弹塑性力学讲义-本构关系
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塑性力学03-塑性本构关系
3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 S 3 S ij m ij ij m ij m ij E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
因为应力强度和应变强度的公式为:
3 i Sij Sij 2 2 i eij eij 3
把 eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i 线假定的硬化条件.
3 i 2 i , 即按单一曲
综上所述, 全量型塑性本构方程为 3 i 1 2 eij Sij i i ii ii 2 i E 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d Sij
d 0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e deij deij deij dSij d Sij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
弹塑性力学讲义—本构关系
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0 f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0 当应力点位于f1=0上
f d d 1 1 ij
Prandtl-Reuss本构关系
1 2v d kk ( )d kk E
Levy-Mises本构关系
如塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可将弹性应变增量忽略，应力 增量与应变增量的关系变为
p dij dij =dsij
这是一种理想刚塑性模型。
• 相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） • 理想弹塑性问题，应在平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s dij 3
dij dij
d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，<0，
（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾
应力循环
0 •从1点的应力状态 ij ij 是静力可能的应力）开始， （ 0
p ij
p p (d1p : d 2 : d3 ) = (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
p d ij d 2
f 2 ij
p p (d1p : d 2 : d3 ) = (d2 0 d2)
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
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z=s/3
J2
1 3
2 z
2s
p z
s 0
31 h
2z
3 2s
(1 3
z
d
z
)
z
1 h
z
s
arctan z s
s 0
s h
1
4
p z
s 0
3
1 h
2s
3
2s
( z d z
)
s 3
s ln 2 3h
x2
2s
s
0
3s ln 2 2h
6
路径（3）：在加载中z = 3z，z=s/2材料屈服，且dz = 3dz，
)
2
3 J2
2 3
z
1 h
1 J2
(1 3
z d z
z dz
)z
4
1 2
d
p z
1 h
f ij
dij
f z
1 h
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz ) 2
3 J2
z
1 h
1 2J2
( z d z
3z dz
)z
（4）按上述路径进行积分，塑性变形
路== 径（1）：z=s，材料屈服，再增加剪应力dz0，dz=0，
t
0
eij
dt
1 2G
t
0
sij dt
si0j
t
0
td
1 t
t
0
td
eij=
(
1 2G
)
sij
kk= (1E2v)kk
10
令 H=1/2G + 得：
eijeij=H2sijsij 得：
eij=Hsij。 H eijeij 3 sij sij 2
eij
3 2
sij
单一曲线假定
当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组合所得出的 ～曲线与 单轴拉伸时的 ～ 曲 线十分相近。
应变软化段
16
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
17
• 与静水压力有关
3
3
1
2
围 压 增 加
3
18
• 具有弹塑性耦合
弹性模量降低
19
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用，需进行适当的修正
20
Mohr-Coulomb屈服条件
1 3 1 ft fC
ft
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
m fc 1 sin ft 1 sin
m1 3 fc
27
•全量理论： 应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载） 求解简单
8
简单加载（比例加载）
•是指应力各分量之间成比例且单调增长，即
ij ti0j
sij tsi0j （t>0，dt>0）
•在平面上，该加载路径是一条=const的射线，
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
9
deij= 21Gdsij+dsij dkk= (1E2vd)kk
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(
2 3
z
dz
)zs 1 hຫໍສະໝຸດ 1 2= ，p z
s s /
2
1 h
3 22s
(2 z d z
)
z 3
3 h
s
1
1 2
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
e z
z E
e z
z G
s 3G
7
全量理论
•增量理论： 一般来说，增量应力—应变关系（本构关系）是不可积的， 在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，
(nn
2
C
2
23
2
(nn
2
2
C
2
24
1
1
n= 2 (1 +3)+ 2(1 3)sin
n=
1 2
(1
3)cos
屈服条件用主应力表示
12(1 3) + 12(1 + 3)sin Ccos = 0
2 2
x
sin 6
y
C
cos
0
sin
25
Cctan
26
当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成
11
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形； • 材料不可压缩； • 外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； • 材料 ～ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
12
金属塑性（位错滑移） • 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形， • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
考察一任意剪切面，该面上的剪应力为n，正应力为n，
• 推动剪切滑移的有效剪切力是n • 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tan，粘结力C
21
Mohr条件：
n = (n) tan ＋C
随静水压力增长，减小，在 应力平面上不是直线，而是曲线，
22
Coulumb条件： 对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定角为常数，为直线
例: 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为 s E E
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z (1) 首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3； (2) 先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s； (3) 比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
s
J2
1 3
2s
2z
pz
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(z dz
)s
s 2h
ln
x2
2 s
3
s 0
/
3
s ln 2 2h
p z
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(3z dz
)z
9 h
z 3
s 33
arctan
3z s
s 0
/
3
5
3 h
1
4
s
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz 0，dz=0，
1
z
M
z
s/3
(2) (3)
(1)
s
T
2
解：（1）求塑性模量： 在单轴应力状态下，弹性应变是 e 。而塑性应变是
E p e s
E
塑性模量应是 （2）加载判别：
h
d d p
E
当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决
于 (f/ij) dij是否大于零。 该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：
岩土材料（岩土材料内部包含大量的微裂纹）
• 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 • 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动，
才可能产生类似于金属的塑性变形
13
么么么么方面
• Sds绝对是假的
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f't
f'c
1
f't
fc'
15
• 产生应变软化现象
sz=
2z，sx= sy = 3
13z，sz= sz=z，
3
J2
1 3
2z
2z
2s 3
f ij
dij
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz )
由于z、dz同号，、dz同号，因此，
f ij
dij
0
（3）使用流动法则求塑性变形
d
p z
1 h
f ij
dij
f
z
1 h
2
3 J2
(2 3
z d z
2z dz