弹塑性力学讲义本构关系
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弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
弹塑性力学讲义本构关系
当材料处于σ3=0,σ1=σ2=σs的平面应力状态时,
2 1 s3= σs ,s1=s2= σs,s别为
1 1 J2 = [(s1)2+(s3)2+(s3)2] = (σs)2 3 3 1 1 τmax= (σ1σ2)= σs 2 2
(2) 加,卸载或中性变载取决(f/σij)dσij的符号.
e p dε ij = dε ij + dε ij
在应力循环中,附加应力在弹性应变上所做功为零
∫σ ∫σ
ij
0 e (σij σij )dε ij = 0
ij
0 p (σij σij )dεij ≥ 0
1 0 p (σij + dσ ij σ ij ) dε ij ≥ 0 2
Drucker公设的两个推论
(2)不稳定材料:应变增加,应力减少,称之为应变软化,σε<0,
(3)随应力增加,应变减少,这种情况和能量守恒原理矛盾
应力循环
0 从1点的应力状态 σ ij σ ij 是静力可能的应力)开始, ( 0
施加某种外力使其达到2点(其应力为σij)并进入屈服, 再施加应力增量dσij使其加载到达3点(其应力为σij +dσij ),
p dε ij = dλ
f = dλsij σ ij
= 0 dλ = ≥ 0
J 2 < σ2 / 3 s
或 J 2 = σ 2 / 3, dJ 2 < 0 s
J 2 = σ 2 / 3, dJ 2 = 0 s
p dεij = deijp 塑性应变增量是一个偏量
deij =
1 dsij + dλsij 2G
dε ip = dλ1 f1 f + dλ 2 2 σi σi
2 1 s3= σs ,s1=s2= σs,s别为
1 1 J2 = [(s1)2+(s3)2+(s3)2] = (σs)2 3 3 1 1 τmax= (σ1σ2)= σs 2 2
(2) 加,卸载或中性变载取决(f/σij)dσij的符号.
e p dε ij = dε ij + dε ij
在应力循环中,附加应力在弹性应变上所做功为零
∫σ ∫σ
ij
0 e (σij σij )dε ij = 0
ij
0 p (σij σij )dεij ≥ 0
1 0 p (σij + dσ ij σ ij ) dε ij ≥ 0 2
Drucker公设的两个推论
(2)不稳定材料:应变增加,应力减少,称之为应变软化,σε<0,
(3)随应力增加,应变减少,这种情况和能量守恒原理矛盾
应力循环
0 从1点的应力状态 σ ij σ ij 是静力可能的应力)开始, ( 0
施加某种外力使其达到2点(其应力为σij)并进入屈服, 再施加应力增量dσij使其加载到达3点(其应力为σij +dσij ),
p dε ij = dλ
f = dλsij σ ij
= 0 dλ = ≥ 0
J 2 < σ2 / 3 s
或 J 2 = σ 2 / 3, dJ 2 < 0 s
J 2 = σ 2 / 3, dJ 2 = 0 s
p dεij = deijp 塑性应变增量是一个偏量
deij =
1 dsij + dλsij 2G
dε ip = dλ1 f1 f + dλ 2 2 σi σi
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
弹塑性力学讲义-本构关系2
单轴拉伸时的 ～ 曲线十分相近。
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形； • 材料不可压缩； • 外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； • 材料 ～ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
例: 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为
s E E
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z (1) 首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3； (2) 先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s； (3) 比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
h314s
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz 0，dz=0，
z=s/3
J2
1 3
2z
2s
p z0 s
31 h 2 z 3 2 s(1 3 zd z) z 1 h z sa
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
ft'
fc'
1
f't
f'c
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
围
压
增
加
1
2
3
• 具有弹塑性耦合 弹性模量降低
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用，需进行适当的修正
金属塑性（位错滑移） • 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形， • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形； • 材料不可压缩； • 外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； • 材料 ～ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
例: 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为
s E E
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z (1) 首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3； (2) 先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s； (3) 比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
h314s
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz 0，dz=0，
z=s/3
J2
1 3
2z
2s
p z0 s
31 h 2 z 3 2 s(1 3 zd z) z 1 h z sa
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
ft'
fc'
1
f't
f'c
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
围
压
增
加
1
2
3
• 具有弹塑性耦合 弹性模量降低
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用，需进行适当的修正
金属塑性（位错滑移） • 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形， • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
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Mohr-Coulomb屈服条件
考察一任意剪切面，该面上的剪应力为n，正应力为n，
• 推动剪切滑移的有效剪切力是n • 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tan，粘结力C
Mohr条件：
n = (n) tan ＋C
随静水压力增长，减小，在 应力平面上不是直线，而是曲线，
Coulumb条件： 对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定角为常数，为直线
dsij+dsij
dkk=
(1
2v E
)dkk
t
0
eij dt
1 2G
t
0
sij dt
si0j
t
0
td
1 t
t
0
td
eij=
( 1 ) 2G
sij
kk=
(1
2v E
)
kk
令 H=1/2G + 得：
eijeij=H2sijsij 得：
eij=Hsij。 H eijeij 3
sij sij 2
ft
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
m fc 1 sin ft 1 sin
m1 3 fc
z
M
T
z
s/3
(2) (3)
(1)
s
解：（1）求塑性模量： 在单轴应力状态下，弹性应变是 e 。而塑性应变是
E p e s
E
塑性模量应是 （2）加载判别：
h
d d p
E
当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决
于 (f/ij) dij是否大于零。 该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：
金属塑性（位错滑移） • 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形， • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
岩土材料（岩土材料内部包含大量的微裂纹）
• 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 • 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动，
才可能产生类似于金属的塑性变形
z=s/3
J2
1 3
2 z
2s
p z
s 0
31 h
2z
3 2s
(1 3
z
d
z
)
z
1 h
z
s
arctan z s
s 0
s h
1
4
p z
s 0
3
1 h
2s
3
2s
( z d z
)
s 3
s ln 2 3h
x2
2s
s
0
3s ln 2 2h
路径（3）：在加载中z = 3z，z=s/2材料屈服，且dz = 3dz，
)
2
3 J2
2 3
z
1 h
1 J2
(1 3
z d z
z dz
)z
1 2
d
p z
1 h
f ij
dij
f z
1 h
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz ) 2
3 J2
z
1 h
1 2J2
( z d z
3z dz
)z
（4）按上述路径进行积分，塑性变形
=
路= 径（1）：z=s，材料屈服，再增加剪应力dz0，dz=0，
sz=
2 z，sx= sy = 3
1 3
z，sz=
sz=z，
J2
1 3
2z
2z
2s 3
f
z
d
z
2zdz )
由于z、dz同号，、dz同号，因此，
f ij
dij
0
（3）使用流动法则求塑性变形
d
p z
1 h
f ij
dij
f
z
1 h
2
3 J2
(2 3
z d z
2z dz
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(
2 3
z
dz
)z
s 1 h
1 2
= ，
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(2 z d z
)
z 3
3 h
s
1
1 2
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
e z
z E
e z
z G
s 3G
全量理论
•增量理论： 一般来说，增量应力—应变关系（本构关系）是不可积的， 在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，
(nn
2
C
2
2
(nn
2
2
C
2
1
1
n= 2 (1 +3)+ 2(1 3)sin
n=
1 2
(1
3)cos
屈服条件用主应力表示
1 2
(1
3)
+1 2
(1 +
3)sin
Ccos
=
0
2 2
x
sin 6
y
C
cos
0
sin
Cctan
当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成
1 3 1 ft fC
例: 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为
s E E
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z (1) 首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3； (2) 先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s； (3) 比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
•全量理论： 应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载） 求解简单
简单加载（比例加载）
•是指应力各分量之间成比例且单调增长，即
ij ti0j
sij tsi0j
（t>0，dt>0）
•在平面上，该加载路径是一条=const的射线，
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
deij=
1 2G
s
J2
1 3
2s
2z
pz
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(z dz
)s
s 2h
ln
x2
2 s
3
s 0
/
3
s ln 2 2h
p z
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(3z dz
)z
9 h
z 3
s 33
arctan
3z s
s 0
/
3
3 h
1
4
s
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz 0，dz=0，
eij
3 2
sij
单一曲线假定 当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组合所得出的 ～ 曲线与
单轴拉伸时的 ～ 曲线十分相近。
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形； • 材料不可压缩； • 外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； • 材料 ～ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f't
f'c
1
f't
fc'
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
1
2
围 压 增 加
3
• 具有弹塑性耦合 弹性模量降低
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用，需进行适当的修正