFO =∠FOE =∠OEG =90∘∠FGE ==∠GHN 90∘△HNG ≅△FGE CH =OE =t =HG.HN =GE =3−t.CN =3−t+t =3NQ =BD =1=NK.ZK =m ZB =ZN =m+1Rt △KZB =+(m+1)2m 232m=4ZB =5tan ∠GZB =.tan ∠GEF =3434=.t 3−t 34t =97x =−=b 2a 32P −=3297314ABC AC BC C ABC BC a AC bAB c a bc BC AE BC BC 27–√AE 27–√BE EC =7–√AB ==A −B E 2E 2−−−−−−−−−−√21−−√AC ==7A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√△ACD AC +A =×72D 25272D =76–√解得，，当为“奇特边”时，＝，解得，．【考点】三角形综合题【解析】（1）①根据是“奇特边”的定义、直角三角形的性质判断；②设＝＝，根据勾股定理计算；（2）作于，于，设＝，＝，＝，根据勾股定理计算；（3）分为“奇特边”、为“奇特边”两种情况，根据（2）的结论计算．【解答】（1）①∵直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，∴斜边不是“奇特边”，∵较短直角边上的中线大于较长直角边，∴较短直角边不是“奇特边”，∴较长直角边为奇特边，AD =76–√2AD (AD +A 12)2D 272AD =145–√5AC BH 2x BD ⊥AM D CE ⊥AM E BD x DM y BM z AC AD。
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，则方差 S 2=[（x 1﹣ ）2+（x 2﹣ ）2+…+（x n ﹣）2]，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．12．（3 分）（2013•常德）下面计算正确的是（ ） A ．x 3 x 3=0 B ． C ．x 2 x 3=x 6D ．x 3 x 2=xx ﹣x =x考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可．解答：解：A 、x 3÷x 3=1，故此选项错误；B 、x 3﹣x 2 无法计算，故此选项错误；C 、x 2•x 3=x 5，故此选项错误；D 、x 3÷x 2=x ，故此选项正确． 故选：D ．点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．13．（3 分）（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ． D ．x =2x ﹣1 x ﹣4x ﹣5=0考点：根的判别式． 专题：计算题．分析：找出各项方程中 a ，b 及 c 的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于 0 时的方程即可． 解答：解：A 、这里 a=1，b=2，c=1，∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=0，c=1，∵△=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；C、这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣4，c=﹣5，∵△=16+20=36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，故选B点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．14．（3 分）（2013•常德）计算+ 的结果为（）A．﹣1 B．1 C．4﹣3D．7考点：实数的运算．专题：计算题．分析：先算乘法，再算加法即可．解答：解：原式=+=4﹣3=1．故选B．点评：本题考查的是实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．15．（3 分）（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE，且D 点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（）A．B．3 C．1 D．考点：翻折变换（折叠问题）分析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．解答：解：∵AB=3，AD=4，∴DC=3，∴AC= =5，根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′ 中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，22+x2=（4﹣x）2，解得：x=，故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3 分）（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．考点：菱形的性质；勾股定理；直角梯形．分析：先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可．解答：解：连接BC，则BC 为这个几何图形的直径，过O 作OM⊥BC 于M ∵OB=OC，∴∠BOM= ∠BOC=60°，∴∠OBM=30°，∵OB=2，OM⊥BC，∴OM= OB=1，由勾股定理得：BM= ，∴由垂径定理得：BC=2；连接AC、BD，则BD 为这个图形的直径，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BD 平分∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴AO= AB=1，由勾股定理得：BO= ，∴BD=2BO=2；连接BD，则BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD==2；连接BD，则BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD= =，﹣ ∵2＞＞2，∴选项 A 、B 、D 错误，选项 C 正确； 故选 C ．点评：本题考查了菱形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力．三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）（2013•常德）计算；（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（）﹣2．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行零指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简，然后合并可得出答案． 解答：解：原式=1+2﹣1﹣4=﹣2． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．18．（5 分）（2013•常德）求不等式组的正整数解．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可． 解答：解：解不等式 2x+1＞0，得：x ＞ ，解不等式 x ＞2x ﹣5 得：x ＜5， ∴不等式组的解集为﹣ ＜x ＜5，∵x 是正整数，∴x=1、2、3、4、5．点评：此题主要考查了求不等式组的正整数解，正确解不等式组，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变．四、解答题（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）（2013•常德）先化简再求值：（+）÷，其中 a=5，b=2．考点：分式的化简求值． 专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=[ +]•= •= •=，当a=5，b=2 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．20．（6 分）（2013•常德）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B 两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6 不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A 名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A 名著，你认为此规则合理吗？为什么？考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为奇数与偶数情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6 种等可能的结果，两数之和是偶数的有2 种情况；∴甲获胜的概率为：=；∴P（甲获胜）=，∴P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．五、解答题（本大题共2 小题，每小题7 分，满分14 分）21．（7 分）（2013•常德）某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：（1）求y2 与x 之间的函数关系式？（2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2 倍？这时该地公益林的面积为多少万亩？考点：一次函数的应用．分析：（1）设y2 与x 之间的函数关系式为y2=kx+b，由待定系数法直接求出其解析式即可；（2）由条件可以得出y1=y2 建立方程求出其x 的值即可，然后代入y1 的解析式就可以求出结论．解答：解：设y2 与x 之间的函数关系式为y2=kx+b，由题意，得，故y2 与x 之间的函数关系式为y2=15x﹣25950；（2）由题意当y1=2y2 时，5x﹣1250=2（15x﹣25950），解得：x=2026．故y1=5×2026﹣1250=8880．答：在2026 年公益林面积可达防护林面积的2 倍，这时该地公益林的面积为8880 万亩．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程解实际问题的运用解答时根据条件求出函数的解析式是关键．22．（7 分）（2013•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= ，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．，解得：﹣ ﹣考点：解直角三角形．分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解 Rt △ADC ，得出 DC=1；解 Rt △ADB ，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2，然后根据 BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CE ﹣CD ，然后在 Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．解答：解：（1）在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴AB= =3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是 BC 边上的中线， ∴CE= BC=+ ，∴DE=CE ﹣CD=，∴tan ∠DAE==．点评：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt △ADC 与 Rt △ADB ，得出 DC=1，AB=3 是解题的关键．六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）（2013•常德）网络购物发展十分迅速，某企业有 4000 名职工，从中随机抽取 350人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图 1 和扇形图 2．（1） 这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？ （2） 如果把对网络购物所持态度中的“经常（购物）”和“偶尔（购物）”统称为“参与购物”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？（3）这次调查中，“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有22 人，它占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？（4）请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：计算题．分析：（1）根据样本的容量为350，得到中位数应为第175 与第176 两个年龄的平均数，根据条形统计图即可得到中位数所在的年龄区间；（2）找出“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比，乘以350 即可得到结果；（3）“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的人数除以350，即可得到结果；（4）由扇形统计图求出“从不（网购）”所占的百分比，乘以4000 即可得到结果．解答：解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35 之间；（2）“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比为40%+22%=62%，则这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是350×62%=217（人）；（3）根据题意得：“从不（网购）”的占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分比为×100%=20%；（4）根据题意得：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520（人），则该企业“从不（网购）”的人数是1520 人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．24．（8 分）（2013•常德）如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE=90°，延长ED 到C 使DC=AD，以AD，DC 为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE 交AC 于点H．求证：（1）AC 是⊙O 的切线．（2）HC=2AH．考点：切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE 为⊙O 的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB∥CD 得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．解答：证明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE 为⊙O 的直径，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAC=45°，∴∠EAC=45°+45°=90°，∴AC⊥AE，∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB∥CD，∴△ABH∽△CEH，∴AH：CH=AB：ED，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD=ED，而AD=AB=DC，∴EC=2AB，∴AH：CH=1：2，即HC=2AH．点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．七、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）25．（10 分）（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点N，在四边形PMON 上分别截取PC=MP，MD= OM，OE= ON，NF= NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF 两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF 是平行四边形；（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON 是正方形．这样点P 就是抛物线y=x2+x﹣3 与坐标象限角平分线y=x 或y=﹣x 的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P 的坐标．符合题意的点P 有四个，在四个坐标象限内各一个．解答：2（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+ ）+k，∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，∴，解得：a=1，k= ．∴抛物线的解析式为：y=（x+ ）2 =x2+x﹣3．（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点N，∴四边形PMON 为矩形，∴PM=ON，PN=OM．∵PC= MP，OE= ON，∴PC=OE；∵MD= OM，NF= NP，∴MD=NF，∴PF=OD．在△PCF 与△OED 中，∴△PCF≌△OED（SAS），∴CF=DE．同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF．∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF 是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形．设矩形PMON 的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC= m，MD= n，PF= n．若四边形CDEF 为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，∴，即，化简得：m2=n2，∴m=n，即矩形PMON 为正方形．∴点P 为抛物线y=x2+x﹣3 与坐标象限角平分线y=x 或y=﹣x 的交点．联立，解得，，∴P1（，），P2（﹣，﹣）；联立，解得，，∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF 为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON 必须是正方形，然后列方程组求解．26．（10 分）（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）证法一：如答图1a 所示，延长AB 交CF 于点D，证明BM 为△ADF 的中位线即可；证法二：如答图1b 所示，延长BM 交EF 于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF 即可，（2）解法一：如答图2a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线；解法二：先求出BE 的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b 所示，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE 和△DFE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．解答：（1）证法一：如答图1a，延长AB 交CF 于点D，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B 为线段AD 的中点，又∵点M 为线段AF 的中点，∴BM 为△ADF 的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM 交EF 于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M 是AF 的中点，∴AM=MF，∵在△ABM 和△FDM 中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF 中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a 所示，延长AB 交CF 于点D，则易知△BCD 与△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，∴BM= DF．分别延长FE 与CA 交于点G，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，∴ME= AG．∵CG=CF= a，CA=CD=a，∴AG=DF= a，∴BM=ME=× a=a．解法二：∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED 是等腰直角三角形，∴△BEM 是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB 交CE 于点D，连接DF，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，∴BM= DF．延长FE 与CB 交于点G，连接AG，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，∴ME=AG．在△ACG 与△DCF 中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∴M 是AF 的中点，∴AM=FM，在△ABM 和△FDM 中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，∵在△BCE 和△DFE 中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE 是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．。