磁场中的双棒问题研究
电磁感应中单双棒问
动力学方程建立与求解
根据牛顿第二定律建立动力学方程：F - FA = ma，其中F 为外力，FA为安培力，a为加速度。
安培力FA的表达式为：FA = BIL = B^2L^2v/R，其中B为 磁感应强度，L为单棒长度，v为单棒速度，R为单棒电阻 。
将安培力表达式代入动力学方程，得到关于加速度a的方程 ：F - B^2L^2v/R = ma。
电磁感应中单双棒问
汇报人：XX
• 引言 • 电磁感应基本原理 • 单棒问题分析与求解 • 双棒问题分析与求解 • 单双棒问题比较与联系 • 实验验证与数据分析 • 总结与展望
01 引言
电磁感应现象简介
电磁感应是指当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应电动势和感应电流的现 象。
电磁感应是电磁学的基本现象之一，也是电机、变压器等电气设备的工作原理。
06
4. 记录实验数据，包括运动时间、位移、速度等。
数据采集与处理方法
数据采集
使用高精度传感器和数据采集系统，实时记录单棒和双棒的运动状态及相关参 数。
数据处理
对实验数据进行整理、筛选和统计分析，提取有用信息。
实验结果展示及讨论
结果讨论
2. 探究电流、磁场强度等参数对 单棒和双棒运动的影响。
结果展示：通过实验数据可视化 手段，如图表、曲线等，直观展 示单棒和双棒在电磁感应中的运 动规律及能量转化效率。
能量转化与守恒关系探讨
在单棒运动过程中，外力做功 将机械能转化为电能，电能又
通过电阻发热ห้องสมุดไป่ตู้化为内能。
根据能量守恒定律，外力做功 等于单棒动能的增加量与电阻 发热量之和：W = ΔEK + Q。
其中ΔEK为单棒动能的增加量， Q为电阻发热量，可以通过焦耳 定律计算：Q = I^2Rt。
金属棒在磁场中运动问题的研究
2013-01教学实践有一种很常见的运动———导体棒在磁场中切割磁感线的运动，在运动过程中，由于导体切割磁感线，电路中会产生感应电流，而电流在磁场中又要受到安培力的作用，由于物体的运动一般是变速运动，所以安培力一般情况下也是一个变力，这样就会形成一个动态问题，学生对这样的问题往往会感到困惑，本文主要就这个问题进行探讨。
一、末尾运动阶段是匀速运动在无外力或物体所受的外力总和为零的情况下，两个棒以某一初速度运动，这时，电路中的电流会减小，而电流减小，安培力也就减小，当电流为零时，安培力也就变为零，这时，棒受到的力也就平衡，开始处于平衡状态。
例1.有一个摩擦不计的导轨，两个棒之间的距离是L，有一个磁感强度是B的匀强磁场，方向竖直向下，两根金属棒质量是m，电阻大小是R，这两个棒分别标为ab和cd，在刚开始阶段，一个棒静止，一个棒运动，设它的速度大小是v0，方向为水平向右。
求（1）运动过程中两个棒由于切割磁感线而产生的电能和由电能转化成的热量各是多少？（2）有多少电量通过金属棒？分析：两个棒受到大小相等、方向相反的力的作用。
所以系统的总动量守恒，这是一个动态的过程，一个棒刚开始速度大，但是它受到的磁场力和运动的方向相反，所以磁场力做负功，速度会逐渐减小，而另一个棒虽然刚开始速度小，但受到的安培力方向和运动的方向相同，安培力做正功，速度会逐渐变大，当平衡时，两个棒的速度相等，这时，回路中的磁通量就不再变了，也就不会产生电能，系统开始处于平衡状态，所以有v ab=v cd=v，这样，问题也就迎刃而解了。
（1）系统的动量是守恒的，根据动量守恒有：mv0=2mv v=v02E=12mv02-12mv2=38mv02Q=12mv02-12·2mv2=14mv02（2）又由于动量定理，可知：-BILΔt=mv-mv0又q=I驻t q=mv02BL例2.在某一空间有一个匀强磁场，它的大小是B，方向竖直向下，导轨的方向是水平的，两端的间距不一样宽，一端的间距是L1=4L，另一端间距是L2=L，这两个金属棒的质量各是m1=m、m2= m，即它们的质量相等，其电阻是R1=4R、R2=R，我们给某一个棒一个初速度，求另一棒上通过的电量是多少和因此而产生的电能。
电磁感应双棒问题
电磁感应双棒问题
1. 如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上，左端向上弯曲，导轨间距为L，电阻不计。
水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。
导体棒a与b的质量均为m，电阻值分别为R a=R，R b=2R。
b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。
运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度为g。
（1）求a棒刚进入磁场时受到的安培力的大小和方向；
（2）求最终稳定时两棒的速度大小；
（3）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，求b棒上产生的内能。
2.如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。
ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。
试求：
（1）ab、cd棒的最终速度。
（2）全过程中感应电流产生的焦耳热。
磁场中的双棒问题研究
电磁感应现象中的“双棒”问题研究黄陂一中 姜付锦“双棒”是电磁感应现象中的一个很重要的模型，因为这个模型所涉及的物理知识有动量、能量、牛顿运动学等高中力学中的主干知识。
笔者试着对这个模型进行了如下的分析与归纳，有不当的地方请各位同仁批评指正。
一、分类1．按棒的长度可分为两类：等宽与不等宽（即一长一短） 2．按启动方式可分为三类：冲量型、恒定外力型、恒定功率型 3．按棒所处轨道的位置可分为三类：水平类、倾斜类、竖直类4．按棒稳定后的状态可分为三类：静止类、匀速直线运动类、匀加速直线运动类 二、规律(仅讨论水平导轨，且导棒的材料相同) 1．等长“双棒”两棒质量均为m ，长度均为L ，电阻均为R ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B（1）导轨光滑①冲量型：给棒1一个水平向右的速度0v ，则最终稳定后两棒均匀速直线运动，且速度均为122v v v ==，系统的动量守恒，动能损失204k mv E Q ==，两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离为022mv s B L =。
v t -图象如下： 01020304050607080900.51V1i V2it i②恒定外力型：对棒1施加一个恒定外力F ，则最终稳定后，两棒均作匀加速直线运动，且两棒的加速度相等2F a m =，两棒的速度之差为一定值1222FRv v v B L=-=，两棒速度之和与时间成正比12Fv v t m+=。
v t -图象如下： 0102030405060708090204060V1i V2it i2 1③恒定功率型：以恒定功率作用在棒1上，则最终两棒的速度趋于无穷大，而两棒的速度差将趋于零，此时对应的外力为无穷小（零），v t -图象如下010203040506070102030V1i V2it i（2）导轨粗糙①冲量型：给棒1初速度0v ，则两棒的运动类型有如下三种情况：10当2202B L v mg Rμ≤时，则只有棒1运动，最终速度减小为零，棒2始终不动，v t -图象如下： 02468101250100V1it i20当2202B L v mg Rμ>时，两棒一起运动，棒2先不动后加速最后减速，棒1一直减速运动，最后均静止。
电磁感应中双棒问题
例2:如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电 阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组 成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感 应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质 量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒 ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段, 圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求： （1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中 电流是多少？ （2） cd棒能达到的最大速度是多大？ （3）ab棒由静止到达最大速度过程中, 系统所能释放的热量是多少？
解析： (1)刚开始运动时回路中的感应电流为：
Blv0 E 1 0.5 10 I 2.5 A Rb Rc Rb Rc 11
刚开始运动时C棒的加速度最大：
BIl 1 2.5 0.5 a 12.5 m 2 s mc 0.1 B
N M c b
(2)在磁场力的作用下，b棒做减速运动，当两棒速 度相等时，c棒达到最大速度。取两棒为研究对象， 根据动量守恒定律有：
1 v 3
gR
(3)系统释放热量应等于系统机械能 减少量,故有： (3)系统释放热量应 等于系统机械能减少量 1 2 ,故有： 1 2
Q mv 3mv 2 2
解得
1 Q mgR 3
O
最终两棒具有共同速度
t
4．两个规律
(1)动量规律 两棒受到安培力大小相等方向相反, 1 系统合外力为零,系统动量守恒.
2
v0
m2v0 ( m1 m2 )v共
(2)能量转化规律 系统机械能的减小量等于内能的增加量. （类似于完全非弹性碰撞）
1 1 2 2 m2 v0 ( m1 m2 )v共 ＋Q 2 2 Q1 R1 两棒产生焦耳热之比： Q2 R2
电磁感应中的双导体棒和线框模型(解析版)
2024版新课标高中物理模型与方法电磁感应中的双导体棒和线框模型目录一.无外力等距双导体棒模型二．有外力等距双导体棒模型三．不等距导轨双导体棒模型四．线框模型一.无外力等距双导体棒模型【模型如图】1.电路特点棒2相当于电源；棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.2.电流特点：I =Blv 2−BLv 1R 1+R 2=Bl (v 2−v 1)R 1+R 2随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度v 2−v 1变小，回路中电流也变小。
v 1=0时：电流最大，I =Blv 0R 1+R 2。
v 1=v 2时：电流 I =03.两棒的运动情况安培力大小：F 安=BIl =B 2L 2(v 2−v 1)R 1+R 2两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。
4.两个规律(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,系统动量守恒.m 2v 0=(m 1+m 2)v 共(2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.(类似于完全非弹性碰撞)Q =12m 2v 20−12(m 1+m 2)v 2共两棒产生焦耳热之比：Q 1Q 2=R 1R 2；Q =Q 1+Q 25.几种变化：(1)初速度的提供方式不同(2)磁场方向与导轨不垂直(3)两棒都有初速度(两棒动量守恒吗？)(4)两棒位于不同磁场中(两棒动量守恒吗？)1(2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习)如图所示，MN 、PQ 是相距为0.5m 的两平行光滑金属轨道，倾斜轨道MC 、PD 分别与足够长的水平直轨道CN 、DQ 平滑相接。
水平轨道CN 、DQ 处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B =1T 的匀强磁场中。
质量m =0.1kg 、电阻R =1Ω、长度L =0.5m 的导体棒a 静置在水平轨道上，与a 完全相同的导体棒b 从距水平轨道高度h =0.2m 的倾斜轨道上由静止释放，最后恰好不与a 相撞，运动过程中导体棒a 、b 始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度g 取10m/s 2。
电磁学中的双金属棒运动类问题
电磁学中的双金属棒运动类问题★例1、如图所示，两金属杆ab 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，M m >，用两根质量和电阻均可忽略不计的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧。
两金属杆都处在水平位置。
整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B ，若金属杆正好匀速向下运动，求其运动的速度。
22()2M m gRv B l -=★例2、两根足够长的光滑平行金属导轨在同一水平面内，宽为l 导轨的一半位于磁感应强度为B 的匀强磁场中，方向垂直于导轨平面。
在导轨上放置两根垂直于导轨的质量均为m 的金属棒ab 和cd ，其中棒ab 在磁场区域外。
当水平推棒ab 一下，使它获得向右的速度0v ，如图所示。
求棒ab 和cd 两端的最终电压各是多少。
012E Blv Blv ==★例题3、如图所示，两根相距0.20l m =平行金属导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度0.20B T =，导轨上面横放着两根金属细杆，构成矩形回路。
每根金属细杆的电阻0.25r =Ω。
回路中其余部分的电阻可忽略不计。
已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下沿导轨向相反的方向匀速平移，速度大小都是 5.0v m s =，如图所示。
不计导轨的摩擦。
（1）求作用于每根细杆的拉力的大小。
（2）求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动过程中总计产生的热量。
★拓展1： 如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B ，两根金属杆甲、乙摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为1m 、2m 和1R 、2R ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知甲杆被外力拖动以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时，乙杆也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略不计，求此时乙杆克服摩擦力做功的功率。
完整版44电磁感应中的双杆问题分类例析
1电磁感应中的双杆问题分类例析“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类 问题进行分类例析 1、“双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。
2•“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。
3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。
“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同 样加速度做匀加速直线运动。
4. “双杆”在不等宽导轨上同向运动。
“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守 恒定律解题。
【例5】如图所示，间距为 水平面内，质量均为 m 、绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与 在方向竖直向上、磁感应强度大小为 放C,经过时间t, C 的速度为 重力加速度为g,求：（1） t 时刻C 的加速度值； （2） t 时刻a 、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的 总电功率。
解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路 I 、电阻不计的两根平行金属导轨 MN 、PQ （足够长）被固定在同一 电阻均为R 的两根相同导体棒 a 、b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳 a 棒连接，其下端悬挂一个质量为 M 的物体C ，整个装置放 B 的匀强磁场中。
开始时使 a 、b 、C 都处于静止状态，现释 1、b 的速度为2。
不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好， a 、 a 、 的感应电动势E 回路中感应电流—Bl （ 1 E I 一 2R 2）① 根据牛顿第二定律 T BII Mg T 2 2联立以上各式解得 a 2MgR B 1 （ 1一" 2R （M m ）（2）解法一：单位时间内，通过 a 棒克服安培力做功，把回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉,所以，t 时刻闭合回路的电功率等于 以a 为研究对象， 以C 为研究对象，根据牛顿第二定律ma Ma P BII 解法二：a 棒可等效为发电机， a 棒的感应电动势为闭合回路消耗的总电功率为 C 物体的一部分重力势能转化为闭合 另一部分则转化为 b 棒的动能, a 棒克服安培力做功的功率，即B 2l 2（1 2）12R b 棒可等效为电动机 E a BlV 1P联立①②⑤⑥解得P BII 1lE a 2 2B I( 12)2R解法三：闭合回路消耗的热功率为 b 棒的机械功率为 P 机 BII v 2 E^ 2R 2R2 2B l (v 1 v 2)v 2 B 2l 2(V 1 V 2)22R B 2l 2( 1 2) 12R 说明：在单位时间t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下： 故闭合回路消耗的总电功率为 C 物体重力势能的减少量 IIC 物体重力做功闭合回路消耗的总电能 闭合回路产生的焦耳热I I b 棒动能的增加量安培力对b 棒做正功a 棒克服安培力做功C 物体克服细绳拉力做功 C 物体动能的增加量II细绳拉力对a 棒做功a 棒动能的增加量II模型a棒可等效为发电机b棒可等效为电动机【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B = 0.05T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计.导轨 间的距离I = 0.20 m .两根质量均为 m = 0.10 kg 的平行金属杆甲、乙可 在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电 阻为R = 0.50 Q.在t= 0时刻，两杆都处于静止状态.现有一与导轨平 行、大小为0.20 N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑 动.经过t= 5.0s ，金属杆甲的加速度为 a= 1.37 m/ s,问此时两金属杆的速度各为多少 本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧 姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力. 解析：设任一时刻t,两金属杆甲、乙之间的距离为 X,速度分别为V I 和V 2,经过很短的时 间杆甲移动距离V 1^ t,杆乙移动距离V 2^t ，回路面积改变代入数据得移V l = 8.15 m/s, V 2= 1.85 m/s【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两 导轨间的距离为L 。
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电磁感应现象中的“双棒”问题研究黄陂一中 姜付锦“双棒”是电磁感应现象中的一个很重要的模型，因为这个模型所涉及的物理知识有动量、能量、牛顿运动学等高中力学中的主干知识。
笔者试着对这个模型进行了如下的分析与归纳，有不当的地方请各位同仁批评指正。
一、分类1．按棒的长度可分为两类：等宽与不等宽（即一长一短） 2．按启动方式可分为三类：冲量型、恒定外力型、恒定功率型 3．按棒所处轨道的位置可分为三类：水平类、倾斜类、竖直类4．按棒稳定后的状态可分为三类：静止类、匀速直线运动类、匀加速直线运动类 二、规律(仅讨论水平导轨，且导棒的材料相同) 1．等长“双棒”两棒质量均为m ，长度均为L ，电阻均为R ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B（1）导轨光滑①冲量型：给棒1一个水平向右的速度0v ，则最终稳定后两棒均匀速直线运动，且速度均为122v v v ==，系统的动量守恒，动能损失204k mv E Q ==，两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离为022mv s B L =。
v t -图象如下： 01020304050607080900.51V1i V2it i②恒定外力型：对棒1施加一个恒定外力F ，则最终稳定后，两棒均作匀加速直线运动，且两棒的加速度相等2F a m =，两棒的速度之差为一定值1222FRv v v B L=-=，两棒速度之和与时间成正比12Fv v t m+=。
v t -图象如下： 0102030405060708090204060V1i V2it i2 1③恒定功率型：以恒定功率作用在棒1上，则最终两棒的速度趋于无穷大，而两棒的速度差将趋于零，此时对应的外力为无穷小（零），v t -图象如下010203040506070102030V1i V2it i（2）导轨粗糙①冲量型：给棒1初速度0v ，则两棒的运动类型有如下三种情况：10当2202B L v mg Rμ≤时，则只有棒1运动，最终速度减小为零，棒2始终不动，v t -图象如下： 02468101250100V1it i20当2202B L v mg Rμ>时，两棒一起运动，棒2先不动后加速最后减速，棒1一直减速运动，最后均静止。
当2212()2B L v v mg Rμ-=时，棒2有最大速度，v t -图象如下：00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.61123V1i V2it i②恒定外力型：对棒1施加一恒定外力F ，则两棒的运动类型有以下三类： 10当F mg μ≤时，两棒均不动20当2mg F mg μμ<≤时，棒1先加速后匀速最大速度为22()2m F mg Rv B L μ-=，棒1始终不动，v t -图象如下：05101520123VT30当2F mg μ>时，两棒均运动，棒1先变加速后匀加速，棒2先不动后变加速最后匀加速，最后两棒的加速度相等1222F mg a a m μ-==，两棒的速度之差为一定值22FRv B L=，v t -图象如下：0246810121123V1i V2it i③恒定功率型：以恒定功率p 作用在棒1上，则两棒的运动情况分为以下两类：10当222224m g p B L μ≤时，棒2静止不动，棒1先加速后匀速，棒1的最终速度满足下列关系式：22112B L v pmg v Rμ=+，v t -图象如下：010203040506070809046810V1it i20当222224m gp B Lμ≥时，棒1先加速后匀速运动，棒2先不动，后加速运动，最后匀速运动，总终两棒的速度差为一定值。
棒1的速度为12222,22p p mgv v mg mg B Lμμμ==-，v t -图象如下： 0123456551015V1i V2it i2．不等宽双棒棒1质量为m ，长度为L ，电阻为R ，棒2的质量为2m ，长度均为2L ，电阻为2R ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B （1）导轨光滑①冲量型：给棒1（或棒2）一个水平初速度0v ，分析两棒的运动规律 10短拉长型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，1221v v =， v t -图象如下：01020304050607080900.51V1i V2it i20长拉短型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，1212v v =， v t -图象如下： 01020304050607080900.51V1i V2it i21②恒定外力型：对棒1（棒2）施加一恒定外力F ，分析两棒的运动规律10短拉长型：棒1先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒2先做变加速直线运动，最后做匀加速直线运动，且有121212222,,2F FRa a a a v v m B L=+=-=，v t -图象如下： 010203040506070809020406080V1i V2it i20长拉短型：棒2先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒1先做变加速直线运动，最后做匀加速直线运动，且有 121212222,,22F FRa a a a v v m B L=+=-=，v t -图象如下： ③恒定功率型：棒1（棒2）施加一恒定功率，两棒的速度越来越大，最终两棒的速度关系为：0102030405060708090102030V2i V1it i10短拉长型：1220v v -→ 20长拉短型：2120v v -→v t -图象如下：50001.1041.5.1042.1040200400600V1i V2it i（2）导轨粗糙：棒1质量均为m ，长度为L ，电阻为R ，棒2的质量为2m ，长度均为2L ，电阻为2R ，摩擦因数均为μ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B ①冲量型：给棒1（棒2）一初初速0v ，分析两棒的运动规律10短拉长型101当220223B L v mg Rμ≤时，则棒2始终静止，棒1作变减速运动，最终静止 102当220223B L v mg Rμ>时，则棒1先减速运动，最后静止，棒2先加速后减速，当22122(2)23B L v v mg Rμ-=时，棒2有最大速度，v t -图象如下： 00.51 1.52 2.531123V1i V2it i20长拉短型201当22023B L v mg Rμ≤时，则棒1静止不动，棒2先变减速运动，最后静止 202当22023B L v mg Rμ>时，棒2先变减速运动，最后静止，棒1先加速，后减速 当2221(2)3B L v v mg Rμ-=时，棒1有最大速度，v t -图象如下： 00.51 1.52 2.531123V2i V1it i②恒定外力型 10短拉长型101当F mg μ≤时，两棒均不动102当3mg F mg μμ<≤时，棒1先加速运动，最后匀速运动，棒2始终静止不动，v t -图象如下：01234123VT103当3F mg μ>时，两棒最后均匀加速运动，且121222,F mga a a a mμ-=+=， 1222()2F mg Rv v B Lμ+-=，v t -图象如下： 0246810122468V1i V2it i20长拉短型201当2F mg μ≤时，两棒均不动202当23mg F mg μμ<≤时，棒2先加速运动，最后匀速运动，棒1始终静止不动，v t -图象如下：01234123VT203当3F mg μ>时，两棒最后均匀加速运动，且211242,2F mga a a a mμ-=+=，2122()2F mg Rv v B L μ--=，v t -图象如下：0123456782468V2i V1it i③恒定功率型 10短拉长：101当22218()mg Rp B L μ≤时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式：22113B L v pmg v Rμ=+。
102当22218()mg Rp B Lμ>时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，棒2先不动，后变速运动，最后匀速运动，且两棒的速度之差为一定值，122232mgRv v B Lμ-=，v t -图象如下： 024681012551015V1i V2it i20长拉短型 201当2229()4mg R p B L μ≤时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式：2222423B L v pmg v Rμ=+。
202当2229()4mg Rp B L μ>时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，棒1先不动，后变速运动，最后匀速运动，且两棒的速度之差为一定值，212232mgRv v B L μ-=，v t -图象如下：02468101255101520V2i V1it i三、总结：最终两棒中的电流不变211.L L ⎧⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩1212等宽双棒:v =v 光滑v 不等宽双棒:v 冲量型一棒减速运动,另一棒不动粗糙一棒先加速,后减速运动,另一棒一直减速到零 1221122112211221,,,,v v L L v L v L v v L L v L v L -⎧⎪⎨=-⎪⎩⎧⎪⎨⎪-⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-⎩12121212等宽双棒:a =a 为一定值光滑a 不等宽双棒:为一定值a 两棒都不动等宽双棒:一棒先不动后加速最后匀速运动,另一棒不动2.外力型两棒先变加速最后都匀加速运动,a =a 为一定值粗糙两棒都不动不等宽双棒:一棒先加速后匀速运动,另一棒不动a 两棒先变加速后都匀加速运动,为一定值a ⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩:03.:⎧→⎧⎪⎨→⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩121122121122等宽两棒速度趋近于无穷大,v v 光滑不等宽:两棒速度趋近于无穷大,L v -L v 一棒静止不动,另一棒先变加速后匀速运动功率型等宽:一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,v -v 为定值粗糙一棒静止不动,另一棒匀速运动不等宽一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,L v -L v 为定值。