弹塑性力学 4 平衡微分方程和边界条件汇总
弹塑性力学 第02章应力状态理论
⎟ σ 23 ⎟ ⎟ σ 33 ⎠
σ 13 ⎞
§2-3 与坐标轴倾斜的斜截面上的应力
如何根据 9 个应力分量求任意斜截面上的应力？
σz
τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz
σy
px
pz
py
y
σx
x
σz τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz σy σy τ yx τ xy σ x τ xz τ zx σz
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
80 ⎞ ⎟ − 75 ⎟ MPa − 30 ⎟ ⎠
⎛1 1 1 ⎞ 试求通过该点，法线方向为⎜ , , ⎟ 2⎠ ⎝2 2
平面的正应力
和切应力。
解： p j = σ ij ni
50 + 40 2 ⎞ 80 ⎞⎛1 2 ⎞ ⎛ ⎛ 50 50 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ 50 0 − 75 ⎟⎜1 2 ⎟ = ⎜ 25 − 37.5 2 ⎟ MPa ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2.5 − 15 2 ⎟ ⎜ 80 − 75 − 30 ⎟⎜ ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
工程塑性力学(第四章)弹塑性力学边值问题的简单实例
σθ
−σr
=
2
p
b2 r2
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σθ
− σ r ) max
=
2
p
b2 a2
=σs
求得弹性极限载荷（压力）为
pe
=
a2σ s 2b2
，
p
=
pe
=
b2 − a2 a2
pe
= σs 2
⎜⎜⎝⎛1 −
a2 b2
⎟⎟⎠⎞
（2）弹塑性解
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
b
弹性区
c
用边界条件σ r r=a = − p ，可确定出 C′ = − p − σ s ln a ，
a
所以
⎪⎧σ r ⎨ ⎪⎩σθ
= σ s ln r − p − σ s ln a = − p + σ s
=σs
+σr
=
−p
+ σ s (1 +
ln
r) a
ln
r a
（4-27）
塑性区 图 4-3
属静定问题，未用到几何关系。
ΔFi = F&iΔt ， ΔTi = T&iΔt ， Δui = u&iΔt
（4-10） （4-11）
式中 F&i ，T&i 和 u&i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度）。引入率的表达形式
可以简化公式表达。 求解过程为：
已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 εij ，应力σij ，加载面 f (σij ,ξ ) = 0 。在 ST 上给
弹性力学公式
（位移单值条件）
应用弹塑性力学考试用基本公式-16
弹性力学极坐标求解归结为
+ fρ
=0
平衡微分方程：
1
ρ
∂σ ϕ ∂ϕ
+
∂τ ρϕ ∂ρ
+
2τ ρϕ ρ
+
fϕ
=
0
几何方程：
ερ
=
∂uρ
∂ρ
εϕ
=
uρ
ρ
+
1
ρ
∂uϕ
∂ϕ
（4－1） （4－2）
γ ρϕ
=
1
ρ
∂uρ
∂ϕ
+
∂uϕ
∂ρ
−
uϕ
ρ
物理方程：
ερ
=
1 E
(σ
ρ
− μσϕ )
γ ρϕ
=
1 G
τ
ρϕ
=
2(1 + E
μ)τ
ρϕ
εϕ
+ +
∂u ∂y ∂v ∂z
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ⎪ ∂ x ⎪⎭
θr
ϕ
简记为： ε ij
=
1 2
(u
j ,i
+ ui, j )
体积应变 θ = ∂u + ∂v + ∂w
∂x ∂y ∂z
应用弹塑性力学考试用基本公式-3
<ii>在柱坐标系中
εr
=
∂ur ∂r
εθ
= 1 ∂uθ
双调和函数：
1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问 题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
弹塑性力学总结（精华）
弹塑性力学总结（精华）第一篇：弹塑性力学总结(精华)（一）弹塑性力学绪论：1、定义：是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。
2、研究对象：也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。
3、分析问题的基本思路：受力分析及静力平衡条件(力的分析)；变形分析及几何相容条件(几何分析)；力与变形间的本构关系(物理分析)。
4、研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象→单元体的受力—应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；（特点：1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。
）5、基本假设：物理假设:（连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙；均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设；（B）弹塑性假设）。
几何假设——小变形条件（假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。
在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
）6、解题方法（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。
从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决7、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度σ=limFn∆A∆A→O=dFndA=σnσ=limFn∆A∆A→O=dFndA=σnt。
弹塑性力学基础
Q
AK (e w ) L
V
K (e w ) L
流网
（二）数值解法 主要是有限元法，能求解稳定渗流和非稳定渗流，渗流与扩散 的耦合，渗流与力场的耦合即后文中可能提到的比奥固结理论。
流网
（三）流网法
流网渗流力及渗透变形 3.4
（三）流网法 流网法的特点： （1）流网的等势线与流线垂直（参考文献） （2）在做流网时，为分析方便而做成正方形的网格 （3）两等势线之间的水头损失相等，两流线之间的单位 渗流量相等。 要求：能对流网进行分析，能根据流网求渗流速度，渗 流量和孔隙水压力。
5. 了解平面稳定流的控制方程及流网的使用
3、平衡分析 （3）斜截面应力公式 取四面体进行分析。除斜截面外，另外3个面与坐标面 重合。则斜截面上应力在三个坐标轴上的投影分别为
t nx l x m yx n zx
t ny l xy m y n zy
t nz l xz m yz n z
应力理论
A
A'l h1 k ln( ) A(t2 t1 ) h2
变水头试验适用于透水性较小的粘性土等。
渗透理论
三、渗透系数的确定
（二）现场试验确定 在(x,y)处的过水断面面积为 A=2 π xy
2xy
Y
x,y
i=dy/dx 由达西定律： q=kiA,得：q 2xyk
dy dx
X
两边积分，得2-9，即：
发生的判别方法：
1. 图解法 见图2-15 2. 用d85/ d15来判别。
小结
1. 达西定律 2. 渗透系数的确定方法 3. 渗流的控制方程及流网的利用 4. 土的渗透力的定义和渗透变形灾害表现形式及 判断
弹塑性力学-15 屈服理论
S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
ij
0
ABCA
对整个循环，附加应力
( ij
0 ij
)d
p ij
0
在弹性变形上做功为零 ABCA
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC
( ij
0 ij
)d
p ij
CA ( ij
0 ij
)d
p ij
0
15.1 屈服理论分析
6. Drucker公设
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC ( ij
4
xy s
2
1
均为
x s
2
3
xy s
2
1
椭圆
15.2 经典屈服准则
3. 屈服准则的验证 M
P
薄壁圆筒承受拉扭
M P
Mises准 则更好！
xy / s
0.6
Mises准则
0.4 铜 0.2 软钢 Tresca准则
铝
0 0.2 0.4 0.6 0.8 x / s
塑性屈服理论
15.1 屈服理论分析 15.2 经典屈服准则 15.3 后继屈服与硬化
弹塑性力学基本方程
弹性力学基本方程平衡微分方程：0⋅+=σ∇f指标符号写为,0ji j i f σ+=在直角坐标系中分量形式311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩在柱坐标系中分量形式1012010r r r rz r r zr z zr z rzz f r r z rf r r z r f r r z r θθθθθθθθτσσστθτσττθττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩在球坐标系中分量形式211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f rr r r r f r r r r r ϕθϕθθθϕθϕθθθθϕϕθϕϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎩几何方程：1()2=+ε∇∇u u指标符号写为,,1()2ij i j j i u u ε=+在直角坐标系中分量形式1211221112113222223322333313331133131()21()21()2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在柱坐标系中分量形式111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪=+=+⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在球坐标系中分量形式1111sin 11sin sin r rr r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪∂∂∂⎪=+=+-⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂⎪⎪∂∂=++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩应变协调方程：0⨯⨯=ε∇∇指标符号写为,0mjk nil ij kl e e ε=在直角坐标系中常用形式222112212222112222332322223223222331311221313223311112231123231232212312231233120001()21()21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεγεγεεγεγγεγγγεγε∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂=∂∂2331123312()2x x x x γγγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂-++⎪∂∂∂∂⎩本构方程：:=σεC指标符号写为ij ijkl klC σε=对各向同性弹性体的线弹性本构关系的指标符号写为2ij ij kk ijG σελεδ=+在直角坐标系中分量形式222x x yy z z xy xy yz yz zx zxG G G G G G σελθσελθσελθτγτγτγ=+⎧⎪=+⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩边界条件：力边界条件指标形式写为 j i ijp νσ=在指标坐标系分量形式x yx zx xy y zy xz yz z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩位移边界条件指标形式写为 i iu u =在直角坐标系分量形式112233u u u u u u ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩位移解法：L-N 方程及力边界条件指标形式,,,,,()0[()]i jj j ji i i j j i k k ij j iGu G u f G u u u X λλδν+++=++=在直角坐标系中分量形式212223()0()0()0(2)()()()(2)()()()(2)G u G f x G v G f y G w G f z u v u w uG l G m G n X x x y x z u v v w vG l G m G n Yy xy y z u w v w wG l G m G n Zz xz y z θλθλθλλθλθλθ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂⎩⎪应力解法：B-M 方程指标形式2,,,,1()11ij ij i j j i ij k kf f f νσδνν∇+Θ=-+-+-平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力→平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε)(θσσυε+-=r z E0==θγγz z r协调方程:y x yx xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσ V xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=→V 222)1(∇--=∇∇νφ；22222yx ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf rr r f r r r r r r r r rrv r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222V222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x塑性力学基本公式：一维随动强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系**p s ps h d h d σσεσσε+-=+=-+⎰⎰一维等向强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系***||p s h d σσεσσ+-+=+=-⎰应力偏量的第二不变量22222222112222333311122331221'21'[()()()6()]6'3'ij ij ijij J S S J J S J σσσσσστττσσ==-+-+-+++∂=∂=应变偏量的第二不变量2222222211222233331112233121'213'[()()()()]624'3ij ijI e e I I εεεεεεγγγε==-+-+-+++=金属材料的屈服条件：Mises 屈服条件2()03'ij s J σσσσ-==其中Tresca 屈服条件max ()02sij στσ-=三维随动强化模型后继屈服条件(,)()0p p pij ij ij s ij ij K c d σσσεσεεΦ=--==⎰其中三维等向强化模型后继屈服条件41(,)()()0032p p p pij ij s ij ij K h d d d d σσσσεεεεΦ=-+==⋅≥⎰其中全量形式的应力-应变关系2()1()33ij kk ij ij kk ij K σεσεδεεδε=+-全量形式的应变-应力方程13()1()923ij kk ij ij kk ij K εσεσδσσδσ=+-σε-关系为**3,3(),33',122(1)'3s s ss G GE G G E EE G E E E σεεσσσσεενν⎧⋅<⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩==-+-增量形式的应变-应力方程（指标符号）()011ij ij kk ij ij d d d d S E ευσυσδλ⎡⎤=+-+⎣⎦增量形式的应力-应变方程（矩阵形式）0000T e e e ep T e D D d D d D d D ασσασεεσαασ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭线性等向强化材料加载时的增量本构关系（指标符号）()()0020191114ij ij kk ij kl kl ij d d d S d S E h ευσυσδσσ⎡⎤=+-+⎣⎦线性等向强化材料加载时的增量本构关系（矩阵形式）()()000209114T e ep d F d d F d hεσασσασσσσ=+=。
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平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
0
xy
xLeabharlann yyzyz
Fby
0
z
x
yz
y
z
z
Fbz
0
切应力互等定理
ij ji
ij ,i Fbj 0
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
S＝S＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界S 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件—— Fsj ijni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。
数必须等于3个。
例：确定平面问题应力边界条件
q
O
x
α
α F
l
y
y=0边界面上
x 0
q
y
q l
x
O
x
xy 0
α
α F
l
y
y=xtg α边界面上
x sin xy cos 0
q
xy x sin y cos 0
O
x
α
α F
l
y