中考数学总复习第三章函数及其图象第15讲二次函数的图象与性质讲解篇2

第15讲二次函数的图象与性质1．二次函数的概念、图象和性质2.二次函数的图象与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系5.二次函数图象常见的变换1．(2015²台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)2．(2017²金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是23．(2017²宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2016²舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．5．(2015²甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝____________________．【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．类型一二次函数的解析式例1(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．1．(1)(2017²杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．(2)(2017²长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．类型二二次函数的图象、性质例2(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y 随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.其中正确结论是______________；(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x ＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.其中正确结论是______________．【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．2．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④9a＋3b＋c＝0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是____________________．(2)(2015²杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．①当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；②根据图象，写出你发现的一条结论；③将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．类型三二次函数的图象变换例3已知抛物线y＝2(x－4)2－1.(1)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．3．(1)(2017²绍兴)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋3(2)(2017²盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7 C ．y ＝12(x －2)2－5 D ．y ＝12(x －2)2＋4类型四 二次函数的综合问题例4 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F. 已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比．【解后感悟】抛物线与x 轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．4．(1)(2016²长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．(2)(2015²湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.类型五二次函数的应用例5(2017²杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．5．(2017²重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【探索研究题】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．【配方漏括号】用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．参考答案第15讲二次函数的图象与性质【考点概要】1．y＝ax2＋bx＋c上下减小增大增大减小 2.上下小y左右原点 正 负 唯一 两个 没有 > < 3.y ＝ax 2＋bx ＋c y ＝a (x －m )2＋k y ＝a (x －x 1)(x －x 2) 4.x 横 > <【考题体验】1．B 2.B 3.A 4.y ＝(x －2)2＋3 5.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x ＝1等；(2)当x ＝1时，y 的最小值为－4等．【例题精析】例1 (1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)y ＝－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 例2 (1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤ 例3 (1)y ＝2x 2＋1；(2)y ＝－2(x ＋4)2＋1；(3)y ＝－2(x －4)2－1 例4 (1)∵点A 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 上，∴－(－1)2＋2²(－1)＋c ＝0，解得：c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)．∴EM＝1，BN ＝2.∵EM∥BN，∴△EMF ∽△BNF.∴S △EMF S △BNF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EM NB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 例5 (1)①(x－60)；②(－2x ＋400) (2)依题意可得：y ＝(x －60)³(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24000＝－2(x －130)2＋9800，当x ＝130时，y 有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．【变式拓展】1．(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)y ＝29x 2＋49x －1692．(1)①④⑤ (2)①根据题意可得函数图象为：②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x 轴于点(1，0)；k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y 3的表达式为：y 3＝(x ＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y 3的最小值为－2.3. (1)A (2)D4. (1)15 (2)y ＝－3x 2＋23x y ＝3x 2＋23x5.(1)由于抛物线C 1、C 2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y ＝a(x －3)(x＋3)；抛物线C 1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝13，即：抛物线C 1：y ＝13x 2－3(－3≤x≤3)；抛物线C 2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝－19，即：抛物线C 2：y ＝－19x 2＋1(－3≤x≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y ＝－2，即13x 2－3＝－2，解得：x ＝±3，∴此时水面的直径为23dm . (3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x ＝32时，抛物线C 1：y ＝13³⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3＝－94，抛物线C 2：y ＝－19³⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝34，而34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝3，∴锅盖能正常盖上． 【热点题型】【分析与解】C 1：y ＝－x(x －3)(0≤x≤3)C 2：y ＝(x －3)(x －6)(3≤x≤6)C 3：y ＝－(x －6)(x －9)(6≤x≤9)C 4：y ＝(x －9)(x －12)(9≤x≤12)…C 13：y ＝－(x －36)(x －39)(36≤x≤39)，当x ＝37时，y ＝2，所以，m ＝2.【错误警示】y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.。