椭圆的轨迹方程PPT教学课件
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《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
椭圆及其标准方程求轨迹方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
依据题意，先判断动点所在轨迹类型，进而 写出其轨迹方程——定义法
4
第4页
迁移训练
已知 B、C 是两定点，且|BC|＝6，△ABC 的周长为 16.试求顶点 A 的轨迹方程．
解 如图，以 BC 边所在直线为 x 轴，
以线段 BC 的中点为坐标原点建立平
面直角坐标系，则有
|AB|＋|BC|＋|AC|=16. | AB | | AC | 10 6
求动点P轨迹，又是什么意思？
动点P轨迹，就是动点P运动而形成曲线，比 如直线，线段，或者圆，椭圆等等。
3
第3页
例1、设点C（1,2），动点P到点C距离为1， 求点P轨迹方程，并指出其轨迹类型
解： 设P ( x, y)
依据题意，点P轨迹是以C（1，2）为圆 心，半径为1圆
所以点P轨迹方程是
( x 1)2 ( y 2)2 1
表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
动画演示
8
第8页
本课小结
（1）掌握求轨迹方程3种惯用方法：直译法， 定义法，相关点法； （2）注意轨迹纯粹性，不符合题意点要经 过方程删除掉（对x或y进行限制）
9
第9页
椭圆定义及其标准方程（2）
怎样求动点轨迹方程
1
第1页
温故知新
椭圆的定义:
MF1 MF2 2a ( 2a F1F2 ). 椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1或
x2 b2
y2 a2
1
(a
b
0)
今天我们来学习怎样求轨迹方程的 问题.
2
第2页
求动点P轨迹方程，是什么意思？
设动点P坐标为（x，y），则求动点P轨迹方 程就是求一个等式，里面含有x与y，我们能 够记为f(x,y)=0，方程f(x,y)=0就是所求轨迹方 程
4
第4页
迁移训练
已知 B、C 是两定点，且|BC|＝6，△ABC 的周长为 16.试求顶点 A 的轨迹方程．
解 如图，以 BC 边所在直线为 x 轴，
以线段 BC 的中点为坐标原点建立平
面直角坐标系，则有
|AB|＋|BC|＋|AC|=16. | AB | | AC | 10 6
求动点P轨迹，又是什么意思？
动点P轨迹，就是动点P运动而形成曲线，比 如直线，线段，或者圆，椭圆等等。
3
第3页
例1、设点C（1,2），动点P到点C距离为1， 求点P轨迹方程，并指出其轨迹类型
解： 设P ( x, y)
依据题意，点P轨迹是以C（1，2）为圆 心，半径为1圆
所以点P轨迹方程是
( x 1)2 ( y 2)2 1
表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
动画演示
8
第8页
本课小结
（1）掌握求轨迹方程3种惯用方法：直译法， 定义法，相关点法； （2）注意轨迹纯粹性，不符合题意点要经 过方程删除掉（对x或y进行限制）
9
第9页
椭圆定义及其标准方程（2）
怎样求动点轨迹方程
1
第1页
温故知新
椭圆的定义:
MF1 MF2 2a ( 2a F1F2 ). 椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1或
x2 b2
y2 a2
1
(a
b
0)
今天我们来学习怎样求轨迹方程的 问题.
2
第2页
求动点P轨迹方程，是什么意思？
设动点P坐标为（x，y），则求动点P轨迹方 程就是求一个等式，里面含有x与y，我们能 够记为f(x,y)=0，方程f(x,y)=0就是所求轨迹方 程
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1.2椭圆的轨迹方程课件北师大选修1_1
|������������| = (������-1)2 + ������2, 且������������ ·������������ = 6|������������|,
=
1 2
|������������1||������������2|·sin∠F1PF2,
利用余弦定理:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2.
【做一做】 设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件
|PF1|+|PF2|=a+
题型四
【变式训练 2】 已知圆 C 的方程为 x2+y2=4,过圆 C 上的一动
点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设直线 m 与 y 轴的交点为 N,若向量
������������ = ������������ + ������������, 求动点������的轨迹方程.
解:设点 Q 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x0,y0)(y0≠0), 则点 N 的坐标为(0,y0).
=
6
时为线段.答案:D题型一题二题型三题型四
定义法求轨迹方程
【例1】 如图,P为圆B:(x+2)2+y2=36上一动点,点A坐标为(2,0),线 段AP的垂直平分线交直线BP于点Q,求点Q的轨迹方程.
解:∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q,
∴|AQ|=|PQ|,
∴|AQ|+|BQ|=|PQ|+|BQ|=6,
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】
Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2 2
求椭圆的轨迹方程第2课时课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一
>）的中心 <
F<
>
m
>为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火
/m
星点（轨道上离火星表面最近的点） <
A<
>
m
>到火星表面的距离为 <
/m
800 km<
>
m
>，远
/m
火星点（轨道上离火星表面最远的点） >
m<
<
B
>到火星表面的距离为 <
/m
80000 km<
>
m
>
/m
.假定探测器由近火星点 <
A<
y<
>
m
>轴上，则 <
/m
b = 3<
>
m
>，
/m
c
a
<
∵
>e= =
m
1−
b2
a2
=
1−
y2
>
m
<
27
9
a2
x2
∴椭圆的标准方程为 +
9
x2
∴所求椭圆的标准方程为 <
>
m
9
=
6
>，解得
/m
<
3
a<2 = 27<
>
m
>，
/m
= 1<
>，
/m
y2
+
3
= 1<
>
/m
或
y2
>
F<
>
m
>为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火
/m
星点（轨道上离火星表面最近的点） <
A<
>
m
>到火星表面的距离为 <
/m
800 km<
>
m
>，远
/m
火星点（轨道上离火星表面最远的点） >
m<
<
B
>到火星表面的距离为 <
/m
80000 km<
>
m
>
/m
.假定探测器由近火星点 <
A<
y<
>
m
>轴上，则 <
/m
b = 3<
>
m
>，
/m
c
a
<
∵
>e= =
m
1−
b2
a2
=
1−
y2
>
m
<
27
9
a2
x2
∴椭圆的标准方程为 +
9
x2
∴所求椭圆的标准方程为 <
>
m
9
=
6
>，解得
/m
<
3
a<2 = 27<
>
m
>，
/m
= 1<
>，
/m
y2
+
3
= 1<
>
/m
或
y2
>
椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)
生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距（2c）
>2c |MF1|+|MF2|=2a.
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
于x轴的直线交椭圆于C、D两点，则∆F2CD的周长
为__2_0_____
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
变式：若CD不垂直于x轴，则∆F2CD的周长有改变
吗？为什么？
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的轨迹方程PPT课件
2020年9月28日
汇报人：云博图文 日期：20XX年10月10日
21
2020年9月28日
y
M O
Ax
18
练习解答
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
y
y
kMA x 5 , kMB x 5
B
yy
kMA
kMB
2
x5
x
5
2
y
M O
Ax
y2 2x2 50 2x2 y2 50
2020年9月28日
M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 50
y0 2
x0
x, y0
2y
点P(x0 , y0 )在圆 x2 y2 4 上，所以
x02 y02 4 x2 4 y2 4
x2 y2 1 轨迹是焦距为2 3，e 3 的椭圆
4
2
2020年9月28日
y
P
M
x
O
D
4
椭圆的第一定义——点的轨迹
y
如图：在圆C：(x 1)2 y2 16内有一点A(1, 0). B为圆C上一点，AB的垂直平分线与CB的连
C1
求圆心P的轨迹
P C2
2020年9月28日
x
9
典型例题 y 解：动圆P与C1外切，与C2内切
PC1 RP RC1
PC2 RC2 RP
PC1 PC2 RP RC1 RC2 RP
PC1 PC2 RC1 RC2 16
C1
C1,C2为定点 P到两个定点的距离为定值
动点P的轨迹是椭圆 2a 16 2c C1C2 8
整理可得：9x2 25y2 225 标准方程为：x2 y2 1
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E D
C
A
x
线交于点E，求E点的轨迹方程.
2020/10/16
5
典型例题
解：DE是AB的中垂线，则 ADE≌ BDE BE AE
CE AE CE BE CB r 4
A是定点(1, 0) C是定点(1, 0)
则点E到两个定点的距离的和定值
E的轨迹是椭圆
2a 4 2020/10/16 2c 2
解：MF (x 4)2 y2
d x 25 4
MF 4 (x 4)2 y2 4
d5
x 25
5
4
5 (x 4)2 y2 4 x 25 4x 25 4
25x2 200x 400 5y2 16x2 200x 625
2020/10/16
y
Md
H
O
F
x
l
12
典型例题
y0 2
x0
x, y0
2y
点P(x0 , y0 )在圆 x2 y2 4 上，所以
x02 y02 4 x2 4 y2 4
x2 y2 1 轨迹是焦距为2 3，e 3 的椭圆
4
2
2020/10/16
y
P
M
x
O
D
4
椭圆的第一定义——点的轨迹
y
如图：在圆C：(x 1)2 y2 16内有一点A(1, 0). B为圆C上一点，AB的垂直平分线与CB的连
a 2 c 1 b 3
x2 y2 1
43
y
B
E D
C
A
x
6
第一定义——与两圆相切 或者过点与圆相切
y
已知圆A：(x 3)2 y2 100,圆A内一 定点B(3, 0),圆P过点B且与圆A内切， 求圆心P的轨迹方程.
A
B
x
P
2020/10/16
7
典型例题
解：圆P与圆A内切，则PA RA RP RA 10 RP PB PA PB 10
a 8 c 4 b2 48
2020/10/16
x2 y2 1 64 48
P C2
x
10
第二定义——点到定直线的距离和定点的距离为定比
y
点M (x, y)与定点F (4, 0)的距离和 它到直线l：x 25的距离比是
4
M
H
O
F
x
常数 4，求点M的轨迹.
l
5
2020/10/16
11
典型例题
A.B为定点 P到两个定点的距离为定值
动点P的轨迹是椭圆 2a 10 2c 6 a 5 c 3 b 4 x2 y2 1
25 16
2020/10/16
y
A
B
x
P
8
典型例题
y 已知两圆C1 : (x 4)2 y2 9
和C2：(x 4)2 y2 169，动圆
P与C1外切，与C2内切，
y 5
B
kMA
kMB
1
x
y 5
y x5
1
y
M O
Ax
y2 x2 25 x2 y2 25
2020/10/16
M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 25
17
课堂练习
如图，已知A, B两点坐标为(5, 0)，(5, 0). 直线AM , BM 相交于点M，且他们的 斜率之积是 2,求点M的轨迹方程. B
2020/10/16
2
圆的伸缩变形——圆上的点的中点轨迹
在圆x2 y2 4上任取一点P，过点P作 x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上 运动时，线段PD中点M的轨迹是什么？
y
P
M
x
O
D
2020/10/16
3
典型例题
解：设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0 )
x
x0 , y
19
课堂小结
记动点与两定点的斜率之积为常数
＜1 动点轨迹是焦点在x轴的椭圆
1 动点轨迹是圆
＞1 动点轨迹是焦点在y轴的椭圆
2020/10/16
20
THANKS
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9
2020/10/16
y
M O
Ax
14
典型例题
y
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
kMA
y x 5 , kMB
y x5
M
B
O
Ax
kMA
kMB
4 9
x
y 5
x
y 5
4 9
9 y2 4x2 100 4x2 9 y2 100
M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 100
2020/10/16
2.2.4 椭圆的轨迹方程
2020/10/16
1
求曲线的方程的步骤
1.建立适当的坐标系 设点的坐标为(x, y)；
两个点：以两个点为x轴，以中垂线为y轴
一个点和一条线：过点作线的垂线，垂线为x轴，点和垂足的中垂线为y轴
2.代入坐标，依题意列出方程
3.化成f (x, y) 0为最简形式
4.去除不符合的点
2020/10/16
y
M O
Ax
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练习解答
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
y
y
kMA x 5 , kMB x 5
B
yy
kMA
kMB
2
x5
x
5
2
y
M O
Ax
y2 2x2 50 2x2 y2 50
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M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 50
思考：x 5是为什么？
9 15
课堂练习
如图，已知A, B两点坐标为(5, 0)，(5, 0). 直线AM , BM 相交于点M，且他们的
B
斜率之积是 1,求点M的轨迹方程.
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y
M O
Ax
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练习解答
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
kMA
x
y 5
, kMB
x
C1
求圆心P的轨迹
P C2
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x
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典型例题 y 解：动圆P与C1外切，与C2内切
PC1 RP RC1
PC2 RC2 RP
PC1 PC2 RP RC1 RC2 RP
PC1 PC2 RC1 RC2 16
C1
C1,C2为定点 P到两个定点的距离为定值
动点P的轨迹是椭圆 2a 16 2c C1C2 8
整理可得：9x2 25y2 225 标准方程为：x2 y2 1
25 9
a5 b3
M的轨迹是长轴长为10，短轴长为6的椭圆
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y
Md
H
O
F
x
l
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动点与两定点的斜率之积为定值
如图，已知A, B两点坐标为(5, 0)，(5, 0). 直线AM , BM 相交于点M，且他们的 斜率之积是 4 ,求点M的轨迹方程. B